复变函数题库(包含好多试卷-后面都有答案)

1、复变函数论试题库复变函数考试试题(一)1 、 判断题(20分)：1 .若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数 f(z)在z0解析.()2 .有界整函数必在整个复平面为常数.()3 .若 zn收敛，则re zn与im zn者嫩敛.()4 .若f(z)在区域d内解析，且f 0,则f c (常数).()5 .若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为哥级数()6 .若z0是f的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点.()lim f (z)7 .若z z0存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点.()8 .若函数f(z)在是区域d内的单叶函数，则f(z) 0( z d).()9

2、 .若f(z)在区域d内解析，则对d内任一简单闭曲线 c f (z)dz 0.()c10 .若函数f(z)在区域d内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域d内恒等于常数.()2 .填空题(20分)(n为自然数)dz1、 1zz011(z z)n 2 _2 _2 . sin z cos z 3 .函数sinz的周期为 .4 .设f(z)z2 1 ,则f(z)的孤立奇点有 .5 .骞级数 nzn的收敛半径为. n 06 .若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是 7.若lim zn n, . zi z2 . zn lim ，贝u n n,其中n为自然数.z e res(,0)8. zsinz

3、39. 的孤立奇点为lim f (z)z0z10. 若z0是f (z)的极点,则3 .计算题(40分)：1.f(z)设(z 1)(z 2)，求f(z)在d z: 0 |z|。内的罗朗展式.2.|z|dz.3.4.1 coszf(z)z 1z 1的实部与虚部.其中 c z:|z| 3,试求 f(1 i).4 .证明题.(20分)1.函数f (z)在区域 d内解析.证明：如果 |f(z)|在d内为常数，那么它在 d内 为常数.2.试证：f (z)并求出支割线0jz(1 z)在割去线段0 rez 1的z平面内能分出两个单值解析分支rez 1上岸取正值的那支在 z 1的值.复变函数考试试题(二).判断

4、题.(20分)1.若函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在d内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在d内连续.2.3.4.5.6.7.cos z与sin z在复平面内有界.若函数f在z0解析，则f在z0连续.有界整函数必为常数.如z。是函数f(z)的本性奇点,则lim f (z)一定不存在. z z0若函数f(z)在z0可导，则f在z0解析.若f(z)在区域d内解析，则对d内任一简单闭曲线c f (z)dz 0.c( ( ( () ) ) ) )8 .若数列zn收敛，则re zn与im zn都收敛.9 .若f(z)在区域d内解析，则|f(z)|也在d内解析.()1 一 1110 .

5、存在一个在零点解析的函数f(z)使f() 0且f(，)，,n 1,2,. n 12n 2n()二.填空题.(20分)1 .设z i,则|z| ,argz ,z 2 .设 f (z) (x2 2xy) i(1 sin(x2 y2), z x iy c ,则 lim f (z).z 1 idz3.忆zo|1(z zo)n. ( n为自然数)4 .幕级数nzn的收敛半径为n 05 .若zo是f(z)的m阶零点且m0,则zo是f(z)的军点.6 .函数4的周期为.7 .方程2z5 z3 3z 8 0在单位圆内的零点个数为 、118 .设f (z)-2-,则f的孤立奇点有.1 z9 .函数f (z) |

6、z|的不解析点之集为 .z 1八10 . res(,1) . z三.计算题.(40分)3、1 .求函数sin(2z)的幕级数展开式.2 .在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数jz在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右 沿的点z i处的值.i3 .计算积分：i jz|dz,积分路径为(d单位圆(|z| 1)的右半圆.sin zdzi) j4.求(z )1.设函数f在区域d内解析，试证:d内解析.f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在四.证明题.(20分)2.试用儒歇定理证明代数基本定理复变函数考试试题(三)1 .判断题.(20分).1 . cos z与s

7、in z的周期均为2k .()2 .若f(z)在zo处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在zo解析.()3 .若函数f(z)在zo处解析，则f(z)在zo连续.()4 .若数列zn收敛，则rezn与im zn都收敛.()5 .若函数f(z)是区域d内解析且在d内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区 域d内为常数.()6 .若函数f(z)在zo解析，则f (z)在zo的某个邻域内可导.()7 .如果函数f(z)在d z:|z| 1上解析，且| f(z)| 1(|z| 1),则|f(z)| 1(|z| 1).()8 .若函数f(z)在zo处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幕级数.()9 .若zo

