第5章_第1a 可降阶的高阶微分方程

1、1 可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程 n阶微分方程的一般形式是阶微分方程的一般形式是: : ( ) ( , ,)0 n F t x xx 当当2n时时,统称为高阶微分方程统称为高阶微分方程. 一一 、 可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程 1、不显含未知函数不显含未知函数 x的方程的方程 ( )(1)( ) ( ,)0 kkn F t xxx (3.1.2)(3.1.2) 不显含未知函数不显含未知函数x x 或不显含未知函数及其或不显含未知函数及其 直到直到 ) 1( 1kk阶导数的方程是阶导数的方程是 2 对上式进行对上式进行k 次积分次积分, ,可求出方程可求出方程(3.1.2)(3.1.2)

2、的解的解. . 求解方法求解方法: : 若能求得其通解为若能求得其通解为: : 令令 yx k )( 就可把就可把(3.1.2)(3.1.2)化为关于化为关于 y的的 kn阶方程阶方程: : 0),( )( kn yytF 即即 ),( 21 )( kn k ccctx ),( 21kn cccty ( )(1)( ) ( ,)0 kkn F t xxx (3.1.2)(3.1.2) 3 例例 求解方程求解方程.cos 3 xy x e 解解将方程积分三次将方程积分三次, x ey 3 3 1 x ey 3 9 1 x ey 3 27 1 通解：通解： xsin 1 C xcos xC1 2

3、C xsin 2 1x C xC2 3 C 4 它是一个一阶方程它是一个一阶方程, ,通解是通解是: : 4 4 d x y dt 1 0 dy y dtt 则方程可化为则方程可化为: : ct dt xd 4 4 即即 cty 解解: : 令令 54 54 1 0 d xd x dtt dt 例、求解方程例、求解方程 积分四次积分四次, ,得原方程的通解为得原方程的通解为: : 54 2 3 3 2 5 1 ctctctctcx 5 4, 1 00 xx yy 例例 解方程解方程 , py 解解 令令,py 代入原方程代入原方程, ， 3 2 1 3 x px p ，x x x p p d

4、1 3d 3 2 ， 1 3 ln)1ln(lnCxp ，)1( 3 1 xCp 4 0 x y ，)1(4 3 xy 3 2 1 3 x yx y ，4 1 C ， 2 4 4Cxxy 1 0 x y. 14 4 xxy，1 2 C ，)1( 3 1 xCy 6 2 、不显含自变量、不显含自变量t t 的方程的方程 求解方法求解方法: : 方程的一般形式为方程的一般形式为: : yx作为新未知函数作为新未知函数, ,用用 而把而把x作为作为 新的自变量新的自变量, , 因为因为 , y dt dx , 2 2 dx dy y dt dx dx dy dt dy dt xd (3.1.3)(3

5、.1.3)0),( )( n xxxF 7 2 2 22 3 3 )( )()( dx yd y dx dy y dt dx dx dx dy yd dt dx dy yd dt xd 由数学归纳法知由数学归纳法知, , )(k x可用可用 )(, 1 1 nk dx yd dx dy y k k 来表达来表达, ,将这些表达式代入将这些表达式代入 (3.1.3)(3.1.3) 可得可得 0) ,)(,( 2 2 22 dx d y dx dy y dx dy yyxF y (3.1.3)(3.1.3)0),( )( n xxxF , y dt dx 即有新方程即有新方程: : 它比原来的方程

6、降低了一阶它比原来的方程降低了一阶. . 1 1 ( , ,)0 n n dydy G x y dxdx 8 . 2 1 2 的通解的通解求方程求方程 y y y 解解 , d d y p py 则则, py 设设 代入原方程代入原方程 例例 y p p d d y p 2 1 2 可分离变量方程可分离变量方程 ，yCp 1 2 1 ，1 1 yCp ，1 d d 1 yC x y x yC y d 1 d 1 21 1 1 2 CxyC C 9 2 0 dy xyy dx 1 yc x 所以所以 2 2 2 0 d xdx x dtdt 例例 求解方程求解方程 从而可得从而可得0y dydx

