全国各地中考数学试题解析专题56：探索规律型问题(数字类)

1、2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题56：探索规律型问题(数字类）一、选择题1. （2012江苏扬州3分）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如2335，337911，4313151719，若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是【 】a43 b44 c45 d46【答案】c。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】分析规律，然后找出2013所在的奇数的范围，即可得解：2335，337911，4313151719，m3分裂后的第一个数是m(m1)1，共有m个奇数。45(451)11981，46(461)12071，第2013个奇数是底数

2、为45的数的立方分裂后的一个奇数，m45。故选c。2. （2012江苏盐城3分）已知整数满足下列条件：, ,依次类推，则的值为【 】 a b c d【答案】b。【考点】分类归纳（数字的变化类）【分析】根据条件求出前几个数的值，寻找规律，分是奇数和偶数讨论： ， ，当是奇数时，是偶数时， 。故选b。3. （2012四川自贡3分）一质点p从距原点1个单位的m点处向原点方向跳动，第一次跳动到om的中点m3处，第二次从m3跳到om3的中点m2处，第三次从点m2跳到om2的中点m1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点o的距离为【 】abcd【答案】d。【考点】分类归纳（图形的变化类），数轴

3、。【分析】om=1，第一次跳动到om的中点m3处时，om3=om=。同理第二次从m3点跳动到m2处，即在离原点的（）2处，同理跳动n次后，即跳到了离原点的处。故选d。4. （2012山东滨州3分）求1+2+22+23+22012的值，可令s=1+2+22+23+22012，则2s=2+22+23+24+22013，因此2ss=220131仿照以上推理，计算出1+5+52+53+52012的值为【 】a520121b520131cd【答案】c。【考点】分类归纳（数字的变化类），同底数幂的乘法。【分析】设s=1+5+52+53+52012，则5s=5+52+53+54+52013， 5ss=520

4、131，s=。故选c。5. （2012山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出33个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为【 】a32 b126 c135 d144【答案】d。【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又已知最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，则最小数为x16。 x（x16）=192，解得x=24或x=8（负数舍去）。 最大数为24，最小数为8。 圈出的9个数为8，9，10，1

5、5，16，17，22，23，24。和为144。故选d。6. （2012广西南宁3分）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有【 】a7队 b6队 c5队 d4队 【答案】c。【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x1）场球，第二个球队和其他球队打（x2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+x1）= 场球，根据计划安排10场比赛即可列出方程：， x2x20=0，解得x=5或x=-4（不合题意，舍去）。故选c。二、填空题1. （2012重庆市4分）甲、乙两

6、人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌规定每人最多两种取法，甲每次取4张或（4k）张，乙每次取6张或（6k）张（k是常数，0k4）经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌的总张数恰好相等，那么纸牌最少有 张【答案】108。【考点】分类归纳（数字的变化类）。2. （2012广东肇庆3分）观察下列一组数：， ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】根据已知得出数字分母与分子的变化规律： 分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，第k个数分子是2k，分母是2k+1。这一组数的第k个数是。3. （2012浙

7、江台州5分）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“ab”，使得下列算式成立：12=21=3，（3）（4）=（4）（3）=，（3）5=5（3）=，你规定的新运算ab= （用a，b的一个代数式表示）【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类），新定义。【分析】寻找规律： ， ， 。4. （2012江苏泰州3分）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：， ，【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】寻找规律，代数式的系数为1，3，5，7，9，是奇数排列；代数式字母的指数为1，2，3，4，5，是自然数排列。所以在横线上的代数式是。5. （2012江苏盐城3分）一批志愿者组成了一个“爱心团

8、队”,专门到全国各地巡回演出,以募集爱心基金.第一个月他们就募集到资金1万元,随着影响的扩大,第n（n2）个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%,则当该月所募集到的资金首次突破10万元时,相应的n的值为 .(参考数据:,)【答案】13。【考点】分类归纳（数字的变化类），同底数幂的乘法【分析】第一个月募集到资金1万元，则由题意第二个月募集到资金（1+20%）万元，第三个月募集到资金（1+20%）2万元，第n个月募集到资金（1+20%）n-1万元，由题意得： （1+20%）n110，即1.2 n110.1.251.267.510，1.251.2710.810，n1=5+7=12，解得，n=1