8、是f (z)的m阶零点，则zo是1/ f (z)的m阶极点.()10 .若z0是f (z)的可去奇点，则 res(f (z),zo)0.()2 .填空题.(20分)、一1 一 1. 设f(z) -,则f(z)的定义域为.z 12. 函数ez的周期为.3. 若 zn -24. sin z cos z . i(1 1)二 则 lim zn .1 n n n5.dz|zz011(z zo)n. ( n为自然数)6.幕级数 nxn的收敛半径为.n 01iu 一7 .设f (z)z ,则f (z)的孤立奇点有8 .设 ez1,则 z .9 .若z0是f (z)的极点，则lim f (z) z zoz10

9、 . res(e7，0) .z三.计算题.(40分)11. 将函数f(z) z2e在圆环域0 z 内展为laurent级数.n! n2.试求幕级数nzn的收敛半径.ne dz3 .算下列积分：二，其中c是|z| 1.cz2(z2 9)4 .求z9 2z6 z2 8z 2 0在|z|1内根的个数.四.证明题.(20分)1 .函数f (z)在区域d内解析.证明：如果| f (z) |在d内为常数，那么它在d内为常数.2 .设f (z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数r及m使得当|z| r时|f(z)| m |z|n,证明f (z)是一个至多n次的多项式或一常数。复变函数考试试题

10、(四)1 .判断题.(20分)1 .若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.()2 .若函数f(z)在z0可导，则f在z0解析.()3 .函数sin z与cosz在整个复平面内有界.()4 .若f在区域d内解析，则对d内任一简单闭曲线c都有f (z)dz 0.c()5 .若1im f(z)存在且有限，则zo是函数的可去奇点.()z zo6 .若函数f在区域d内解析且f(z) 0,则f(z)在d内恒为常数.()7 .如果zo是f(z)的本性奇点，则1im f (z) 一定不存在.()z zo8 .若 f(z0) 0, f (n)(z0) 0,则 z0 为 f (z)的 n 阶

11、零点.()9 .若f (z)与g(z)在d内解析，且在d内一小弧段上相等，则f (z) g(z),z d.()10 .若f(z)在0 |z| 内解析，则res(f(z),0) res(f(z),).()2 .填空题.(20分)11 .设z ，则rez ,imz1 i2 .若 lim zn,则 lim z-z2 zn .nnn3 .函数3的周期为.14 .函数f(z)的幕级数展开式为 1 z5 .若函数f在复平面上处处解析，则称它是.6 .若函数f(z)在区域d内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 d内的7 .设c :| z| 1,贝u (z 1)dzc sinzg、方上48 .的孤乂奇点为.

12、9 .若z0是f(z)的极点，则lim f(z) z z0ez -10 . rekus z三.计算题.(40分)31 .解方程z 10.z2 .设 f(z)求 res(f(z),). z 1z3 2dz.4 .忆|2(9 z2)(z i) .114.函数f(z) ez 1 z有哪些奇点？各属何类型(若是极点，指明它的阶数).四.证明题.(20分)1 .证明：若函数f (z)在上半平面解析，则函数 f (z)在下半平面解析.2 .证明z4 6z 3 0方程在1 |z| 2内仅有3个根.复变函数考试试题(五)1 .判断题.(20分)1 .若函数f(z)是单连通区域d内的解析函数，则它在d内有任意阶

13、导数.()2 .若函数f(z)在区域d内的解析，且在d内某个圆内恒为常数，则在区域d内 包等于常数.()3 .若f(z)在区域d内解析，则|f(z)|也在d内解析.()4 .若幕级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析.()5 .若函数f在z0处满足cauchy-riemann条件，则f(z)在z0解析.()6 .若lim f(z)存在且有限，则zo是f(z)的可去奇点.()z zo7 .若函数f在zo可导，则它在该点解析.()8 .设函数f(z)在复平面上解析，若它有界，则必 f(z)为常数.()9 .若z0是f ( z)的一级极点，则res(f(z), zo) lim(z zo)f