7、 yx 及及 于是原方程化为于是原方程化为: :作为新未知变量作为新未知变量, ,取取 , y dt dx 1 2 c t xc e 代入原变量得代入原变量得: : xc dt dx 1 故原方程的解为故原方程的解为: : 10 3 3、 全微分方程和积分因子全微分方程和积分因子 若方程若方程( , ,)0 n n dxd x F t x dtdt ， 的左端是某个的左端是某个n-1n-1阶微分表达式阶微分表达式 1 1 ( , ,) n n dxdx t x dtdt ， 对对t t 的全导数，即的全导数，即 1 1 ( , ,)( , ,) nn nn dxd xddxdx F t xt

8、x dtdtdtdtdt ， 称称(3.1.4)(3.1.4)为全微分方程，显然有为全微分方程，显然有 (3.1.4)(3.1.4) 1 1 1 ( , ,) n n dxdx t xc dtdt ， (3.1.5)(3.1.5) 11 若求得（若求得（3.1.53.1.5）的全部解）的全部解: : 则它也一定是则它也一定是(3.1.4)(3.1.4)的解的解. . ),( 1 1 n n dt xd dt dx xt 后就成为全微分方程后就成为全微分方程. . 称其为方程称其为方程(3.1.4)(3.1.4)的积分的积分 本身不是全微分方程本身不是全微分方程, 有时方程有时方程(3.1.4)

9、(3.1.4)积分因子积分因子: : 但乘以一个合适的因子但乘以一个合适的因子 因子因子. . ),( 21n ccctx ( , ,)0 n n dxd x F t x dtdt ，(3.1.4)(3.1.4) 1 1 1 ( , ,) n n dxdx t xc dtdt ，(3.1.5)(3.1.5) 12 例例 求解方程求解方程 解：原方程可以写成解：原方程可以写成 2 2 2 ()0 d xdx x dtdt () 0 d xx dt 即即 1 xdxc dt 2 12 xctc积分后得通解为积分后得通解为 故有故有 1 cxx 13 例例 求解方程求解方程 解解: : 方程两边乘以

10、因子方程两边乘以因子 (0)x 方程化为方程化为: : 2 2 22 1 ( .) 11 ()0 dx d d xdx x dt x dtxdtdt 故有故有 1 1 dx c x dt 2 2 2 ()0 d xdx x dtdt 解得解得 1 22 (0) c t xc ec 故原方程的解为故原方程的解为 1 2 c t xc e 2 1 x 显然显然 0 x 也是原方程的解也是原方程的解. . 14 0 2 yyy 微分方程微分方程 满足条件满足条件, 1 0 x y 2 1 0 x y的特解是的特解是 1 xy或或1 2 xy 解解 0)( d d x 故故有有y y 1 Cyy 可分

11、离变量方程可分离变量方程 , 1 0 x y由由 2 1 0 x y 2 1 1 C即即 2 1 y y 2 2 22 C xy 1 0 x y由由 2 1 2 C1 2 xy 15 01 2 y y 求微分方程求微分方程的积分曲线的积分曲线,使该 使该 积分曲线过点积分曲线过点, 2 1 , 0 且在该点的切线斜率为且在该点的切线斜率为2. 解解方程方程 01 2 y y , d d y p py 则则, py 设设 代入方程代入方程,得 得 1 d d 2 y p py 1 2 1 2 C y p 0 1 C yx y2 d d 2 2 3 2 3 2 Cxy 2 3 2 2 1 3 2

12、C 所求积分曲线为所求积分曲线为 2 3 2 3 2 1 2 23 xy 16 思考题思考题 处处上上点点过过曲曲线线对对)(,()(, 0 xfxxfyx x ttf x y 0 ,d)( 1 轴上的截距等于轴上的截距等于的切线在的切线在 .)(的一般表达式的一般表达式求求xf 解解 )()(xXxfxfY , 0 X令令轴轴上上的的截截距距得得切切线线在在y )()(xfxxfY x ttf x 0 d)( 1 )()(d)( 0 xfxxfxttf x 积分方程积分方程 过曲线过曲线 y = f (x)上点上点( x, f (x)处的切线方程为处的切线方程为 17 处处上上点点过过曲曲线

