最新5弹性力学习题课2课时汇总

1、5弹性力学习题课2课时精品资料5典型例题5.1直角坐标解法例题1试列由图5-1的边界条件 解：（a）对于图5-1 （a）的问题，在主要边界 y=力/2应精确满足下列边界条件:图5- 1仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢52xcq ；，xy 0hy 2， y 0，xyq1在小边界（次要边界）x= 0,应用圣维南原理，列由三个积分的近似条件，当板厚6=1时,h/2h/2h/2h/2h/2h/2xy0 xdx 10dx 1fb 4f2x x 0dy 1 fx x 0 ydy i mxy x ody 1fs在小边界x l处，当平衡微分方程和其他各边界条件都已满足的条件下，三个积分的边界条件必

2、然满足，可以不必校核。(b)在主要边界x=0, b,应精确满足下列边界条件:x=0 ,法=-p gy hy =0;x= b , ex =0,gy = - q o在小边界y=0,列由三个积分的边界条件，当板厚 6=1时:0dx 1注意，在列力矩的条件时，两边均是对原点o的力矩来计算的。对于y=h的小边界可以不必校核。例题2图5-2所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力f和力矩m=fb/2的作用，试用应力函数：a点的位移和转角均为零=ax3+ bx2求解图示问题的应力及位移，设在(az,d=图5-2解：应用应力函数求解:(1)校核相容方程 40 ,满足(2)求应力分量，在无体力时，得：w =6ax+

3、2b , cx = ixy =0o(3)考察主要边界条件，x= bx = 0, &y =0,均已满足。考察次要边界条件，在 y=0上：(号x) y=0 =0,满足;bv dx f,加 b b y y o作f2b ；xdxfb 八 f.得a后代入，得应力的解答,f , 3x1 v = 丁 =n2b 2b ，板 &y 0。上述中和应力已满足了4 。和全部边界条件，因而是上述问题的解。(4)求应变分量，f3xf , 3xv 1 一 v 1-2eb2b， y 2eb 2b， xy(5)求位移分量，f 3xx 2eb 2b，对x积分，得:f3x2u x 2eb2bv由yyf 3x2eb 2b ，对y积分

4、，得:将u, v代入几何方程第三式f3xyy2eb2bf2 xv _ux yxy两边分开变量，并令都等于常数3,即:出2 xdxdfi ydy3f2 y 4eb2从上式分别积分，求生:精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9代入u, v,得:再由刚体约束条件,fif2ebf2 x3fx v08eb23x22bf2ebx 0,y h0,y h0,y h代入u, v,得到位移分量的解答:f u 2eb在顶点x= y=0 ,3x22bf2ebv x 0,y例题3矩形截面的简支梁上,y2 y u03f8eb23xy2b得u0得v02y y u0x v03f8eb2f2eb3f h2 h 8

5、eb2fh2eb作用有三角形分布荷载,h25-3。试用下列应力函数求解应力分量。t图5-3=ax3y3+ bxy 5+ cx3y+ dxy 3+ ex3+ fxy ,解：应用上述应力函数求解:(1)将中代入相容方程:40 , 72a +120b =0 ,得 a由此,53 3533-bx y bxy cx y dxy3ex fxy(2)求应力分量，在无体力下，得:10bx3y 20bxy3 6dxy10bxy3 6cxy 6exxy224 m 2215bx y 5by 3cx 3 dy(3)考察主要边界条件(y=抄/2) , y=力/2,孙=0,得:精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除

6、 谢谢1321525432x 3c bh2 bh4 dh2 f 04164对于任意的x值，上式均应满足，由此得:1523c bh2 045432bh4 -dh2 f 0164y= h/2 , oy =0,(a)(b)y= - h/2 ,5 r -x bh3 3ch 6e 04(c)xqi，53 cx bh3 3ch 6e4x qi(d)(c) + (d)得:(c) - (d)得:m2 3c 2qh(e) - (a)得:q5lh3 (4)考察小边界上的边界条件(x=0),由:得:h516由式（b）和（f）解由:另两个积分的边界条件:dy xy x 0 jfhqi6(f)i id q 33h3 1

7、0lhh l80l 4hx x ody 0x x 0 ydy显然是满足的于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答:xy2qxylhx q2112h2y213h223 hly2h2y3h3310oh y2201 hl读者试校核在x= l的小边界上，下列条件都是满足的,qlh 2h 2h 2x x l dy 0x x 1ydy 0xv . dyh/2 x x l ),h/2 x x l j j ,h/2 xy x l 75.2极坐标解法例题4 （习题4-8）试考察应力函数3cos3能解决图5-4所示弹性6a体的何种受力问题？图5- 4解：本题应按逆解法求解。 4首先校核相容方程，0是满足的。然后，