14、(z).()z zo10 .若f (z)与g(z)在d内解析，且在d内一小弧段上相等，则f (z) g(z),z d.()2 .填空题.(20分)1 .设z 1 3,则|z| ,argz ,z .2 .当z 时，ez为实数.3 .设 ez1,则 z4 .ez的周期为5 .设c :| z| 1,则(z 1)dz c ez 16 . res(,0) .z7 .若函数f(z)在区域d内除去有限个极点之外处处解析，则称它是d内的18 .函数f(z)的幕级数展开式为1 z2sinz_9. 的孤立奇点为.，1.10.设c是以为a心，r为半径的圆周，则 -dz .(n为自c(z a) 一然数)三.计算题.(

15、40分)z 11 .求复数的实部与虚部.z 12 .计算积分：ire zdz,l在这里l表示连接原点到1 i的直线段.3.求积分：i1 2acos2 ,其中 0a1 .a4.应用儒歇定理求方程 z (z),在|z|1内根的个数，在这里 (z)在|z| 1上解析，并且| (z)| 1.四.证明题.(20分)2 一1 .证明函数f (z) | z |除去在z 0外，处处不可微.2 .设f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n,以及两个数r及m, 使得当|z| r时|f(z)| m |z|n,证明：f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.复变函数考试试题(六)一、判断题(30分)：1 .若函

16、数f (z)在z0解析，则f (z)在z0连续.()2 .若函数f (z)在z0处满足caychy-riemann条件，则f (z)在z0解析.()3 .若函数f (z)在z0解析，则f (z)在z0处满足caychy-riemann条件.()4 .若函数f (z)在是区域d内的单叶函数，则 f (z) 0( z d).()5 .若f(z)在单连通区域 d内解析，则对 d内任一简单闭曲线c都有f(z)dz 0.c()6 .若f(z)在区域d内解析，则对 d内任一简单闭曲线 c都有f(z)dz 0.() c7 .若f (z) 0( z d),则函数f(z)在是d内的单叶函数.()18 .若zo是

17、f(z)的m阶零点，则小是的m阶极点.() f(z)9 .如果函数 f (z)在 d z: z 1 上解析，且 f(z) 1(z 1),则 f (z) 1(z 1).10 . sin z 1( z c).()二、填空题(20分)1.若zn詈i(13n，则 limzn .1 nn1 ，_、，2 .设f (z)-一，则f(z)的定义域为 z 13 . 函数sin z的周期为.224 . sin z cos z .5 . 哥级数nzn的收敛半径为n 06 .若z0是f(z)的m阶零点且m 1,则z0是f (z)的 零点.7 .若函数f (z)在整个复平面处处解析，则称它是 8 .函数f (z) z的

18、不解析点之集为方程2z53.、.9.:z 3z 8 0在单位圆内的零点个数为10.公式eixcosx isinx 称为三、计算题(30分)1、limn2、f(z)，其中 c z: z 3 ,试求 f (1 i).3、f(z)求 re s(f (z),i).sin z3_4、求函数sn令在0 z 内的罗朗展式 zz 1 ,5、求复数w j的实部与虚部 z 1-i6、求e 3的值.四、证明题(20分)1、方程z7 9z6 6z3 1 0在单位圆内的卞b勺个数为 6.2、若函数f(z) u(x, y) iv(x,y)在区域d内解析，v(x,y)等于常数，则f(z)在d恒等于常数.13、若小是f (z

19、)的m阶零点，则zo是的m阶极点.f(z)复变函数考试试题(七)一、判断题(24分)1 .若函数f (z)在zo解析，则f(z)在zo的某个领域内可导.()2 .若函数f (z)在z0处解析，则f (z)在z0满足cauchy-riemann条件.()3 .如果z0是f(z)的可去奇点，则lim f(z)一定存在且等于零.() z z04 .若函数f(z)是区域d内的单叶函数，则 f (z) 0( z d).()5 .若函数f(z)是区域d内的解析函数，则它在 d内有任意阶导数.()6 .若函数f(z)在区域d内的解析，且在 d内某个圆内恒为常数，则在区域d内恒等于常数.()一.17.若z0是

