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1、初中数学竞赛专项训练(初中数学竞赛专项训练(1) (实 数) 一、选择题 1、如果自然数a是一个完全平方数,那么与 a之差最小且比a 大的一个完全平方数是 ( ) A. a1B. a2+1C. a2+2a+1D. a+2a+1 2、在全体实数中引进一种新运算 *,其规定如下:对任意实数a、b 有a*b=(ab)(b1)对任意实数a 有 a*2a*a。当x2 时, 3*(x*2) 2*x1 的值为( ) A. 34B. 16C. 12D. 6 3、已知 n 是奇数,m 是偶数,方程 myx ny 2811 2004 有整数解 x0、y0。则( ) A. x0、y0均为偶数B. x0、y0均为奇数
2、 C. x0是偶数 y0是奇数D. x0是奇数 y0是偶数 4、设 a、b、c、d 都是非零实数,则四个数-ab、ac、bd、cd( ) A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正 5、满足等式2003200320032003xyxyxyyx的正整数对的个数是 ( ) A. 1B. 2C. 3D. 4 6、已知 p、q 均为质数,且满足 5p2+3q=59,由以 p3、1pq、2pq4 为边长的三角形是( ) A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 7、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数能够被( )整 除
3、。 A. 111B. 1000C. 1001D. 1111 8、在 1、2、3100 个自然数中,能被 2、3、4 整除的数的个数共( )个 A. 4B. 6C. 8D. 16 二、填空题 1、若 2001 1 1981 1 1980 1 1 S,则 S 的整数部分是_ 2、M 是个位数字不为零的两位数,将 M 的个位数字与十位数字互换后,得另一个两位数 N,若 MN 恰是某正整数的立方,则这样的数共个。 3、已知正整数 a、b 之差为 120,它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍,那么,a、b 中较大的数是 。 4、设 m 是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数,则 m 5、满
4、足 19982m219972n2(0mn1998)的整数对(m、n)共有个 6、已知 x 为正整数,y 和 z 均为素数,且满足 zyx yzx 111 ,则 x 的值是 三、解答题 1、试求出这样四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位 数。 2、从 1、2、3、4205 共 205 个正整数中,最多能取出多少个数使得对于取出来的数中的任意三个数 a、b、c(abc) ,都有 abc。 3、已知方程03246 22 nnxx的根都是整数。求整数 n 的值。 4、设有编号为 1、2、3100 的 100 盏电灯,各有接线开关控制着,开始时,它们都是关闭状态
5、,现 有 100 个学生,第 1 个学生进来时,凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来,由号 码是 2 的倍数的开关拉一下,第 n 个(n100)学生进来,凡号码是 n 的倍数的开关拉一下,如此下 去,最后一个学生进来,把编号能被 100 整除的电灯上的开关拉了一下,这样做过之后,请问哪些灯 还亮着。 5、若勾股数组中,弦与股的差为 1。证明这样的勾股数组可表示为如下形式: 1222212 22 aaaaa,其中a为正整数。 初中数学竞赛专项训练(初中数学竞赛专项训练(2) (代数式、恒等式、恒等变形) 一、选择题:下面各题的选项中,只有一项是准确的,请将准确选项的代号填在括号
6、内。 1、某商店经销一批衬衣,进价为每件 m 元,零售价比进价高 a%,后因市场的变化,该店把零售价调整为 原来零售价的 b%出售,那么调价后每件衬衣的零售价是( ) A. m(1+a%)(1-b%)元B. ma%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元 2、如果 a、b、c 是非零实数,且 a+b+c=0,那么 |abc abc c c b b a a 的所有可能的值为 ( ) A. 0B. 1 或-1C. 2 或-2D. 0 或-2 3、在ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若B60,则 bc a ba c 的值为 ( ) A. 2 1 B.
