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1、第9章 电荷与真空中的静电场第9章电荷与真空中的静电场5 _9-1 两个小球都带正电,总共带有电荷5.0 10 c,如果当两小球相距2.0m时,任一球受 另一球的斥力为1.0n.试求:总电荷在两球上是如何分配的。 分析:运用库仑定律求解。解:如解图9-1所示,设两小球分别带电qi, q2则有解图9-15q1+q2 5.0 10由库仑定律得f $ 9109aq2 14冗014由联立解得一 一 5 _q 1.2 10 cq2 3.8 10 5c9-2 两根6.0 102m长的丝线由一点挂下,每根丝线的下端都系着一个质量为3.0.5 10 kg的小球.当这两个小球都带有等量的正电荷时,每根丝线都平衡
2、在与沿垂线成60 角的位置上。求每一个小球的电量。分析:对小球进行受力分析,运用库仑定律及小球平衡时所受力的相互关系求解。解:设两小球带电 q1 =q2 q ,小球受力如解图 9-2所示2f q 2 t cos30解图9-24 兀 0r2mg t sin30联立得2mg4 0ro 肉2 tan30 q其中r l sin 60-3 6 10 2 3- 3 10 2(m)2r 2r代入式,得q 1.01 10 7c2第9章 电荷与真空中的静电场9-3r在电场中某一点白场强定义为er,若该点没有试验电荷,那么该点是否存在电 qo.因为场强是描述电场性质的物理量,仅与场源场?为什么?答:若该点没有试验
3、电荷,该点的场强不变电荷的分布及空间位置有关, 与试验电荷无关,从库仑定律知道,试验电荷q0所受力f与q0 rr f-成正比,故e 一是与q0无关的。qo9-4 直角三角形abc如题图9-4所示,ab为斜边,a点上有一点荷 qi 1.8 10 9c , b点上有一点电荷q24.8 10 9c ,已知bc 0.04m, ac 0.03m ,求c点电场强度 e的大小和方向题图9-4(cos370.8,sin370.6).分析:运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。r r r解:如解图9-4所示c点的电场强度为 e e1 e2eiq4 九 0(ac)21.8 10 9 9 109(0.03)21.8
4、 104(n c 1)e2q224 九 0(bc)248 10 9 9 109 2.7 104(n c1) (0.04)2解图9-4解图9-54c点电场强度e的大小ee12 e2,1.82 2.72 104 3.24 104(n c 1)方向为arctanee2arctan1.8 1042.7 10433.7o9-5两个点电荷q1即方向与bc边成33.7。4 10 6c, q2 8 10 6c的间距为0.1m,求距离它们都是0.1m处的电场强度e。分析:运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。 解:如解图9-5所示e1q4 冗 01129 109 4 10 610 23.6 106(n c 1)
5、第9章 电荷与真空中的静电场22e2q29 1 09 8 1 06eiexey40r2e2 沿 x、102y轴分解e1x e2x e1 cos60e1y e2ye1 sin60电场强度为eexe29.527.2 106(n c 1)e2cos120e2sin120106(n c 1)1.8 106(n9.36 106(nc1)c1)e arctan e9-6有一边长为a的如题图 荷q,两个顶点放有电荷-9.36 106arctan 6 1.8 109-6所示的正六角形,101oq。试计算图中在六角形中心o点处的场强。分析:运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解:如解图9-6所示设q1 q2
6、q3q6=q, q4 qs=电荷在o点产生的电场强度大小均为e e1e2e3le624冗0a各电场强度方向如解图9-6所示,e3与e6抵消.e0 e2 e5 e1e4根据矢量合成,按余弦定理有_ 22e0(2e)(2e)2 2(2e)(2e)cos(180o 60o)四个顶点都放有电q ,各点题图9-6解得e0 2e . 32-4 0a23 q20a2方向垂直向下.9-7电荷以线密度 均匀地分布在长为 l的直线上,求带电直线的中垂线上与带电直线相 距为r的点的场强。分析:将带电直线无限分割,取一段电荷元,运用点电荷场强公式表示电荷元的场强,再积分求解。注意:先将电荷元产生的场强按坐标轴分解然后