20、f(z)的m阶零点，则z0是的m阶极点.() f(z)二、填空题(20分)1 1 n 一 .1 .若 zn sin i(1 一)，则 lim zn .1 n n2.设f (z) zjl. ,则f(z)的定义域为 .z 13 .函数ez的周期为.224 . sin z cos z .z 一 ，e 10. res(,0) z三、计算题(30分)1、2、设 f (z)3 2 713-1d ,其中cc zz: z 3 ,试求 f (1 i).3、设 f (z)ze ，一 ，-2 ,求 res(f(z),0). z4、求函数(z 1)(z 1)在1 z 2内的罗朗展式.5、z 1 ,、一一 求复数 w

21、的实部与虚部.z 16、利用留数定理计算积分:四、证明题(20分)1、方程 24z7 9z6 6z3 *z3 1 0在单位圆内的卞b勺个数为7.2、若函数 f (z) u(x, y)iv(x, y)在区域d内解析,f (z)等于常数，则f (z)在d恒等13、若4是f(z)的m阶零点，则z0是的m阶极点.f(z)五、计算题(10分)求一个单叶函数，去将z平面上的上半单位圆盘z: z 1,im z 0保形映射为 w平面的单位圆盘w: w复变函数考试试题(八)一、判断题(20分)1、若函数f(z)在zo解析，则f(z)在zo连续.() 2、若函数f (z)在z0满足cauchy-riemann条件

22、，则f(z)在z0处解析.()3、如果z0是f(z)的本性奇点，则lim f (z) 一定不存在.() z z04、若函数f (z)是区域d内解析，并且f (z) 0( z d),则f(z)是区域d的单叶函数 ()5、若函数f(z)是区域d内的解析函数，则它在 d内有任意阶导数.()6、若函数f(z)是单连通区域d内的每一点均可导，则它在d内有任意阶导数.()7、若函数f (z)在区域d内解析且f (z) 0,则f(z)在d内恒为常数.(). . . 一 . ._1 r _ 118 .存在一个在零点解析的函数”2)使f()0且f() ,n 1,2,l .()n 12n2n9 .如果函数 f(z

23、)在 d z:|z 1 上解析，且 f(z) 1(z 1),则 f(z) 1(z 1).()10 . sin z是一个有界函数.()二、填空题(20分)n 21 一1、若 zn j i(1 1)n ,则 lim zn .1 nn2、设 f(z) ln z ,则 f (z)的定义域为 .3、4、函数sin z的周期为.若 lim zn,则 lim 1-z2-lznn55、哥级数nzn的收敛半径为 .n 016、函数 f (z) r的帚级数展开式为 1 z2-17、若c是单位圆周，n是自然数，则 ndz .c(z z)8、函数f(z) z的不解析点之集为、5329、方程15z z 4z 8 0在单

24、位圆内的零点个数为 110、若f (z) 5 ,则f (z)的孤立奇点有 .1 z i lz 3(z 1)(z 4)三、计算题(30分)1、求 ez 1 sin zdzlz 11dz3712、设 f(z) d ,其中 cc zz: z 3 ,试求 f (1 i).z3、设 f(z)求 res( f(z),).z2 14、求函数 一z-40一 在 & z 内的罗朗展式(z 1)(z2 2)5、z 1 ,、一一 求复数 w 的实部与虚部.z 1四、证明题(20分)1、方程15z7 5z6 6z3 1 0在单位圆内的卞的个数为 7.2、若函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在区域d内连续

25、，则二元函数u(x, y)与v(x, y)都在d 内连续.14、若小是f(z)的m阶零点，则z0是的m阶极点.f(z)五、计算题(10分)4求一个单叶函数，去将 z平面上的区域z: 0 arg z 保形映射为 w平面的单位圆盘w: w 1复变函数考试试题(九)一、判断题(20分)1、若函数f(z)在4可导，则f(z)在zo解析.()2、若函数f (z)在z0满足cauchy-riemann条件，则f (z)在z0处解析.()3、如果z0是f(z)的极点，则lim f (z) 一定存在且等于无穷大.() z 44、若函数f (z)在单连通区域 d内解析，则对 d内任一简单闭曲线 c都有 f(z)