7、2 2 C. 1D. 2 4、设 ab0,a2+b2=4ab,则 ba ba 的值为( ) A. 3B. 6C. 2D. 3 5、已知 a1999x2000,b1999x2001,c1999x2002,则多项式 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值为 ( ) A. 0B. 1C. 2D. 3 6、设 a、b、c 为实数, 2 2 6 2 3 2 222 aczcbybax,则 x、y、z 中,至少有 一个值( ) A. 大于 0B. 等于 0C. 不大于 0D. 小于 0 7、已知 abc0,且 a+b+c0,则代数式 ab c ca b bc a 222 的值是( ) A. 3B. 2C
8、. 1D. 0 8、若1364983 22 yxyxyxM(x、y 是实数) ,则 M 的值一定是( ) A. 正数B. 负数C. 零D. 整数 二、填空题 1、某商品的标价比成本高 p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降价的百分数) 不得超过 d%,则 d 可用 p 表示为 c A BC a b 2、已知-1a0,化简4) 1 (4) 1 ( 22 a a a a得 3、已知实数 z、y、z 满足 x+y=5 及 z2=xy+y-9,则 x+2y+3z=_ 4、已知 x1、x2、x40都是正整数,且 x1+x2+x4058,若 x12+x22+x402的最大值为 A,最
9、小值为 B,则 AB 的值等于 5、计算 )441()417)(413)(49)(45( )439()415)(411)(47)(43( 44444 44444 _ 6、已知多项式1547 23 xbxax可被13 x和32 x整除,则ba 三、解答题: 1、已知实数 a、b、c、d 互不相等,且x a d d c c b b a 1111 ,试求 x 的值。 2、如果对一切 x 的整数值,x 的二次三项式cbxax 2 的值都是平方数(即整数的平方) 。 证明:2a、ab、c 都是整数。 a、b、c 都是整数,并且 c 是平方数。 反过来,如果成立,是否对于一切 x 的整数值,x 的二次三项
10、式cbxax 2 的值都是平方数? 3、若 2222 1996199619951995a,求证:a 是一完全平方数,并写出 a 的值。 4、设 a、b、c、d 是四个整数,且使得 222222 )( 4 1 )(dcbacdabm是一个非零整数,求证: m一定是个合数。 5、若 2 a的十位数可取 1、3、5、7、9。求a的个位数。 初中数学竞赛专项训练(初中数学竞赛专项训练(3) (方 程) 一、选择题: 1、方程018)8( 2 axax有两个整数根,试求整数 a 的值( ) A. -8B. 8C. 7D. 9 2、方程1) 1( 32 x xx的所有整数解的个数是( ) A. 2B. 3
11、C. 4D. 5 3、若 0 x是一元二次方程)0(0 2 acbxax的根,则判别式acb4 2 与平方式 2 0 )2(baxM的大小关系是( ) A. MB. =MC. MD. 不能确定 4、已知acb4 2 是一元二次方程)0(0 2 acbxax的一个实数根,则 ab 的取值范围为 ( ) A. ab 8 1 B. ab 8 1 C. ab 4 1 D. ab 4 1 5、已知 1 x、 2 x是方程0)53()2( 22 kkxkx的两个实根,则 2 2 2 1 xx的最大值是 ( ) A. 19B. 18C. 9 5 5D. 以上答案都不对 6、已知zyx、为三个非负实数,且满足
12、132523zyxzyx,zyxu73若,则 u 的最大值与最小值之和为( ) A. 77 62 B. 77 64 C. 77 68 D. 77 74 7、若 m、n 都是正实数,方程02 2 nmxx和方程02 2 mnxx都有实数根,则 m+n 的最小值 是( ) A. 4B. 6C. 8D. 10 8、气象爱好者孔宗明同学在 x(x 为正整数)天中观察到:有 7 个是雨天;有 5 个下午是晴天; 有 6 个上午是晴天;当下午下雨时上午是晴天。则 x 等于( ) A. 7B. 8C. 9D. 10 二、填空题 1、已知两个方程00 22 abxxbaxx与有且只有一个公共根,则这两个方程的
13、根应是 2、若)(0161101611 22 babbaa,则 b a a b 3、已知关于 x 的方程012) 1( 2 nxnx的两根为整数,则整数 n 是 4、设 1 x、 2 x是方程02) 1(2 22 kxkx的两个实数根,且8) 1)(1( 21 xx,则 k 的值是 5、已知 a、b 是方程04 2 mxx的两个根,b、c 是方程058 2 mxx的两个根,则 m 6、设 1 x、 2 x是关于 x 的一元二次方程2 2 aaxx的两个实数根,则)2)(2( 1221 xxxx的最大值 为 三、解答题 1、关于 x 的方程01) 1( 2 xkkx有有理根,求整数 k 的值。
14、2、设方程01200120032002 22 xx的较大根是r,方程0120022001 2 xx的较小根是s, 求rs的值。 3、确定自然数 n 的值,使关于 x 的一元二次方程076351082 22 nnxnxx的两根均为质数, 并求出此两根。 4、已知关于 x 的一元二次方程054)15117()9)(6( 2 xkxkk的两个根均为整数,求所有满 足条件的实数 k 的值。 5、有编号为、的四条赛艇,其速度依次为每小时 1 v、 2 v、 3 v、 4 v千米,且满足 1 v 2 v 3 v 4 v0,其中, 水 v为河流的水流速度(千米/小时) ,它们在河流中实行追逐赛规则如下:(1
