高等数学课件第二节数列极限

1、高等数学课件第二节数列极限 第二节第二节 数列的极限数列的极限 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 1/28 高等数学课件第二节数列极限 1 1、割圆术：、割圆术： “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 刘徽刘徽 一、数列极限的定义 高等数学课件第二节数列极限 1 1、割圆术：、割圆术： “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 刘徽刘徽 一、数

2、列极限的定义 高等数学课件第二节数列极限 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 一、数列极限的定义 高等数学课件第二节数列极限 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 一、数列极限的定义 高等数学课件第二节数列极限 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则

3、与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 一、数列极限的定义 高等数学课件第二节数列极限 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 一、数列极限的定义 高等数学课件第二节数列极限 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 一、数列极限的定义 高等数学课件第二节数列极限

4、 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 一、数列极限的定义 高等数学课件第二节数列极限 “割之弥细，所割之弥细，所 失弥少，割之又失弥少，割之又 割，以至于不可割，以至于不可 割，则与圆周合割，则与圆周合 体而无所失矣体而无所失矣” 1 1、割圆术：、割圆术： 刘徽刘徽 一、数列极限的定义 高等数学课件第二节数列极限 R 正六边形的面积正六边形的面积 1 A 正十二边形的面积正十二边形的面积 2 A 正正 形的面积形的面积 1 26 n n A ,

5、321n AAAA S 3/28 高等数学课件第二节数列极限 一列有序排列的数一列有序排列的数 , 21n xxx （1） 称为一个称为一个（无穷）数列无穷）数列，其中的每个数称为数列的，其中的每个数称为数列的 项项， n x称为称为第第 n 项项或或通项通项(一般项一般项)。数列。数列(1)记为记为 1 nn x 或或 n x 。 例如例如 , 8 , 4 , 2 , 8 1 , 4 1 , 2 1 ,2 1 n n 简简记记为为 。简记为简记为 2 1 n ;,2 n 。或或2 n ;, 2 1 n 4/28 高等数学课件第二节数列极限 例例1 1（1） a, aq, aq2, aq3,

6、, aqn-1,. 其中其中a,q为常数且为常数且q 0。一般项公式为。一般项公式为 ;,)1( , 1 , 1, 1 1 n :)1( 1 n : )1( 1 n n n （2） （3） xn = aq n-1。此数列简记为。此数列简记为 aqn-1 。 。, )1( , 3 4 , 2 1 , 2 1 n n n 高等数学课件第二节数列极限 在几何上一个数列可看成实数轴上的一个在几何上一个数列可看成实数轴上的一个 点列，也可看成实数轴上的一个动点点列，也可看成实数轴上的一个动点 1 x 2 x 3 x 4 x n x 注：注： 2. 数列可看成是以自然数为自变量的函数：数列可看成是以自然数

7、为自变量的函数： xn = f ( n ) . 6/28 高等数学课件第二节数列极限 7/28 数列极限的直观定义 对对 xn: x1 , x2 , x3 , , xn , 若随着若随着 n 的无限增大的无限增大(记作记作 n )， 有有xn无限无限 接近某个定数接近某个定数 a， (允许某些允许某些xn甚至全部甚至全部 xn等于等于 a)， 则称则称 xn 有极限有极限(为为a)或收敛或收敛(于于 a)，记作，记作: xn= a 或或 xn a (n ) n lim 高等数学课件第二节数列极限 8/28 例例2 2 讨论讨论 的极限的极限 解解 因为因为 n n n 1 )1( 1 ( 1)

8、 n n n x n 1 ( 1) 1 n n lim1 n n x 高等数学课件第二节数列极限 问题问题: 怎样用数学语言来精确地刻划怎样用数学语言来精确地刻划 数列极限的概念，数列极限的概念， 即表达：即表达：随着项随着项 数数n的无限增大，有项的无限增大，有项xn无限接近无限接近( (或或 等于等于) )a？ 高等数学课件第二节数列极限 随着随着n ，有，有xn无限接近无限接近(或等于或等于)常数常数a， 也就是也就是 | xn-a| 无限接近无限接近(或等于或等于)0 任给定任给定正数正数 ，不论它有多么小，只要，不论它有多么小，只要n足够足够 大（大（n 某个某个N），总可以使），总

9、可以使| xn-a| N 时的一切时的一切xn, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称数列那末就称数列 xn 有有极限极限（为（为 a）, , 或者称数列或者称数列 xn 收敛收敛（于（于 a）, ,记为记为 ,limaxn n 或或 ).( nax n 如果数列没有极限如果数列没有极限, 就说数列是发散的就说数列是发散的. .| , 0lim axNnNax nn n 即即 2、精确定义、精确定义 高等数学课件第二节数列极限 注意：注意： 1） （ 0）必须可以任意小，但给定之后就）必须可以任意小，但给定之后就 确定下来了。因为确定下来了。因为 可以任意小可以任意小，所以所以 /

10、2，2 ， 2 等也是任意小的数。等也是任意小的数。 2）N与与 有关。有关。 3）若）若N( )存在，则必不唯一。存在，则必不唯一。 4）几何解释：）几何解释： x 2 N x 1 N x 2 a a a .)( ,),(, 落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个 内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当 N aaxNn n 高等数学课件第二节数列极限 5) 收敛性和极限值都与数列中有限个项无关。收敛性和极限值都与数列中有限个项无关。 可以任意改动、增删数列中有限个项，不影可以任意改动、增删数列中有限个项，不影 响其收敛性和极限值。响其收敛性和极限值。 数列极限的定义未给出