13、线对对)(,()(, 0 xfxxfyx .)(的一般表达式的一般表达式求求xf 积分方程积分方程 两边对两边对x求导求导, 即即0)()( xfxfx 型型可可降降阶阶的的方方程程属属于于),(yxfy )()(xpxf 令令)()(xpxf 且且代入上式代入上式,得得 0)()( xpxpx可分离变量方程可分离变量方程 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 x ttf x y 0 ,d)( 1 轴上的截距等于轴上的截距等于的切线在的切线在 )()(d)( 0 xfxxfxttf x 18 21 ln)(CxCxf 0)()( xpxpx可分离变量方程可分离变量方程 分离变量并积分分离变

14、量并积分x x p p d 1 d 1 得得 x C Cxp 1 1 lnlnlnln , 1 x C p 即即 ,)( 1 x C xf 即即再积分再积分,得得 ,dd)( 1 x x C xxf 即为所求即为所求. 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 19 4 、可降阶的高阶方程的应用举例可降阶的高阶方程的应用举例 例、例、 追线问题追线问题 速度速度v v 运动，方向永远指向运动，方向永远指向P P点点, , 求求M M点的运动点的运动 在在轴上有一点轴上有一点P P以以常速度常速度a a沿着沿着轴轴 x O x O 平面上另有一点平面上另有一点M,M,它以常它以常正向移动正向移动

15、; ;在在xoy 轨迹轨迹. . 解解: : 首先我们建立点首先我们建立点M M运动时所满足的微分方程模型运动时所满足的微分方程模型. . ),(yxM ),( 000 yxM 0 PPO y x X aa 以以( , )x y记点记点M M在时刻在时刻t t 的坐标，的坐标， 以以X记点记点P P在时刻在时刻t t的横坐标，的横坐标， 表示表示P P点在点在t=0t=0的横坐的横坐标标, 0 X 20 图图3.13.1 ),(yxM ),( 000 yxM 0 PPO y x X aa 根据条件有根据条件有: : （3.1.73.1.7） 222 ()() dxdy v dtdt （3.1.

16、63.1.6）atXX 0 （3.1.83.1.8） xX y dx dy 把（把（3.1.63.1.6）代入（）代入（3.1.83.1.8），并记），并记 dy y dx 上式两边关于上式两边关于作为自变量，作为自变量，把把xx求导得求导得 得得: : y y atxX 0 21 由（由（3.1.93.1.9）和（）和（3.1.103.1.10）得到）得到M M的追线方程的追线方程 dt dx dx dy dt dy 又由又由 得得: : 2 1 1 y vdx dt （3.1.103.1.10） 2 2 1 ay yy vy （3.1.113.1.11） 2 2 1 dtyyy a dxy

17、 （3.1.93.1.9） 即即 2 ya yy dx dt 22 例例、悬链线问题悬链线问题 有一绳索悬挂在有一绳索悬挂在A A和和B B两点两点( (不一定是在同一水平线不一定是在同一水平线), 如图如图3.23.2所示所示. .设绳索是均匀的设绳索是均匀的, ,柔柔软的软的, 仅受绳本身的重量作用仅受绳本身的重量作用, ,它弯曲如图中的它弯曲如图中的形状形状, 试确定该绳索在平衡状态时的形状试确定该绳索在平衡状态时的形状. . 解解: : 设设C C是其最低点是其最低点, ,选取坐标系选取坐标系xOy如图中所示如图中所示, , 且且y轴通过轴通过C C点点. . A A B B C C

18、O O ),(yxP x y 图图3.23.2 23 A A B B C C O O ),(yxP x y 图图3.23.2 考虑绳索在最低点考虑绳索在最低点C C与点与点),(yxP之间的一段之间的一段, , 这一段在下面三个力的作用下平衡这一段在下面三个力的作用下平衡: : (1)(1)在点在点P P的张力的张力T,T,方向沿着方向沿着P P点的切线方向点的切线方向; ; (2)(2)在点在点C C的水平张力的水平张力H;H; (3)CP(3)CP段的垂直的重量段的垂直的重量, ,记为记为)(xW, ,设它作用设它作用 在某一点在某一点Q Q处处, ,不一定是不一定是CPCP的中心的中心,

19、 ,见图见图3.3,3.3, T T Q Q C C H H ),(yxP )(xW 图图3.33.3 24 现将张力分解为两个分力：现将张力分解为两个分力： cosT ，垂直方向分力为，垂直方向分力为sinT水平方向分力为水平方向分力为 按平衡关系有：按平衡关系有： HTxWTcos),(sin 两式相除，并利用关系式两式相除，并利用关系式 dx dy tan 得：得： H xW dx dy)( T T Q Q C C H H ),(yxP )(xW 图图3.33.3 由于平衡关系由于平衡关系, ,这些力在这些力在x轴轴( (水平水平) )方向的代数和为方向的代数和为0, y 在在轴轴( (