15、) 四条艇在同一起跑线上,同时出发,、是逆流而上,号艇顺流而下。 (2)经过 1 小时, 、同时掉头,追赶号艇,谁先追上号艇谁为冠军,问冠军为几号艇? 初中数学竞赛专项训练(初中数学竞赛专项训练(4) (不等式) 一、选择题: 1、若不等式x+1+x-3a 有解,则 a 的取值范围是( ) A. 0a4B. a4C. 0a2D. a2 2、已知 a、b、c、d 都是正实数,且 d c b a ,给出下列四个不等式: dc c ba a dc c ba a dc c ba b dc d ba b 其中准确的是( ) A. B. C. D. 3、已知 a、b、c 满足 abc,ab+bc+ac0,
16、abc1,则( ) A. a+b|c|B. |a+b|c| C. |a+b|=|c|D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定 4、关于 x 的不等式组 ax x x x 2 3 5 3 52 只有 5 个整数解,则 a 的取值范围是( ) A. -6a- 2 11 B. -6a- 2 11 C. -6a- 2 11 D. -6a- 2 11 5、设关于 x 的方程09)2( 2 axaax有两个不等的实数根 1 x、 2 x,且 1 x1 2 x,那么 a 的取值 范围是( ) A. 5 2 7 2 aB. 5 2 aC. 7 2 aD.0 11 2 a 6、下列命题:若 a=0,b0,则方
17、程bax 无解 若 a=0,b0,则不等式bax 无解 若 a0, 则方程bax 有惟一解 若 a0,则不等式bax 的解为 a b x ,其中( ) A. 都准确B. 准确,不准确 C. 不准确,准确D. 都不准确 7、已知不等式|x-2|1 1)2( 2 x 0)3)(1(xx 0 3 1 x x 其中解集是31 x的不等式 为( ) A. B. C. D. 8、设 a、b 是正整数,且满足 56a+b59,0.9 b a 0.91,则 b2-a2等于( ) A. 171B. 177C. 180D. 182 二、填空题: 1、若方程1 2 2 x ax 的解是正数,则 a 的取值范围是 2
18、、乒乓球队开会,每名队员坐一个凳子,凳子有两种:方凳(四脚)或圆凳(三脚) ,一个小孩走进会 场,他数得人脚和凳脚共有 33 条(不包括小孩本身) ,那么开会的队员共有名。 3、已知不等式3|2|x 09)2( 2 x 0 5 1 x x 1 1 6 x ,其中解集是15x的不 等式有个。 4、若关于 x 的一元二次方程02)5(2 2 xax无实数根,则 a 的取值范围是 5、在本埠投寄平信,每封信质量不超过 20g 时付邮费 0.80 元,超过 20g 而不超过 40g 时付邮费 1.6 元, 依次类推,每增加 20g 需增加邮费 0.80 元(信的质量在 100g 以内) ,如果某人寄一
19、封信的质量为 72.5g,那么他应付邮费 6、若 1 x、 2 x都满足条件|32|12|xx4 且 1 x 2 x则 1 x- 2 x的取值范围是 三、解答题 1、有一水池,池底有泉水持续涌出,要将满池的水抽干,用 12 台水泵需 5 小时,用 10 台水泵需 7 小时, 若要在 2 小时内抽干,至少需水泵几台? 2、已知一元二次方程01)4() 1( 22 xkxk的一个根大于 1,另一个根小于 1,求整数 k 的值。 3、若关于 x 的不等式ax+a+22 有且只有一个整数解,求 a 的整数值。 4、某宾馆一层客房比二层客房少 5 间,某旅游团 48 人,若全安排在第一层,每间 4 人,
20、房间不够,每 间 5 人,则有房间住不满;若全安排在第二层,每 3 人,房间不够,每间住 4 人,则有房间住不满, 该宾馆一层有客房多少间? 5、某生产小组展开劳动竞赛后,每人一天多做 10 个零件,这样 8 个人一天做的零件超过 200 个,后来 改进技术,每人一天又多做 27 个零件,这样他们 4 个人一天所做零件就超过劳动竞赛中 8 个人做的零 件,问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍? 初中数学竞赛专项训练(初中数学竞赛专项训练(5) (方程应用) 一、选择题: 1、甲乙两人同时从同一地点出发,相背而行 1 小时后他们分别到达各自的终点 A 与 B,若仍从原地出发, 互换彼此的
21、目的地,则甲在乙到达 A 之后 35 分钟到达 B,甲乙的速度之比为( ) A. 35B. 43C. 45D. 34 2、某种产品按质量分为 10 个档次,生产最低档次产品,每件获利润 8 元,每提升一个档次,每件产品 利润增加 2 元,用同样工时,最低档次产品每天可生产 60 件,提升一个档次将减少 3 件,如果获利 润最大的产品是第 R 档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加) ,那么 R 等于( ) A. 5B. 7C. 9D. 10 3、某商店出售某种商品每件可获利 m 元,利润为 20%(利润 售价进价 进价 ) ,若这种商品的进价提升 25%,而商店将这种商品的售价提升到每件
22、仍可获利 m 元,则提价后的利润率为( ) A. 25%B. 20%C. 16%D. 12.5% 4、某项工程,甲单独需 a 天完成,在甲做了 c(cb,若两个三角 形的最小内角相等,则 b a 的值等于( ) A. 2 13 B. 2 15 C. 2 23 D. 2 25 7、在凸 10 边形的所有内角中,锐角的个数最多是( ) A. 0B. 1C. 3D. 5 8、若函数)0(kkxy与函数 x y 1 的图象相交于 A,C 两点,AB 垂直 x 轴于 B,则ABC 的面积为 ( ) A. 1B. 2C. kD. k2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d,另一组对边的长