8、代入教科书中应力公式（4-5）,求生应力分量：cos3 , cos3 , sin 3a0,再求生边界上的面力：巾二 3w上，a 面上qcos3 , qsin 3面力分布如图5-4b所示，因此上述应力函数可解决如图所示的受力问题。精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢15例题5 （习题4-9）半平面体表面受有均布水平力q,试用应力函数2 bsin2c ,求解应力分量，图 5-5。图5-5解：首先检验中,已满足40。由中求应力，得:2bsin22c2bsin22c2bcos2再考察边界条件。注意本题有两个巾面，即在晰上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此,分别为土画有：0,得：c0

9、；2代入应力公式，得应力解答精品资料qsin 2qsin 2qcos2例题6 (习题4-18)设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力偶矩为 m,图5-6,试求应力分量。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢23解：应用半逆解法求解。(1)按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与m, p,巾有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即 l1mt 2 应力只能以m / 2形式组合。(2)中应比应力的长度量纲高二次累，可假设中=中( o(3)将中代入相容方程，得:d4 d 44r删去因子 丁，得一个关于 (的常微分方程。令其解为e ，代入上式，可得到一个关于人的特征方程

10、:其解为人=2j -2i, 0, 0。于是得到2i2i中的四个解ae ,be ,c ,d ；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得:=acos2 巾+ bsin2 巾 + c 巾 + d本题中结构对称于 巾=0的x轴，而m是反对称荷载，因此，应力应反 对称于x轴，为 巾的奇函数，从而得 a = d =0 ,=bsin 2巾+ c巾(4)由中求得应力分量,1 -4bsin21 cr c 八2bcos2 c(5)考察边界条件。由于原点o有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件。在p万0巾二兀白博界上，有(血 p w (j) = 兀=0 , ( q)p w,0(i)= 兀 /2=0

11、o前一式自然满足，而第二式成为：2b = c(a)为了考虑原点o附近有集中力偶的作用，取由以o为中心，p为半径的一小部分脱离体，并列由其平衡条件：fx 0,cos dsin d 0x ,22fy 0,sin dcos d 02mo 0, 22dm 022b上式中前两式自然满足，而第三式成为：(b)c m再由式（a）得由： c 一代入应力公式，得最后的应力解答：2m sin 220m cos2 12例题7 （习题4-19）设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力f,图5-7,试用如下的应力函数求解：a ln cos b sin 0解:(2)(3)(1)经校核，上述代入应力公式(4-5),得

12、:cos a 2bcos aa考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上作用有集中力f,可取由包含小孔口在内的、半径为p的脱离体，列由其三个平衡条件:2fx0，0cos dsin d2fy 0, 0sin dcos dmo 0,2d将应力代入上式，其中第二、三式自然满足,而第一式得出:(a)(4)由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。为此，先求生应变分量，再积分 求生位移分量，然后再考虑单值条件。由物理方程求出应变分量:1e1e2 1ecos 1 ecos /1 e2 1asine2bcose代入几何方程，得:a 2basincoseu由前两

13、式积分，得:1-1 a 2bin cos f11 a 2b in sin eb sin fdf1代入第三式,df1fi并分开变数,2sin .1e得:2adfd为了使上式在区域内任意的p、。都成立，两边都必须等于同一常数go这样,得到两个常微分方程:df1fi(b)由式（b）将式（c）2sine2adfd(c)解出:f1力求导一次，再求生:再将上式的1 1 e(代入up,b 2a得:b 2a in cos11(d)sini cosk sinb 2asini cos k sin显然，式（d）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须:(1-以)b +2a =0(e)将式（a）代入上式，得：a

14、/f将式（a） , （ f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力f的解答：f ccos一 34f cos14f . sin14例题8圆盘的直径为d,在一直径ab的两端受到一对大小相同，方向相反的集中力f的作用，图5-8,试求其应力图5-8解：本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得由。(1)假设gh以下为半平面体，在a点的f作用下，引用教科书中式(4-22)之解:2f cos 11(a)1(2)假设ij以上为半平面体，在2f cos 22,b点的f作用下，类似地得由:(b)精品资料s 21二 d。2f d，2f , 一 ，一。为了消除圆周上的分布压 d其对应的应力分量为：0（c）a）、（ b）、（ c）三部分解于 n 点，设 an = p, / ban4f cos32fd（3）对于圆周上的点 m,分别作用有：i和 2 ,且am ibm ,并有:cos 11显然，在圆周上有：1两者合成为圆周上的法向分布压力， 、，-,一， 2f 力，应在圆周上施加分布