7、积分,并利用场强对称性。解:如解图9-7建立坐标,带电直线上任一电荷元在p点产生的场强大小为dxde -224 0(rx根据对称性分析,合场强ye的方向沿y轴的方向e2ldx2-sin2 4 0(r2 x2) l 2 l2 1/24 or(r2)4lr24 0(r2 x2)3/2dx解图9-79-8两个点电荷 中和中相距为l,若(1)两电荷同号;(2)两电荷异号,求电荷连线上电 场强度为零的点的位置.分析:运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解:如解图9-8所示建立坐标系,取 qi为坐标原点,指向q2的方向为x轴正方向.(1)两电荷同号.场强为零的点只可能在 qi、q2之间,设距qi为x的a
8、点.据题意有e1e2即|qi i&i,2, 八 、24冗 ox4 冗 0 (l x)解得(2)两电荷异号.场强为零的点在qiq2连线的延长线或反向延长线上,即ei=e2|qi i/24冗0x|q2124/ o(l x)解之得:x.|qi i9-9无限长均匀带电直线,电荷线密度为“被折成互成直角的两部分求如题图9-9所示的p点和p点的电场强度.分析:运用均匀带电细棒附近的场强公式及场强叠加原理求解。解:以p点为坐标原点,建立如解图 均匀带电细棒产生的场强公式9-10 (a)所示坐标系(cos 14冗0acos(sinr2 sin 1)j冗1 4 2所以竖直棒在p点的场强为re12rtj水平棒在p
9、点的场强为0a,22所以在p点的合场强r ree1re2即p点的合场强的大小为e-4九0a方向与x轴正方向成 45 同理以p点为坐标原点,0a建立如图题9-10解图(2)坐标(cos4冗oar1 cos 2)i(sinr2 sin 1)j在p点1 3冗,4所以竖直棒在p点的场强为re14 u 0a,2 r vj水平棒在p点的场强为re24冗0a所以在p点的合场强为e e1 e2 4i;aij即p点的合场强的大小为4九0a方向与x轴成-135.9-10 无限长均匀带电棒ll上的线电荷密度为1,12上的线电荷密度为 2 , 11与12平行,在与11, 12垂直的平面上有一点p,它们之间的距离如题图
10、9-10所示,求p点的电场强度。分析:运用无限长均匀带电细棒的场强公式及场强叠加原理求解。解:11在p点产生的场强为re112 冗 0a1题图9-10i2在p点产生的场强大小为e222 冗 0a2方向如解图9-11所示。把2写成分量形式,有rre2 e2 cos ire2 sinj3 210 冗 0a2在p点产生的合场强为rrreei e210.8 九 05 冗 0a25冗0q,题图9-11由于q、 q带电量的对称性,x轴上的分量相互抵消,则9-11 一细棒被弯成半径为r的半圆形,其上部均匀分布有电荷卜部均匀分布电荷q,如题图9-11所示,求圆心。点处的电场强度。分析:在半圆环说上取电荷元,运
11、用点电荷场强公式及场强叠加原 理积分求解。将带电半圆环分割成无数个电荷元,运用点电荷场强 公式表示电荷元场强。将电荷元电场进行矢量分解,再进行对称性 分析,然后积分求解。2qr斛:把圆环分成无限多线兀dl , dl所干电重为dq dl ,产生的场强为derr贝u de的大小为qdl qd2/2 0r32/2 0r2r把de分解成dex和dey,贝udex sin dedey cos deex 0ey 2 dey 2 cos de4qcos d01 0r2q九2 0r2所以圆环在。点产生的场强为0r29-12.一均匀带电球壳内半径r1 6cm ,外半径r2 10cm ,电荷体密度为5 _32 1
12、0 c m ,求:到球心距离r分别为5cm、8cm、12cm处场点的场强.分析 此题属于球对称性电场,三个场点分别位于球层内半径以内、内外半径之间、外半径 以外三个区域,由高斯定理做高斯面求解。q解:根据高斯定理ce ds 2得s0e4,r3)当r 5 cm时, q 0,得r 8 cm 时,r 12cm 时,ri320r_43.48 104 n1c 1,方向沿半径向外.r23(r3ri3)34冗 r2ri344.10 104沿半径向外.题图9-139-13 两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为+6和-2 6,如题图9-13所示,(1)求图中三个区域的场强 ee2,e3的表达式;若 4.