23、分别为 a,b,则 d 与 2 ba 的大小关系是 60 A B C D A B C D P 图 8-1 图 8-2 AD CB EF 图 8-3 图 8-4 A BC D AD C F C B E 2、如图 8-5,AA、BB分别是EAB、DBC 的平分线,若 AABBAB,则BAC 的度数为 3、已知五条线段长度分别是 3、5、7、9、11,将其中不同的三个数组成三数组,比如(3、5、7) 、 (5、9、11)问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长 4、如图 8-6,P 是矩形 ABCD 内一点,若 PA3,PB4,PC5,则 PD 5、如图 8-7,甲楼楼高 16 米,乙楼座
24、落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午 12 时 太阳光线与水平面的夹角为 30,此时求如果两楼相距 20 米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高? 如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离理应是米。 6、如图 8-8,在ABC 中,ABC60,点 P 是ABC 内的一点,使得APBBPCCPA,且 PA8,PC6,则 PB 图 8-6 A B D C P 16 米 20 米 A B C D 甲乙 图 8-7 图 8-8 B A C P A B B D C 图 8-5 E A 三、解答题 1、如图 8-9,AD 是ABC 中 BC 边上的中线,求证:AD 2 1 (AB+AC) 2、已知一个三角
25、形的周长为 P,问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化? A B D C 图 8-9 3、如图 8-10,在 RtABC 中,ACB90,CD 是角平分线,DEBC 交 AC 于点 E,DFAC 交 BC 于点 F。 求证:四边形 CEDF 是正方形。 CD22AEBF 4、从 1、2、3、4、2004 中任选 k 个数,使所选的 k 个数中一定能够找到能构成三角形边长的三个 数(这里要求三角形三边长互不相等) ,试问满足条件的 k 的最小值是多少? A C F B D E 图 8-10 初中数学竞赛专项训练(初中数学竞赛专项训练(9) (面积及等积变换) 一、选择题: 1、如图 9-1,在
26、梯形 ABCD 中,ABCD,AC 与 BD 交于 O,点 P 在 AB 的延长线上,且 BPCD,则 图形中面积相等的三角形有( ) A. 3 对B. 4 对 C. 5 对D. 6 对 2、如图 9-2,点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点,连 AF、CE,设 AF、CE 交于点 G,则 ABCD AGCD S S 矩形 四边形 等于( ) A. 6 5 B. 5 4 C. 4 3 D. 3 2 3、设ABC 的面积为 1,D 是边 AB 上一点,且 AB AD 3 1 ,若在边 AC 上取一点 E,使四边形 DECB 的 面积为 4 3 ,则 EA CE 的值为( )
27、 A. 2 1 B. 3 1 C. 4 1 D. 5 1 4、如图 9-3,在ABC 中,ACB90,分别以 AC、AB 为边,在ABC 外作正 方形 ACEF 和正方形 AGHB,作 CKAB,分别交 AB 和 GH 于D 和 K,则正方 形 ACEF 的面积 S1与矩形 AGKD 的面积 S2的大小关系是 ( ) A. S1S2B. S1S2 C. S1S2D. 不能确定,与 AB AC 的大小相关 5、如图 9-4,四边形 ABCD 中,A60,BD90, AD8,AB7,则 BC+CD 等于 ( ) A. 36B. 53C. 43D. 33 6、如图 9-5,若将左边正方形剪成四块,恰
28、能拼成右边的矩形,设 a1, 则正方形的面积为 ( ) A. 2 537 B. 2 53 C. 2 15 D. 2 )21 ( 7、如图 9-6,矩形 ABCD 中,ABa,BCb,M 是 BC 的中点,DEAM,E 为垂足,则 DE( ) A. 22 4 2 ba ab B. 22 4ba ab PA D C B O 图 9- 1 A B CD E FG 图 9-2 A B C D HGK F E 图 9-3 A B C D 图 9-4 a b a a b b 图 9-5 a b A BC D E M 图 9-6 C. 22 4 2 ba ab D. 22 4ba ab 8、O 为ABC 内
29、一点,AO、BO、CO 及其延长线把ABC 分成六个小三角形, 它们的面积如图 9-7 所示,则 SABC( ) A. 292B. 315 C. 322D. 357 二、填空题 1、如图 9-8,梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 a,高为 h,则图中阴影部分的面积为 2、如图 9-9,若等腰三角形的底边上的高等于 18cm,腰上的中线等于 15cm,则这个等腰三角形的面积等于 3、如图 9-10,在ABC 中,CEEB12,DEAC,若ABC 的面 积为 S,则ADE 的面积为 4、如图 9-11,已知 D、E 分别是ABC 的边 BC、CA 上的点,且 BD4,DC1,AE5,EC2。