26、dz 0. c()5、若函数f (z)在。处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为哥级数.()6、若函数f(z)在区域d内的解析，且在d内某一条曲线上恒为常数，则f (z)在区域d内恒为常数.()17、若z0是f(z)的m阶零点，则zo是的m阶极点.()f(z)8、如果函数 f(z)在 d z:|z 1 上解析，且 f(z) 1(z 1),则 f(z) 1(z 1).()9、lim ez.()z10、如果函数 f (z)在 z 1 内解析，则 max f (z) max f (z).()二、填空题(20分)12 c 一一1、若 znsin i(1 一)，则 lim 4 .1 n n一、 1 一

27、 ，、，2、设f(z) ，则f(z)的定义域为 .sin z3、函数sin z的周期为.4、一一 22sin z cos z5、哥级数nzn的收敛半径为.n 06、若zo是f (z)的m阶零点且m 1,则z0是f (z)的 零点.7、若函数f (z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是8、函数f(z) z的不解析点之集为9、方程 20z8 11z33z 5 0在单位圆内的零点个数为ze10、re s(,1)z 1三、计算题(30分)1、limn2 i n 62、f(z)d ,其中 c z: z 3，试求 f (1 i).3、f(z)ze 一f一,求 res(f(z), i).z 1

28、4、求函数(z 1)(z 2)在1 z 2内的罗朗展式.5、z 1 一求复数w 的实部与虚部.z 16、利用留数定理计算积分x2 x 2-2dx.x 10x9四、证明题(20分)1、方程 z7 9z6 6z3 10在单位圆内的根的个数为6.2、若函数 f (z) u(x, y)iv(x,y)在区域d内解析，u(x,y)等于常数,f (z)在d恒等17、若4是f(z)的m阶零点，则zo是的m阶极点.f(z)五、计算题(10分)w平面的单位圆求一个单叶函数，去将 z平面上的带开区域z: imz 保形映射为2盘 w: w 1 .复变函数考试试题(十)一、判断题(40分)：1、若函数f(z)在解析，则

29、f(z)在zo的某个邻域内可导.()2、如果z0是f(z)的本性奇点，则lim f(z)一定不存在.() z z03、若函数f(z) u(x, y) iv(x, y)在d内连续，则u(x, y)与v(x, y)都在d内连续.()4、cosz与sinz在复平面内有界.()5、若z0是f (z)的m阶零点，则z0是1/ f (z)的m阶极点.()6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f (z)在z0解析.()7、若lim f(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点.() z z08、若f(z)在单连通区域d内解析，则对d内任一简单闭曲线 c都有 f(x)dz 0.() c9、若函数f(z)是

30、单连通区域d内的解析函数，则它在 d内有任意阶导数.()10、若函数f(z)在区域d内解析，且在 d内某个圆内恒为常数，则在区域d内恒等于常数.()二、填空题(20分)：1、函数ez的周期为.2、哥级数nzn的和函数为 .n 01一、一，3、设f(z),则f (z)的定义域为 z 14、nzn 的收敛半径为.n 0 z一 ，e 5、res( ,0) =. z三、计算题(40分)：1、修2zdz.月(9 z )(z i)iz，一，e .、2、求 res(2, i).1 z3、4、设 u(x, y)ln( x2y2).求 v(x,y),使得 f (z) u(x,y) iv(x, y)为解析函数,且

31、满足f(1 i) ln2。其中z d(d为复平面内的区域)5、求z4 5z 1 0 ,在z 1内根的个数复变函数考试试题(十一)一、判断题.(正确者在括号内打，错误者在括号内打x,每题2分)1 .当复数z 0时，其模为零，辐角也为零.()2 .若z0是多项式p(z) anzn an izn 1 l a0 (an 0)的根，则z0也p(z)是的根.()3 .如果函数f (z)为整函数，且存在实数 m ,使得re f (z) m ,则f(z)为一常数.()4 .设函数fi(z)与f2(z)在区域内d解析，且在d内的一小段弧上相等，则对任意的z d,有 fi(z)f2(z).()5 .若z 是函数f

