椭圆的参数方程[重要知识]

1、 4. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程 1重点辅导 其中参数的几何意义为其中参数的几何意义为:为圆心角为圆心角 圆心为圆心为(a,b)、半径为半径为r的圆的参数方程为的圆的参数方程为 x =a+rcos y =b+rsin (为参数为参数) 知识回顾知识回顾 对于我们现在学习的椭圆是否也有与之对应的参数方程呢？对于我们现在学习的椭圆是否也有与之对应的参数方程呢？ 例例5、如图、如图,以原点为圆心以原点为圆心,分别以分别以a、b(ab0) 为半径作两个圆，点为半径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，与小圆的交点， 过点过点A作作 AN Ox ，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作 B

2、M AN ，垂，垂 足为足为M，求当半径，求当半径OA绕点绕点O旋转时，点旋转时，点M的轨迹的参的轨迹的参 数方程。数方程。 解：设点解：设点M（x,y), 是以是以ox为始边，为始边， oA为终边的为终边的 正角。正角。为参数为参数那么那么： =acos =bsin x =acos y =bsin（为参数）为参数） 新课讲授新课讲授 x O y A B N M(x,y) x =acos 在在 y =bsin（为参数）为参数） 中：中： 将两个方程变形，得将两个方程变形，得：cos a x sin b y 联想到联想到1cossin 22 所以有所以有： 1 2 2 2 2 b y a x 新

3、课讲授新课讲授 由此可知由此可知,点点M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆. x O y A B N M x =acos y =bsin（为参数）为参数） 我们把方程我们把方程 叫做椭圆叫做椭圆 的参数方程。的参数方程。 )( 1 2 2 2 2 oba b y a x 1.上面椭圆的参数方程上面椭圆的参数方程a ,b的几何意义是什么的几何意义是什么？ 椭圆椭圆 )( 1 2 2 2 2 oba b y a x x =acos y =bsin（为参数）为参数） 1.已知椭圆的参数方程已知椭圆的参数方程 （ 是参数）是参数） 则此椭圆的长轴长是则此椭圆的长轴长是_，短轴长是，短轴长是_。 sin cos3

4、 y x 322 课堂练习课堂练习 sin3 cos5 y x 椭圆椭圆 的参数方程是怎样的？的参数方程是怎样的？ )0(1 2 2 2 2 ba b x a y x O y A B N M ).( 为参数 sin a y cos b x 1 o F y x 2 F M 12 y o FF M x x =acos y =bsin（为参数）为参数） 参数方程参数方程: : x=bcos y =asin（为参数）为参数） 参数方程参数方程: : ) 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 标准方程标准方程: : 01 2 2 2 2 ba b y a x 标准方程标准方程: : 2.怎样把

5、椭圆的普通方程和参数方程互化怎样把椭圆的普通方程和参数方程互化？ 参数参数 方程方程 普通普通 方程方程 设参数设参数 消去参数消去参数 1. 将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程,普通方普通方 程化为参数方程程化为参数方程: ( 3cos 1 2sin 为参数）（） x y ( 8cos 2 6sin 为参数）（ ） x y 2 2 49 31 y x （ ） 2 2 16 (4)1 y x 课堂练习课堂练习 1 49 22 yx1 3664 22 yx x =2cos y =3sin（为参数）为参数） x =cos y =4sin（为参数）为参数） 2、下列结论正确的是：（

6、、下列结论正确的是：（ ） x =5cos y =5sin（为参数）为参数） x =5cos y =4cos（为参数）为参数） x =5cos y =4sin（为参数）为参数） x =5cos y =4sin（为参数且为参数且 ）0 3.曲线的参数方程曲线的参数方程 ，则此曲线是（），则此曲线是（） A、椭圆、椭圆 B、直线、直线 C、椭圆的一部分、椭圆的一部分 D、线段、线段 是参数） ( sin2 cos 2 2 y x 课堂练习课堂练习 2.椭圆参数方程的应用椭圆参数方程的应用 x y O 1 49 22 yx .,2626最最小小值值最最大大值值 22 1 94 xy 在中x+y-c0

7、恒成立， 求实数c的取值范围 2.椭圆参数方程的应用椭圆参数方程的应用 解：因为点解：因为点P（x,y)在椭圆在椭圆 上，可设上，可设 ： 1 4 2 2 y x x =2cos y = sin (为参数为参数) 3 2 ) 3 2 (cos3 2 则则|AP|= 22 )(sin) 1cos2( 当当cos= 时，时，|AP| = 3 6 3 2 min 3 5 3 4 3 5 3 4 |AP| = 3 6 min 例例1.已知点已知点A（1，0），点），点P在椭圆在椭圆 上移动，问：点上移动，问：点P 在何处时使在何处时使|PA|的值最小？的值最小？ 1 4 2 2 y x x y O 解

8、：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为P( cos , sin ) ab 4cossin2sin22Sababab 矩形 ()2 24 k kZSab 矩形 当时，最大。 所以椭圆内接矩形面积的最大值为所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab. 例例2.已知椭圆已知椭圆 ,求椭圆内接矩形求椭圆内接矩形 面积的最大值面积的最大值. )( 1 2 2 2 2 oba b y a x 2.椭圆参数方程的应用椭圆参数方程的应用 在椭圆在椭圆 上求一点上求一点 ,使使 到直线到直线 的距离最小的距离最小. 88 22 yxPP04: yxl 方法一方法一: 方法二：方法二： x

9、y l O 图1-2 2.椭圆参数方程的应用椭圆参数方程的应用 2 |4)cos(3| , 3 22 sin)sin(cos)cos(cos . 3 1 sin)cos(cos)sin(sin 方法方法一一： )sin,cos22(P 设设 2 |4sincos22| dP 则点则点 到直线距离到直线距离 . 3 1 sin, 3 22 cos，其中，其中 1)cos( 2 2 d当当 时，时， 取最小值取最小值 . 此时此时, ). 3 1 , 3 8 ( P点的坐标点的坐标 2.椭圆参数方程的应用椭圆参数方程的应用 x y l O 图1-2 1 8 2 2 y x 方法二方法二:把直线把直

10、线 平移至平移至 , 与椭圆相切与椭圆相切, 此时的切点此时的切点 就是最短距离时的点就是最短距离时的点. l l l P l x y l O P 0829 22 mmyy 0)8(944 22 mm3m 88 0 22 yx myx 由由 P3m 04: yxl ) 3 1 , 3 8 (P 由图形可知：由图形可知： 时时， 到直线到直线 的距离最小的距离最小,此时此时 . 0: myxl 即设：即设： 2.椭圆参数方程的应用椭圆参数方程的应用 P O l x y l / l / l / P 已知椭圆方程已知椭圆方程 求求 的范围。的范围。(用两种方法做用两种方法做) , 1 916 22 y