30、连结 AD 和 BE,它们相交于点P,过点 P 分别 作 PQCA,PRCB,它们分别与边 AB 交于点 Q、R,则PQR 的面积与ABC 的面积之比为 5、如图 9-12,梯形 ABCD 中,ADBC,ADBC25,AFFD11,BEEC23,EF、CD 延长线交于 G,用最简单的整数比来表示,SGFDSFEDSDEC 6、如图 9-13,P 是矩形 ABCD 内一点,若 PA3,PB4,PC5,则 PD 三、解答题 1、如图 9-14,在矩形 ABCD 中,E 是 BC 上的点,F 是 CD 上的点, SABESADF 3 1 S矩形 ABCD。 求: CEF AEF S S 的值。 A
31、BC D E F O 84 x y y40 y 30 y 35 y 图 9-7 图 9- 8 A E D C F B A M C D B G 图 9-9 A C E B D 图 9-10 A B QR D C E P 图 9-11 A BC D G F E 图 9-12 A BC D P 图 9-13 A D F C EB 图 9-14 2、一条直线截ABC 的边 BC、CA、AB(或它们的延长线)于点 D、E、F。 求证:1 FB AF EA CE DC BD A B CD E F 图 9-15 3、如图 9-16,在 ABCD 中,P1、P2、P3Pn-1是 BD 的 n 等分点,连结 A
32、P2,并延长交 BC 于点 E,连 结 APn-2并延长交 CD 于点 F。 求证:EFBD 设 ABCD 的面积是 S,若 SAEF 8 3 S,求 n 的值。 4、如图 9-17,ABC 是等腰三角形,C90,O 是ABC 内一点,点 O 到ABC 各边的距离等于 1,将ABC 绕点 O 顺时针旋转 45得到A1B1C1,两三角形的公共部分为多边形 KLMNPQ。 证明:AKL,BMN,CPQ 都是等腰直角三角形。 求证:ABC 与A1B1C1公共部分的面积。 D B A C E F P1 P2 Pn-2 Pn-1 图 9-16 图 9-17 A B C C1 A1 B1 L M K N
33、Q P O 初中数学竞赛专项训练(初中数学竞赛专项训练(10) (三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖) 一、填空题: 1、G 是ABC 的重心,连结 AG 并延长交边 BC 于 D,若ABC 的面积为 6cm2, 则BGD 的面积为 ( ) A. 2cm2B. 3 cm2 C. 1 cm2D. 2 3 cm2 2、如图 10-1,在 RtABC 中,C90,A30,C 的平分线与B 的 外角的平分线交于 E 点,则AEB 是( ) A. 50B. 45C. 40D. 35 3、在ABC 中,ACB90,A20,如图 10-2,将 ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转角 到ACB的位置, 其中
34、A、B分 别是 A、B 的对应点,B 在 AB上,CA交 AB 于 D,则 BDC 的度数 为( ) A. 40B. 45 C. 50D. 60 4、设 G 是ABC 的垂心,且 AG6,BG8,CG10,则三角形的面积为( ) A. 58B. 66C. 72D. 84 5、如图 10-3,有一块矩形纸片 ABCD,AB8,AD6,将纸片折叠,使 AD 边落在 AB 边上,折痕为 AE,再将AED 沿 DE 向右翻折,AE 与 BC 的交点为 F,CEF 的面积为( ) A. 2B. 4C. 6D. 8 6、在ABC 中,A45,BCa,高 BE、CF 交于点 H,则 AH( ) A. a 2
35、 1 B. a 2 2 C. aD. a2 7、已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心,A1、B1、C1分别是点 I 关于 BC、CA、AB 的对称点,若点 B 在 A1B1C1的外接圆上,则ABC 等于( ) A. 30B. 45C. 60D. 90 8、已知 AD、BE、CF 是锐角ABC 三条高线,垂心为 H,则其图中直角三角形的个数是( ) A. 6B. 8C. 10D. 12 二、填空题 1、如图 10-4,I 是ABC 的内心,A40,则CIB 2、在凸四边形 ABCD 中,已知 ABBCCDDA2231,且ABC90,则DAB 的度数 是 A C B E 图 10-1 A B
36、C D AB 图 10-2 A B CD D A E B C A D E B C F 图 10-3 A C I B D 图 10- 4 A BC D E D 图 10-5 3、如图 10-5,在矩形 ABCD 中,AB5,BC12,将矩形 ABCD 沿对角线对折,然后放在桌面上,折 叠后所成的图形覆盖桌面的面积是 4、在一个圆形时钟的表面,OA 表示秒针,OB 表示分针(O 为两针的旋转中心)若现在时间恰好是 12 点整,则经过秒钟后,OAB 的面积第一次达到最大。 5、已知等腰三角形顶角为 36,则底与腰的比值等于 6、已知 AM 是ABC 中 BC 边上的中线,P 是ABC 的重心,过 P