11、求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法. 注意：注意： 13/28 高等数学课件第二节数列极限 例例3. 1 )1( lim 1 n n n n 证证明明 证证1 n x1 )1( 1 n n n n 1 , 0 任给任给,1 n x要要, 1 n 只要只要, 1 n即即 所以所以, 1 N 取， ,时时则则当当Nn 1 )1( 1 n n n 总总有有 . 1 )1( lim 1 n n n n 高等数学课件第二节数列极限 特别特别 , 100 1 给定给定 , 100 11 n 由由,100时时只要只要 n, 100 1 1 n x有有 , 1000 1 给定给定,1000时时只要只

12、要 n 。有有 10000 1 1 n x , 10000 1 给定给定 ,10000时时只只要要 n , 1000 1 1 n x有有 注意注意: : 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时, 关键是任意给关键是任意给 定定 说明相应的说明相应的N存在存在, 但不必求出但不必求出 最小的最小的N. , 0 高等数学课件第二节数列极限 例例4 4 .lim),(CxCCx n n n 证证明明为为常常数数设设 证证 Cxn CC ,成立成立 ,0 任任给给 所以所以, 0 ,n对于一切自然数对于一切自然数 .limCxn n 说明说明: : 常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常

13、数. .证毕证毕 17/28 高等数学课件第二节数列极限 例例5 5 . 1, 0lim qq n n 其其中中证证明明 证证 , 0 任给任给 ,0 n n qx要要使使,lnln qn即即 ,时时则则当当Nn ,0 n q就就有有 证毕。证毕。. 0lim n n q , ln ln q n 只要只要 ;00limlim n n n q则则, 0 q若若 , 10 q若若 ln ln| N q 取取， 高等数学课件第二节数列极限 例例6.lim, 0lim, 0axaxx n n n n n 求求证证且且设设 证证, 0 .limaxn n ,limax n n , aaxNnN n 时时

14、，恒恒有有使使得得当当 ax ax ax n n n 从从而而有有 a axn ， a a 高等数学课件第二节数列极限 二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 1、有界性、有界性 定定义义: 对对数数列列 n x， 若若存存在在正正数数M， 使使得得一一切切正正 整整数数n， 恒恒有有Mxn 成成立立，则则称称数数列列xn有有界界; 否否则则， 称称为为无无界界， 例如例如, ，数数列列 1 n n xn，数列数列 n n x2 从几何上看：从几何上看： 有界；有界；无界。无界。 数列数列xn对应于点列可落于某个有界闭区间内。对应于点列可落于某个有界闭区间内。 20/28 高等数学课件第二节数列

15、极限 定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. . 证证,limaxn n 设设由定义由定义, 1 取取 , 1, axNnN n 时时，恒恒有有使使得得当当则则 . 11 axa n 即即有有 ,1,1,max 1 aaxxM N 记记 ,Mxn n 皆皆有有则则对对一一切切自自然然数数 证证毕毕。有有界界故故 . n x 推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. . 21/28 高等数学课件第二节数列极限 例例7 7 n+(-1)nn: 0, 4, 0, 8, 0, 12, 是无界的是无界的, 注意注意收敛收敛有界有界;发散发散无界无界. 收敛收敛有界有界; 发散发散无界

16、无界. n+(-1)nn 发散发散. 22/28 高等数学课件第二节数列极限 例例8 8 .)1( 1 是是发发散散的的证证明明数数列列 n n x 证证 ,limaxn n 设设由定义由定义, , 2 1 对于对于 , 2 1 ,成成立立有有时时使使得得当当 axNnN n ), 2 1 , 2 1 (, aaxNn n 时时即即当当 区间长度为区间长度为1. ,1, 1 两两个个数数无无休休止止地地反反复复取取而而 n x 不可能同时位于长度为不可能同时位于长度为1的区间内的区间内. xn发散发散. 证毕。证毕。 23/28 高等数学课件第二节数列极限 2、唯一性、唯一性 定理定理2 2

17、每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. . 证证,lim,limbxax n n n n 又又设设由定义由定义, ，使使得得，任任给给定定 21, 0NN ; 1 axNn n 时，恒有时，恒有 ; 2 bxNn n 时，恒有时，恒有当当 ,max 21 NNN 取取 时，有时，有则当则当Nn )()(axbxba nn axbx nn .2 .时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.证毕。证毕。 24/28 高等数学课件第二节数列极限 3. 保号性保号性. 若若,limaxn n 且且, 0a ,时当Nn 有有 0 n x )0( )0

18、( 证证: 对对 a 0 , 取取 , 2 a ,时当Nn axn 2 a n x0 2 a a ax 2 a 2 a 推论推论: 若数列从某项起若数列从某项起 , 0 n x,limaxn n 且 0a则 )0(. )0( (用反证法证明) O ,NN 则则 ,NN 则则 高等数学课件第二节数列极限 4、子数列的收敛性、子数列的收敛性 ）（或或的的的的一一个个数数列列称称为为原原数数列列 到到中中的的先先后后次次序序，这这样样得得这这些些项项在在原原数数列列 保保持持中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项并并定定义义：在在数数列列 子子列列子子数数列列 n n n x x x ： 1 nn x , 21k nnn xxx .knnxx kxx kknn nn k kk 项，显然，项，显然，中却是第中却是第在原数列在原数列而而 项，项，是第是第中，一般项中，一般项在子数列在子数列 注意：注意： 例如，例如， , 21 21 k nnn xxxxx ： 1 knk x 高等数学课件第二节数列极限 定理定理3 3 数列数列 xn 收敛于收敛于a xn 的任一子数列的任一子数列 都收敛于都收敛于a 26/28 推论推论 若若 x xn n 有发散子列或有两个收敛于不同有发散子列或有两个收敛于不同 极