32、 (z)的可去奇点，则 resf(z) 0.() z二、填空题.(每题2分)1.2 .设 z x iy 0 ,且 argz,y arctan 2 xarg arctan- . x1223 .函数w 一将z平面上的曲线(x 1) y 1变成w平面上的曲线 z、一 44一 一.一,4 .方程z a 0(a 0)的不同的根为5 . (1 i)i6 .级数2 ( 1)nz2的收敛半径为 .n 07 . cosnz在z n ( n为正整数)内零点的个数为 8 .函数f(z) 6sin z3 z3(z6 6)的零点z 0的阶数为.9 .设a为函数f (z) -(红 的一阶极点，且 (a) 0,(a) 0,

33、(a) 0 ,则(z)resz af (z) f(z)10 .设a为函数f(z)的m阶极点，则res-f-(-z) za f(z)三、计算题(1.设 u(x, y)满足f(1 i)50分)122、，八1一一21n(xy )。求 v(x, y),使得 f (z) u(x, y) iv(x, y)为解析函数，且1 ,1n2 .其中z d (d为复平面内的区域).(15分)22.求下列函数的奇点，并确定其类型(对于极点要指出它们的阶).(10 分)1ez 1-.(5分)ez 13.计算下列积分.(15分)(1)19z1z 4(z2 1)4(z43 dz 2)3(8 分)，(7 分).4.叙述儒歇定理

34、并讨论方程74z 5zz2 2 0在z 1内根的个数.(10分)四、证明题(20分)1 .设f(z) u(x,y) iv(x,y)是上半复平面内的解析函数，证明f (z)是下半复平面内的解析函数.(10分)2 .设函数f (z)在z r内解析，令 m(r) max f (z) , ( r r)。证明：m (r)在区间0, r)上是一个上升函数，且若存在r1及r2 (0 r1 r2 r),使m(r1) m(r2),则f(z)常数.(10分)复变函数考试试题(十二)二、判断题。(正确者在括号内打，错误者在括号内打x,每题 2分)1 .设复数zixiiyi及z2x2iy2,若xix2或y y ,则称

35、乙与z2是相等的复数。( )2 .函数f(z) rez在复平面上处处可微。()3 . sin2 z cos2 z 1 且 sinz 1, cosz 1。( )4 .设函数f(z)是有界区域 d内的非常数的解析函数， 且在i域d dd上连续，则存在m 0,使得对任意的z d,有f(z) m o ()5 .若函数f(z)是非常的整函数，则 f(z)必是有界函数。()二、填空题。(每题2分)2 .3 . 4 .5 .61 . i ii ii2 .设 z x iy 0 ,且argz,y一arctan2 x 2x 0,y 0 时，,y arg arctan- x113 .若已知f (z) x(1 2-)

36、 iy(1 2),则其关于变重 z的表达式为 x yx y4 . uz以z 为支点。5 .若 in z i ,则 z26.dziz 17,2467 .级数1 z z z l的收敛半径为。8 . cosnz在z n ( n为正整数)内零点的个数为 9 .若z a为函数f(z)的一个本质奇点，且在点 a的充分小的邻域内不为零，则z a是1 二的 f(z)奇点。10.设a为函数f（z）的n阶极点，则三、计算题（50分）1.设区域d是沿正实轴割开的 z平面，求函数 w vz在d内满足条件5n连续解析分支在z 1 i处之值。2.求下列函数的奇点， 并确定其类型（10 分）（对于极点要指出它们的阶），并求

37、它们留数。的各解析分支在z1各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数1的单值（15 分）（10 分）z e 求res-e z 0 zn 1(5分)3 .计算下列积分。(15 分)(1)7 z 2t23 / 2 2(z 1) (z一 dz2)（8 分），(2)x2dx22272(x a )(a 0)（7 分）。4.叙述儒歇定理并讨论方程6z 6z10 0 在 z1内根的个数。（10分）四、证明题（20分）1.讨论函数f （z）ez在复平面上的解析性。(10 分)2.证明:n znz ed z 2ct7 一 )c n!n!此处c是围绕原点的一条简单曲线。（10分）复变函数考试试题(十三)一、填空题.(