37、 作 EF(EFBC) ,分别交 AB、AC 于 E、F,则 AF CF AE BE 三、解答题 1、如图 10-6,在正方形 ABCD 的对角线 OB 上任取一点 E,过 D 作 AE 的垂线与 OA 交于 F。求证: OEOF 2、在ABC 中,D 为 AB 的中点,分别延长 CA、CB 到点 E、F,使 DEDF,过 E、F 分别作 CA、CB 的垂线相交于 P,设线段 PA、PB 的中点分别为 M、N。 求证:DEMDFN PAEPBF 3、如图 10-8,在ABC 中,ABAC,底角 B 的三等分线交高线 AD 于 M、N,边 CN 并延长交 AB 于 E。 求证:EMBN A E
38、C B F D P M N 图 10-7 A BC N M E D 图 10-8 4、如图 10-9,半径不等的两圆相交于 A、B 两点,线段 CD 经过点 A,且分别交两于 C、D 两点,连结 BC、CD,设 P、Q、K 分别是 BC、BD、CD 中点 M、N 分别是弧 BC 和弧 BD 的中点。 求证: QB NQ PM BP KPMNQK A B CD M N K P Q 图 10-9 数学竞赛专项训练(数学竞赛专项训练(1)实数参考答案)实数参考答案 一、选择题 1、解:设与 a 之差最小且比 a 大的一个完全平方数是 x,则1ax,所以 12) 1( 2 aaax 应选 D 6 13
39、8 13) 13)(13( 133*3 12*2)2*2(*3 12*2)2(*32 2* 、解:原式 应选 D 3、2004n 0 y,n 是奇数, 0 y必是奇数,又 11 0 x=m28 0 y,m 和 28 0 y均为偶数,所以 11 0 x是偶数, 0 x应为偶数。故选 C 4、解:abacbdcda2b2c2d20,所以这四个数中应一正三负或一负三正。应选 D 5、解:由02003200320032003xyyxxyyx可得 020030)2003)(2003(yxyxxy而 所以是质数,因此必有又因为故2003200302003xyxy 2003 1 y x 1 2003 y x
40、 应选 B 6、解:因qp35 2 为奇数,故 p、q 必一奇一偶,而 p、q 均为质数,故 p、q 中有一个为 2,若 5 53 2 2 pq不合题意舍去。若 p2,则 q3,此时 p35,1-p+q=12,2p+q-4=13,因为 52+122=132,所以 5、12、13 为边长的三角形为直角三角形。故选 B 7、解:依题意设六位数为abcabc,则 abcabca105b104c103a102b10ca102(1031)b10(1031) c(1031)(a103b10c) (1031)1001(a103b10c) ,而 a103b10c 是整数,所以能被 1001 整除。故选 C 8
41、、解:能被 2、3、4 整除即能被2,3,412 整除,共有 12、24、36、4896 共 8 个。应选 C 二、填空题 1、解:因 1981、19822001 均大于 1980,所以90 22 1980 1980 1 22 1 S,又 1980、19812000 均小于 2001,所以 22 21 90 22 2001 2001 1 22 1 S,从而知 S 的整数部分为 90。 2、解:设两位数 M10a+b,则 N10b+a,由 a、b 正整数,且 1a,b9, 3 )(9)10()10(cbaabbaNM,又 c 是某正整数,显然 c3100,c4,而且 c3是 9 的倍数,所以 c
42、3,即 ab3,满足条件的两位数有 41、52、63、74、85、96 共 6 个 3、解设(a,b)d,且 amd,bnd,其中 mn,且 m 与 n 互质,于是 a、b 的最小公倍数为 mnd,依题题有 105 120 d mnd ndmd 即 753 532)( 3 mn dnm ,则 mn 据可得 1 105 n m 或 3 135 n m 或 5 21 n m 或 7 15 n m 根据只取 7 15 n m 可求得 d15,故两个数中较大的数是 md225。 4、解:最小三个合数是 4,6,8,4+6+818,故 17 是不能表示为三个互不相等的合数之和的整数,当 m18 时,若
43、m2k18,则 m4+6+2(k5) ,若 m2k118,则 m4+9+2(k7)即任意大 于 18 的整数均可表示为三个互不相等的合数之和,故 m17 5、解:n2m2399551747, (n-m) (n+m)51747,显然对 3995 的任意整数分拆均可得到 (m,n) ,由题设(0mn1998) ,故满足条件的整数对(m,n)共 3 个。 6、解:由 yz zy yzx 111 及 xyz 得 yz=1,即 y 与 z 是两个相邻的自然数,又 y 与 z 均为素数, 只有 y3,z2,故 x=yz=6。 三、解答题 1、解:设前后两个二位数分别为 x、y,10 x,y99。 根据题意
44、有yxyx100)( 2 即0)()50(2 22 yyxyx 当0)992500(4)(4)50(4 22 yyyy yyx yy 99250050 250992500 时方程有实数解即 因为 2500-99y 必为完全平方数,而完全平方数的末位数仅可能为 0、1、4、5、6、9,故 y 仅可取 25,此时,x=30 或 20,故所求四位数为 2025 或 3025。 2、解:首先 1、14、15、16205 这 193 个数满足题设条件,事实上,设 a、b、c(abc)这 3 个 数取自 1、14、15、16205, 若 a1,则 abac; 若 a1,则 ab1415210c 另一方面考
45、虑如下 12 个数组 (2,25,225) (3,24,324)(13,14,1314)上述这 36 个数互不相等,且其中最小的 数为 2,最大的数为 1314182205,所以每一个数组中的 3 个数不能全部都取出来,于是,如果 取出来的数满足题设条件,那么,取出来的数的个数不超过 205-12193(个) 综上所述,从 1、14、15、16205 中最多能取出 193 个数,满足题设条件。 3、解:原方程解得: 93243 2 932426 2 94324446 2 )324(4366 2 2 2 2 nn nn nnnn x 因为方程的根是整数,所以 4n232n9 是完全平方数。 设