20、垂直垂直) )方向的代数和也必须为方向的代数和也必须为0.0. 25 是在最低点处的张力，是常数，是在最低点处的张力，是常数， )(xW 但但 依赖于依赖于 ,x 将上式两边对将上式两边对x微分得微分得 w dS dW 则有则有其中表示从点算起的弧长，其中表示从点算起的弧长， dx dW Hdx yd1 2 2 （3.1.13.1.1） H xW dx dy)( 其中其中 dx dW 表示在水平方向上，表示在水平方向上， x每增加单位距离时， 每增加单位距离时， 段弧所增加的重量段弧所增加的重量为为w设绳索的密度设绳索的密度 T T Q Q C C H H ),(yxP )(xW 图图3.33

21、.3 26 w dS dx dx dW dS dW 或或 dx dS w dx dW 又由于又由于 2 )(1 dx dy dx dS 故故 2 )(1 dx dy w dx dW 从而方程从而方程（3.1.163.1.16）化为：化为： 2 2 2 )(1 dx dy H w dx yd （3.1.13.1.1） dx dW Hdx yd1 2 2 （3.1.13.1.1） 0)0(,)0(yby 27 目前的跳远世界记录是目前的跳远世界记录是Mike powellMike powell在在19911991 年创造的，成绩是年创造的，成绩是8.95m.8.95m.但我们最感兴趣的是但我们最感

22、兴趣的是 Bob BeamonBob Beamon在在19681968年于墨西哥城奥运会上创造的年于墨西哥城奥运会上创造的 当时世界记录，成绩是当时世界记录，成绩是8.90m8.90m这个成绩超过以前这个成绩超过以前 记录记录55cm.55cm.有人认为部分原因是由于墨西哥城空气有人认为部分原因是由于墨西哥城空气 的稀薄造成的（墨西哥城的海拔是的稀薄造成的（墨西哥城的海拔是2600m2600m）稀薄的）稀薄的 空气对跳远者意味着有较小的空气阻力试建立微空气对跳远者意味着有较小的空气阻力试建立微 分方程模型来论述这种解释是否合理分方程模型来论述这种解释是否合理 例例 Bob Beamon的跳远记

23、录的跳远记录 28 解解 例例 设位于坐标原点的甲舰向位于设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点轴上点 A(1,0) 处的乙舰发射制导导弹处的乙舰发射制导导弹, 如果乙舰以最大的速度乙舰以最大的速度v0(v0是常数是常数)沿平行于沿平行于y轴的轴的 目标的跟踪问题目标的跟踪问题 导弹头始终对准乙舰导弹头始终对准乙舰. 直线行驶直线行驶,导弹的速度是导弹的速度是5v0, 又问乙舰行驶多远时又问乙舰行驶多远时,它将被导弹击中它将被导弹击中? )(xyy )0 , 1(A ),(yxP ), 1( 0t vQ 设导弹的轨迹曲线为设导弹的轨迹曲线为 ),(xyy 并设经过时间并设经过时间 t , 导弹位于

24、点导弹位于点P (x, y), 乙舰位于点乙舰位于点 Q(1, v0t) 由于导弹头始终对准乙舰由于导弹头始终对准乙舰, 直线直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧就是导弹的轨迹曲线弧OP在点在点P处的切线处的切线, 求导弹运行的曲线方程求导弹运行的曲线方程. , 1 0 x ytv y O y x 29 O y x )(xyy )0 , 1(A ),(yxP ), 1( 0t vQ , 1 0 x ytv y 即即 .)1( 0 yyxtv 如果乙舰以最大的速度如果乙舰以最大的速度v0(v0是常数是常数)沿平行于沿平行于y轴轴 的直线行驶的直线行驶,导弹的速度是导弹的速度是5v0, 弧弧OP的长度为的长度为| AQ |的的5倍倍, 即即.5d1 0 0 2 tvxy x (1) (2) 由由(1)式与式与(2)消去消去 v0t 就得就得 .d1 5 1 )1( 0