9、3。6. （2012福建三明4分）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是 【答案】900。【考点】分类归纳（数字变化类）。【分析】寻找规律： 上面是1，2 ，3，4，；左下是1，4=22，9=32，16=42，； 右下是：从第二个图形开始，左下数字减上面数字差的平方：（42）2，（93）2，（164）2，a=（366）2=900。7. （2012湖北恩施4分）观察数表根据表中数的排列规律，则b+d= 【答案】23。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直线上的数字从左至右相加等于最上而的一个数字，1+4+3=b，1+7+d+10+1

10、=34。b=8，d=15。b+d=8+15=23。8. （2012湖北黄石3分）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令 ：有 解得：请类比以上做法，回答下列问题：若n为正整数，则 .【答案】12。【考点】分类归纳（数学的变化类），有理数的混合运算，解一元二次方程。【分析】根据题目提供的信息，找出规律，列出方程求解即可：设s=3+5+7+（2n+1）=168，则s=（2n+1）+7+5+3=168，+得，2s=n（2n+1+3）=2168，整理得，n22n168=0，解得n1=12，n2=14（舍去）。n=12。9. （

11、2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：年份1896190019042012届数123n表中n的值等于 【答案】30。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】寻找规律：第1届相应的举办年份=18964（11）=189241=1896年；第2届相应的举办年份=18964（21）=189242=1900年；第3届相应的举办年份=18964（31）=189243=1904年；第n届相应的举办年份=18964（n1）=18924n年。由1892+4n=2012解得n=30。10. （2012湖南永州3分）我们把按

12、照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列例如数列1，3，9，19，33，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，是一个二阶等差数列那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，的第五个数应是 【答案】21。【考点】新定义，分类归纳

13、（数字的变化类）。【分析】如图，寻找规律： 因此，n=138=21。11. （2012湖南株洲3分）一组数据为：x，2x2，4x3，8x4，观察其规律，推断第n个数据应为 【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】寻找规律：（1）单项式的系数为1，2，3，4，即n为奇数时，系数为正数，n为偶数时，系数为负数，系数的绝对值为，即系数为；（2）单项式的指数为n。第n个数据应为。12. （2012湖南衡阳3分）观察下列等式sin30= cos60=sin45= cos=45=sin60= cos30= 根据上述规律，计算sin2a+sin2（90a）= 【答案】1。【考点】分类归纳（数字的

14、变化类），互余两角三角函数的关系。【分析】根据可得出规律，即sin2a+sin2（90a）=1，继而可得出答案由题意得，sin230+sin2（9030）= sin230+sin260=；sin245+sin2（9045）= sin245+sin245=；sin260+sin2（9060）= sin260+sin230=；sin2a+sin2（90a）=1。13. （2012四川巴中3分）观察下面一列数：1，2，3，4，5，6，根据你发现的规律，第2012个数是 【答案】2012。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】1，2，3，4，5，6，规律为绝对值是连续的自然数，第奇数个数是正数，第

15、偶数个数是负数， 第2012个数是：2012。14. （2012四川自贡4分）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依次类推，则= 【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类），倒数。【分析】， x2=，x3=，x4=。差倒数为3个循环的数。2012=6703+2，x2012=x2=。15. （2012四川凉山5分）对于正数，规定 ，例如：，则 。【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类），分式的加减法。【分析】寻找规律：当x=1时，f（1）=；当x=2时，f（2）=，当x=时，f（）= ，f（2）f（）=1；当x=3时，

16、f（3）=，当x=时，f（）= ，f（3）f（）=1；当x= n时，f（3）=，当x=时，f（）= ，f（）f（）=1。当x= 2012时，。16. （2012四川资阳3分）观察分析下列方程：，；请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程（n为正整数）的根，你的答案是： 【答案】x=n+3或x=n+4。【考点】分类归纳（数字的变化类），分式方程的解。【分析】求得分式方程的解，寻找得规律：由得，方程的根为：x=1或x=2，由得，方程的根为：x=2或x=3，由得，方程的根为：x=3或x=4，方程的根为：x=a或x=b，可化为。此方程的根为：x3=n或x3=n+1，即x=n+3或x=n+4。17. （2