46、4n232n9m2 (m0) (2n8)255m2 (2n8m) (2n8m)55 因 55155(1)(55)(5)(11)511 1182 582 5582 182 582 1182 182 5582 mn mn mn mn mn mn mn mn 解得: n10、0、-8、-18 4、解:首先,电灯编号有几个正约数,它的开关就会被拉几次,因为一开始电灯是关的,所以只有那些 被拉过奇数次的灯才是亮的,因为只有平方数才有奇数个约数,所以那些编号为 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盏灯是亮的。 5、证明:设勾长为x,弦长为z,则股长为1z 1) 1(zz,
47、zzx,1是一个基本勾股数组。 由z为奇数知:1z为偶数,从而x为奇数,设12 ax(a 为正整数) ,则有 222 ) 1() 12(zza,解得 122 2 aaz,故勾股数组具有形式 1222212 22 aaaaa 数学竞赛专项训练(数学竞赛专项训练(2)参考答案)参考答案 一、选择题 1、解:根据题意,这批衬衣的零售价为每件 m(1a%)元,因调整后的零售价为原零售价的 b%,所以 调价后每件衬衣的零售价为 m(1a%)b%元。 应选 C 2、解:由已知,a,b,c 为两正一负或两负一正。 当 a,b,c 为两正一负时: 0 | 1 | 1 | abc abc c c b b a a
48、 abc abc c c b b a a 所以,; 当 a,b,c 为两负一正时: 0 | 1 | 1 | abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以, 由知 |abc abc c c b b a a 所有可能的值为 0。 应选 A 3、解:过 A 点作 ADCD 于 D,在 RtBDA 中,则于B60,所以 DB 2 C ,ADC 2 3 。在 RtADC 中,DC2AC2AD2,所以有(a 2 C )2b2 4 3 C2,整理得 a2c2=b2ac,从而有 1 )( 2 2222 bbcabac bcabca bcba abacbc bc a ba
49、 c 应选 C 4、解:因为(a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab,因为 ab0,得abbaabba26,故3 ba ba 。 应选 A 32) 1() 1( 2 1 211 )()()( 2 1 5 222 222222 原式 ,又 ,、解: accbba accbbacabcabcba 应选 D 0 03) 1() 1(1)-(azyx6 222 中至少有一个大于、则 、解:因 zyx cb 应选 A 3 )()()( )()()( 7 c c b b a a b c a c c b a b c a b a ab cba ac bca bc acb 、解:原式 应选 A 。,所以这三个
50、数不能同时为,且 , 、解:因为 0M0322 0)3()2()2(2 13649838 222 22 yxyx yxyx yxyxyxM 应选 A 二、填空题 1、解:设该商品的成本为 a,则有 a(1+p%)(1-d%)=a,解得 p100 p100 d 2、解因为1a0,所以。,且,即0 1 0 1 a-1 a 1 a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 2 ) 1 ( 1 | 1 | 1 |) 1 () 1 ( 1 2 1 24) 1 4) 1 22 2 2 2 222 ( 3、解:由已知条件知(x+1)y=6,(x1)y=z2
51、9,所以 x1,y 是 t26tz29=0 的两个实根,方 程有实数解,则(6)24(z29)4z20,从而知 z=0,解方程得 x+1=3,y=3。所以 x+2y+3z8 4、解:494。因为把 58 写成 40 个正整数的和的写法只有有限种,故 2 40 2 2 2 1 .xxx的最小值和最 大值是存有的。不妨设 4021 .xxx,若 1 x1,则 1 x+ 2 x( 1 x-1)+( 2 x+1),且( 1 x1) 2+( 2 x+1)2 1 x 2+ 2 x 22( 2 x- 1 x)+2 1 x 2+ 2 x 2,所以,当 1 x1 时,能够把 1 x逐步调整到 1,这 时 2 4
52、0 2 2 2 1 .xxx将增大;同样地,能够把 2 x, 3 x, 39 x逐步调整到 1,这时 2 40 2 2 2 1 .xxx将增大。于是,当 1 x, 2 x, 39 x均为 1, 40 x19 时, 2 40 2 2 2 1 .xxx取得最大值,即 A 个39 222 1.11+192400。若存有两个数 i x, j x,使得 j x i x2(1ij40) ,则( i x1)2+( j x-1)2 i x 2+ j x 22( j x i x1) i x 2+ j x 2,这 说明在 1 x, 3 x, 39 x, 40 x中,如果有两个数的差大于 1,则把较小的数加 1,较