13、43 10 6c m2,那么,e-e2 , e3各多大?分析:首先确定场强正方向,然后利用无限大均匀带电平板场强及场强叠加原理求解。解:(1)无限大均匀带电平板周围一点的场强大小为在i区域re1ri2 0n区域re2id区域re3(2)若 4.43 10 6c m 2则r r5r ie1 i 2.50 10 i (v m )2 0r 3 rje2 i 7.50 105i(v m 1)2 0rr5r 1e3i 2.50 105i (v m 1)2 09-14点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求(1)在该点电荷电场中穿过立方体的任一个面的电通量;(2)若将该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上
14、,这时穿过立方体各面的电通量是多 少?分析此题需结合高斯定理以及对称性关系来求解。解:(1)由高斯定理可知,通过立方体的总的电通量。e ds s0所以通过每个面的电通量为立方体有六个面,当q在立方体中心时,每个面上电通量相等,(2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长2a的立方体,使q处于边长2a的立方体中心,则通过边长2a的正方形上电通量边长2a的正方形共有四个边长 量为a的正方形,由于对称性,则通过边长为a的正方形的电通24 09-15 一均匀带电半圆环,半径为 r,电量为+q,求环心处的电势。分析:将带电半圆环分割成无数个电荷元,根据点电荷电势公式表示电荷元的电势,再利用电势叠加原理求解。解
15、:把半圆环无穷分割,如解图 9-15取线元dl ,其带电量为dq dl ,则其在圆心 ottr的电势为:dq qdl du 4冗 0r 4u0r r所以整个半圆环在环心 o点处的电势为汽 qdl q u 0 4 冗 0r tr 4 冗 0r9-16 一面电荷密度为的无限大均匀带电平面,若以该平面处为电势零点,求带电平面周围的电势分布。分析:利用无限大均匀带电平面的场强公式及电势与电场强度的积分关系求解。解:如解图9-16所示建立坐标系,所以无限大平面周围的场强分 布为ri2 0取该平面电势为零,则周围任一点p的电势为0u p dx(x) mx 2 o2 o29-172._ 2如题图9-17所不
16、,已知a810m,b 610 mqi 3 10 8c,q23 10 8c , d为4四2连线中点,求:(1) d点和b点的电势;(2) a点和c点的电势;(3)将电量为2 10 9c的点电荷q。由a点移到c点,电场力所做的功;(4)将q0由b点移到d点,电场力所做的功。分析:由点电荷的电势的公式及叠加原理求电势。静电力是保守力,保守力做功等于从初位置到末位置势能增量的负值。解:(1)建立如解图9-17所示坐标系,由点电荷产生的电势的叠 加得解图9-17ud4九0q2同理,可得ub 03 10 8 9 109 3 10 8 9 109224 10 24 10 2(2)ua4冗0bq24冗0后a2
17、9 1093 10 86 10 29 109 3 10 8.(6 10 2)2 (8 10 2)231.8 10 (v)uc(3)将点电荷一 一 9 一9 103“6 10 2)210 8(8 10 2)29 109 3 1086 10 21.8 103(v)qo由a点移到c点,电场力所做的功aacq0u ac 210 9 1.8 1 03 ( 1.8 1 03)7.2 10 6(j)将qo由b点移到d点,电场力所做的功abdqou bd 09-18如题图9-18所示,在a ,b两点处放有电量分别为q ,的点电荷,ab间距离为2r现将另一正试验点电荷q0从。点题图9-18经过半圆弧移到 c点,
18、求移动过程中电场力做的功.分析解:同上题。点的电势为uo(r r)c点的电势为ucq6冗0r所以aocqu。 uc)qq6冗0rq2470b9-19两点电荷qi =1.5 10-8c, q2=3.0 10-8c,相距r1二42cm,要把它们之间的距离变为2=25cm,电场力做功为多少?分析此题用电场力做功定义式积分求解,需注意电场力做功的正负值。r2 v v解:a f dr1r2 q&drq&rc ,2 ar2 4 冗 04 冗 0(21)126.55 10 6 j9-20半径为r1和r2(r2 r1)的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带有电量和试求:(1)空间场强分布;(2)两圆柱面之间的电势差。分析 此题为球对称性电场。(1)由高斯定理求场强分布。该带电体将空间分为三个部分:小圆柱面内r vri ;两圆柱面间ri v r vr2 ;大圆柱面外r r2,因此需要做三次高斯面(同心球面),场强有三种表达式;(2)由电势差定义式u abe dl ,该积分式中的场强应用两圆柱面间场强代入计算。解:(1)由高斯定理求对称性电场的场强分布e dss取同轴圆柱形高斯面,侧面积小圆柱面内:rr1两圆柱面间:r1sedse1r2e22冗0r方向沿径向向外大圆柱面外:rr2r2(2)e2dre3dr 一b 2 0r 2-lnr20
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