17、012辽宁丹东3分）将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形有 个五角星. 【答案】120。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】寻找规律：不难发现， 第1个图形有3=221个小五角星；第2个图形有8=321个小五角星；第3个图形有15=421个小五角星；第n个图形有（n1）21个小五角星。 第10个图形有1121=120个小五角星。18. （2012辽宁沈阳4分）有一组多项式：ab2，a2b4，a3b6，a4b8，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 .【答案】a10b20。【考点】分类归纳（数字的变化类），多项式。【分析】第1个多项式为：

18、a1b21，第2个多项式为：a2b22，第3个多项式为：a3b23，第4个多项式为：a4b24，第n个多项式为：an（1）n+1b2n。第10个多项式为：a10b20。19. （2012贵州安顺4分）已知2+=22，3+=32，4+=42，若8+=82（a，b为正整数），则a+b= 【答案】71。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】根据规律：可知a=8，b=821=63，a+b=71。20. （2012贵州遵义4分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是 【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】分数的分子分别是：2 2=4，23=8

19、，24=16，2n。分数的分母分别是：2 2+3=7，23+3=11，24+3=19，2n3。第n个数是。21. （2012贵州六盘水4分）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数。例如，展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字。请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4= 【答案】a4+4a3b+6a

20、2b2+4ab3+b4。【考点】分类归纳（数字的变化类），完全平方公式。【分析】由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1。如图：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。22. （2012山东菏泽4分）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂

21、”出的奇数中，最大的奇数是 【答案】41。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=21+1，由33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=32+1，由43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=43+1，由53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=54+1，由63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=65+1，63“分裂”出的奇数中最大的是65+1+2（61）=41。23. （2012山东临沂3分）读一读：式子“1+2+3+4+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不

22、方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号通过对以上材料的阅读，计算= 【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类），分式的加减法。【分析】， 。24. （2012河北省3分）某数学活动小组的20名同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位开始，每位同学一次报自己的顺序数的倒数加1，第一同学报（+1），第二位同学报（+1），第三位同学报（+1），这样得到的20个数的积为 。【答案】21。【考点】分类归纳（数字的变化类），有理数的运算。【分析】第一同学报（+1）=2，第二位同学报（+1）=，第三位同学报（+1）=，第20位同学报（+1）=， 这20个数的积为。25. （2012内蒙古

23、赤峰3分）将分数化为小数是，则小数点后第2012位上的数是 【答案】5。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】观察，得出规律：6个数为一循环，若余数为1，则末位数字为8；若余数为2，则末位数字为5；若余数为3，则末位数安为7；若余数为4，则末位数字为1；若余数为5，则末位数字为4；若余数为0，则末位数字为2。化为小数是，20126=3352。小数点后面第2012位上的数字是：5。27. （2012黑龙江大庆3分）已知l=1，l1=121，l11=12321，则依据上述规律，的计算结果中，从左向右数第12个数字是 .【答案】4。【考点】分类归纳（数字的变化类）。119281【分析】根据平方后

24、的结果的规律，从左向右依次是从1开始的连续的自然数再逐渐减小至1，且中间的自然数与底数的1的个数相同，根据此规律写出即可得解：12=1，112=121，1112=12321，=123456787654321，所以的第12个数字是4。三、解答题1. （2012广东省7分）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5=；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=（n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+a100的值【答案】解：（1）。 （2）。 （3）a1+a2+a3+a4+a100。【考点】分类归纳（数字的变化

25、类）。【分析】（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1。（3）运用变化规律计算。2. （2012广东珠海9分）观察下列等式：12231=13221，13341=14331，23352=25332，34473=37443，62286=68226，以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：52 = 25；396=693（2）设这类等式左边两位数的十位数

26、字为a，个位数字为b，且2a+b9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明【答案】解：（1）275；572。63；36。（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）100b+10（a+b）+a=100a+10（a+b）+b（10b+a）。证明如下：左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，左边=（10a+b）100b+10（a+b）+a=（10a+b）（100b+10a+10b+a）=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（

27、10b+a），右边=100a+10（a+b）+b（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），左边=右边。“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）100b+10（a+b）+a=100a+10（a+b）+b（10b+a）。【考点】分类归纳（数字的变化类），代数式的计算和证明。【分析】（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律

28、进行填空即可：5+2=7，左边的三位数是275，右边的三位数是572。52275=57225。左边的三位数是396，左边的两位数是63，右边的两位数是36。63369=69336。（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可。3. （2012广东佛山10分）规律是数学研究的重要内容之一初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：(1)写出奇数a用整数n表示的式子；(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律)下面对