53、大的数减 1,这时, 2 40 2 2 2 1 .xxx将减小。所以,当 2 40 2 2 2 1 .xxx取到最小时, 1 x, 2 x, 40 x中任意两个 数的差都不大于 1。于是当 1 x 2 x 22 x1, 23 x 24 x 40 x2 时, 2 40 2 2 2 1 .xxx取得最小值,即942.221.11 18 222 22 222 个个 B, 故 AB494 353 1 142 12 142140181614 140138161412 1) 1(1) 1( )22)(22()2()2(45 2 2 22222 22222 22 222224 )()()( )()()( 原
54、式 、解: xx xxxxxxx 6、解:由已知可知,0) 2 3 (0) 3 1 (ff,得 015 2 141 4 9 8 22 015 3 47 927 ba ba ,解得 2 24 b a ab24226 三、解答题 1、解:由已知有x a dx d cx c bx b a 1111 220 x 020 0)2)(1 01)2() 1( 1 1 1 1 2 3 3 23 2 2 xxca xxad xxadaxad adxadxaddx x daxx ax axx ax c ax b ,矛盾。故有,则由可得若 ,由已知 ,代入得由得 即 将代入得 代入得由解出 2、解:令0 x,得 c
55、平方数 c2;令1x,得 2 mcba, 2 ncba,其中 m、n 都是 整数,所以, 2222 222nmbcnma,都是整数。 如果 2b 是奇数 2k+1(k 是整数) ,令4x得 22 416hcba,其中 h 是整数,因为 2a 是整数, 所以 16a 被 4 整除,有2416416kaba除以 4 余 2,而)( 22 lhlhlh,在 h,l 的 奇偶性不同时,)(lhlh是奇数;在 h,l 的奇偶性相同时,)(lhlh能被 4 整除,所以, 22 416lhba,从而 2b 是偶数,b 是整数,bcma 2 也是整数,在成立时, cbxax 2 不一定对 x 的整数值都是平方
56、数,例如:a=2,b=2,c=4,x1 时,cbxax 2 8 不 是平方数。 3、解:设 x1995,则 1996x+1,所以 222 222 2222 22222222 3982021)199619951 ()1(1 )1() 1(21)1() 1(2)1( ) 1() 1(2) 1(2) 1( ) 1() 1(1996199619951995 xx xxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxa 4、解:要证明|m是合数,只要能证出mpq,pq 均为大于 1 的正整数即可。 )()()( 4 1 )()()()( 4 1 2222 4 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 4 1 )
57、( 2222 22222222 22222222 22222 badcbadcdcbadcba badcdcba dcbacdabdcbacdab dcbacdabdcbacdab dcbacdabm :证明 因为 m 是非零整数,则)()()( 4 1 badcbadcdcbadcba是非零整数。因为 四个数 a+b+c-d,a+b-c+d,a-b+c+d,-a+b+c+d 的奇偶性相同,乘积应被 4 整除,所以四个数均为偶数。 所以可设 a+b+c-d=2m1,a+b-c+d=2m2,a-b+c+d=2m3,-a+b+c+d=2m4,其中 m1,m2,m3,m4均为非 零整数。所以 432
58、14321 4)2)(2)(2)(2( 4 1 mmmmmmmmm, 所以m4m1m2m3m40, 所以m是一个合数。 5、解:设cba10,其中c取自 0,1,2,3,4,9,将 2 c写成两位数的形式为 00,01,04,09,16,25,36,49,64,81,其中只有 c4、6 时其十位数为奇数,又 2222 10)5(2)10(cbcbcba,可见, 2 a的十位数是一个偶数加上 2 c的十位数,当 2 a的十位数为奇数 1,2,5,7,9 时,a 的个位数只能取 4、6。 数学竞赛专项训练(数学竞赛专项训练(3)方程参考答案)方程参考答案 一、选择题 1、选 B。原方程变为 18
59、1 18 1 1)8)( x ax x ax xax或, 解得 x=9 或 7,a8。 2、选 C。原方程有整数解的条件有且只有以下 3 种: 仅有一个整数解。为偶数。故原方程此时时 。显然仅当或得为偶数。解而 解;,即原方程有两个整数或,解之得 是方程的一个整数解;,此时而 231 1011311 1211 30103 22 2 2 xx xxxxxx xxxx xxxx 综上所述知方程的解共有 1214 个。 。应选 。即的根,所以是因 、解:令 B , 00 )(4 444 )4()(2ax -md3 2 0 0 2 0 22 0 2 0 2 22 0 Mdcbxaxx cbxaxa a
60、cbbbaxxa acbb 4、应选 B。因为方程有实数解,故04 2 acb。由题意有 。,即的判别式非负,即 是其解,所以方程,因为或则得 。令或者 8 1 081 40202 44 2 4 4 2 4 222 22 2 2 2 abab acbubuaubuau acbuacb a acbb acb a acbb 5、选 B。由方程有实根,得0,即 184)5( 19610)53(2)2(2)( 532 3 4 4 0)4)(43(0161630)53(4)2( 2 2 2 1 2 222 21 2 21 2 2 2 1 2 2121 222 取最大值时,当 ,得,。又由 xxkk kk
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