38、每题2分),11 .设 z r(cos i sin ),贝u.z2 .设函数 f(z) u(x, y) iv(x, y), a u0 iv0, z x0 iy0,则 lim f (z) a 的充 z z0要条彳是.3 .设函数f (z)在单连通区域 d内解析，则f (z)在d内沿任意一条简单闭曲线 c的积分cf(z)dz .4 .设z a为f(z)的极点，则lim f(z).z a5 .设f(z) zsinz,则z 0是f(z)的 阶零点.16 .设f(z)，则f(z)在z 0的邻域内的泰勒展式为 .1 z7 .设z a z a b ,其中a, b为正常数，则点 z的轨迹曲线是 .8 .设z

39、sin i cos,则z的三角表示为669.4zcoszdz0ze1。.设 f (z),则f (z)在z 0处的留数为 .z二、计算题.1 .计算下列各题.(9分)(1) cosi ;(2) ln( 2 3i);(3) 33 i.32 .求解万程z 8 0 . ( 7分)3 .设u x2 y2 xy ,验证u是调和函数，并求解析函数f (z) u iv ,使之f(i) 1 i . (8分)4 .计算积分.(10分)（x2 iy）dz,其中c是沿yc、x2由原点到点z1 i的曲线.1 i(2) 0 (xy） ix2dz ,积分路径为自原点沿虚线轴到i,再由i沿水平方向向右到1 i .5 .试将函

40、数f （z）分别在圆环域(z 1)(z 2)z 1和1 z 2内展开为洛朗级数.（8分）6 .计算下列积分.（8分）5z 2 f?2 dz ;(2). 2 sin4元7 .计算积分4dx1 x. (8 分)8 .求下列骞级数的收敛半径.(6分)n 1(1) nz ;n 1(2)(1)n1 n!9 .讨论f (z)2z的可导性和解析性.(6分)?z 2 z(z 1)2三、证明题.1 .设函数f（z）在区域d内解析，f（z）为常数，证明f（z）必为常数.（5分）2 .试证明az az b 0的轨迹是一直线，其中 a为复常数，b为实常数.（5分）复变函数考试试题(十四)一、填空题.(每题2分)1 .

41、设 z r(cos i sin ),则 zn .2 .设函数 f(z) u(x, y) iv(x, y) , a uo %, z x iy0,则 limf(z) a 的充 z z0要条件.3 .设函数f (z)在单连通区域 d内解析，则f (z)在d内沿任意一条简单闭曲线 c的积分cf(z)dz .4 .设z a为f(z)的可去奇点，limf(z).z a25 .设 f(z) z2(ez1),则 z 0 是 f(z)的 阶零点.16 .设f(z) ,则f(z)在z 0的邻域内的泰勒展式为1 z27 .设z a z a b ,其中a, b为正常数，则点z的轨迹曲线是 .8 .设 z sin i

42、cos ,则 z的三角表示为 .1 i z9 .0 ze dz .2 . 11。.设 f (z) z sin ,则f(z)在z 0处的留数为 . z二、计算题.1 .计算下列各题.(9分)1v1 i ln( 3 4i) ；(2) e 6;(3) (1 i)1 i32 .求解万程z 2 0 . ( 7分)3 .设u 2(x 1)y ,验证u是调和函数，并求解析函数f(z) u iv,使之f(2) i.(8分)1 i4 .计算积分 (x y) ix2dz,其中路径为(1)自原点到点1 i的直线段；试将函数f ( z)(z 2)在z 1的邻域内的泰勒展开式.(8分)计算下列积分.(8分)sin z

43、,q .dz ;?z 22(z 2)(2) ?z4木；dz2 d计算积分 d一0 5 3cos求下列骞级数的收敛半径.(6 分)(6分)(1n 1、n ni) z ；(2)(n!)2 n n- zn 1 n9.设f (z) my3 nx2y i (x3 ixy2)为复平面上的解析函数， 试确定l, m , n的值.(6分)三、证明题.1 .设函数f (z)在区域d内解析，诟在区域d内也解析，证明f(z)必为常数.(5分)2 .试证明az az b 0的轨迹是一直线，其中 a为复常数，b为实常数.(5分)试卷一至十四参考答案复变函数考试试题一. 判断题1. x 2.，二.填空题10. x2 i

44、n1.0 n2. 1 ；3.2k , (kz)；4.5. 16.整函数;7.8.三.计算题.1.解因为01,所以02.(n9.0；10.f(z)(z 1)(z 2) 1 z解因为res f (z)z2z 一lim2z - cosz2res f (z)z 2limz 一2cosz所以旧，dz2 cosz12(1 f)1limz - sin z2limz 一21,sin z1.i(res f (z)z 2res f (z)z20.3.解令（） 3 2 71,则它在z平面解析，由柯西公式有在z 3内,f(z)c(-)dz 2 i (z). z所以 f (1 i) 2 i2b22(a 1) b(z)

45、z 1 i 2 i(13 6i) 2 ( 6 13i).4.解令z a bi,则2(a 1 bi) .2(a 1)22122(a 1) b (a 1) b故 re(z-)z 12(a 1)(a 1)2 b2im)z 12b(a 1)2 b2四.证明题.1 .证明设在d内f (z) c.令 f (z) u iv,则 f (z)2 u2 v2c2.uuxvvx0(1)两边分别对x,y求偏导数，得八小、uuyvvy0(2)因为函数在d内解析，所以uxvy,uyvx.代入(2)则上述方程组变为uux vvx 022.消去 ux得，(u2 v2)vx 0.vux uvx 01)若u2 v20,则f (z

46、) 0为常数.2)若vx0,由方程 (2)及c.r.方程有ux0,uy0,vy0.所以 uci, vc2 .(c1,c2为常数).所以f (z) c1 ic2为常数.2 .证明f(z)jz(1 z)的支点为z 0,1 .于是割去线段 0 rez 1的z平面内变点就不可能单绕0或1转一周，故能分出两个单值解析分支.由于当z从支割线上岸一点出发，连续变动到z 0,1时，只有z的幅角增加.所以f(z)jz(1 z)的幅角共增加 万.由已知所取分支在支割线上岸取正值，于是可认为该分支在上岸之幅角为 0,因而此分支在z 1的幅角为一，故f ( 1) j2e7 j5i .2复变函数考试试题判断题.1. v

47、 2 . x 3 .，二.填空题4.， 5.x6. x7.x8.，1.1 ，2 in12. 3 (1 sin2)i;3.0n14. 1 ；5. m 1 .6. 2k i , (k z).7. 0；8. i ；9. r；10. 0.三.计算题1 .解 sin(2z3)(1)n(2z3)2n1 n 0(2n 1)!n c2n 1 6n 3(1) 2 zn 0(2n 1)!2 .解令 z rei .i 2k则 f (z)、. z re 2 , (k 0,1).又因为在正实轴去正实值，所以 k 0.i 所以 f(i) e4 .3 .单位圆的右半圆周为 z ei ,-22所以,zdz2 dei ei 2

48、 2i .224.解0|z|四.证明题.1 .证明(必要性)令f (z)令 u(x, y) ci,v(x, y)sin z2(z 2)-dz22 i(sin z)2 i coszz z 一22=0.g ic2，则 f (z) c1c2 .贝u ux vy uyic2. (6储2为实常数).vx0.即u,v满足c. r.,且ux,vy,uy,vx连续，故f (z)在d内解析.(充分性)令 f (z) u iv ,则 f (z) u iv ,因为f(z)与f(z)在d内解析，所以uxvy, uyvx, 且 ux (v)yvy,uy (vx)vx.比较等式两边得ux vyuy vx 0 .从而在d内u,v均为常数，故f (z)在d内为常数.2.即要证任一 n次方程 a0zn 根”.证明 令 f (z)azn aizn1nazan iz an0(a00)有且只有 n个an iz an 0 ,取 rmax在c: z r上时，有由儒歇定理知在圆 同个数的根.而 内有n个根.(z)ai rnan i r 4(q an)rn % rn.f (z).r 内，方程 %zn aizn 1 an iz an 0 与 a0zn0 有相0在 z r内有一个 n重根z 0.因此n次方程在z r复变函数考试试题(三)参考答案一.判断题1.x 2 . x