齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

1、线性方程组解的结构(解法)一、齐次线性方程组的解法【定义】r(a)= r n，若ax = 0 (a为m n矩阵)的一组解为 自,&,“a，且满足：1 h，|，&r线性无关；(2) ax = 0的)任一解都可由这组解线性表示 .则称&，&，|“，& r为ax = 0的基础解系.称xki a k2 & i kn r en r为ax = 0的通解。其中k,卜2,，加为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组 ax = 0有解，则(1)若齐次线性方程组 ax = 0 (a为m n矩阵)满足r(a) n ,则只有零解；(2)齐次线性方程组有

2、非零解的 充要条件是r(a) n.(注：当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式a 0.)注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n r(a).2 、非齐次线性方程组 ax b的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组ax 。所对应的同解方程组。由上述定理可知，若 m是系数矩阵的行数(也即方程的个数)，n是未知量的个数，则有：(1) 当m n时，r(a) m n ,此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数 大于方程的个数就一定有非零解；(2)当m n时，齐次线性方程组有非零解的 充要条件是它的系数

3、行列式 a 0;(3)当m n且r(a) n时，若系数矩阵的行列式|a 0,则齐次线性方程组只有零解；(4)当m n时，若r(a) n ,则存在齐次线性方程组的同解方程组；若r(a) n ,则齐次线性方程组无解。1、求ax = 0 (a为m n矩阵)通解的三步骤(1) a 行 c (行最简形)；写出同解方程组 cx =0.(2)求出cx =0的基础解系&, &,|“，& r ;写出通解xk1 &k2 &illknr其中kl, k2,，kn-r为任意常数.2x13x2x35x40,3x1x22x3x40,4x1x23x36x40,x12x24x37x40.【例题1】解线性方程组解法一：将系数矩阵

4、a化为阶梯形矩阵1014iii431672643显然有r（a）则方程组仅有零解，即x1x2x3x40.解法二:由于方程组的个数等于未知量的个数（即n ）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即以用行列式的方法来判可计算系数矩行列式：3270 ,知方程组仅有零解,x1x2x3x40.注：此法仅对n较小时方便x1x2x3x4x50,3x12x2x3x43x50,x22x32x46x50,5x14x23x33x4x50.【例题2】解线性方程组解：将系数矩阵a化为简化阶梯形矩阵1a 30512141123112313611 ( 5)1 ( 3)4r210001111122212221666r2r2

5、2(1)r131) r42可得r(a) 2则方程组有无穷多解,同解方程组为令 x31 , x4x1x20,x32x3x42x45x5, 6x5.(其中x3 , x4人为自由未知量）x5 0 ，得x11,x22;令 x30 , x41 , x50 ,得为1,x22;1 ,得 xi 5,x26,12125611，20,30010001所以，原方程组的通解为 xk1基础解系为于是得到原方程组的一个1k2二、非齐次线性方程组的解法k3 3 ( k1 , k2 , k3r ).求ax = b的解（am n, r(a)用初等行变换求解,不妨设前列线性无关c11c12c22ci rc2rciic2d1d2(

6、a：b)hi crndrdr 10其中 cii0(i1,2,|,r),所以知(1)dr 10时，原方程组无解.(2) dr 10,r n时，原方程组有唯一解.dr 10,r n时，原方程组有无穷多解.其通解为k1，k2, ,kn r为任意常数。其中:,a r为ax = b导出组ax = 0的基础解系，0为ax = b的特解,【定理1】如果是非齐次线性方程组 ax=b的解,是其导出组 ax=0的一个解，则是非齐次线性方程组ax=b的知i。【定理2如果o是非齐次线性方程组的一个特解,是其导出组的全部解，则 0是非齐次线性方程组的全部解。由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零

7、解，且非齐次线性方程组的全部解可表不为:0 c1 1 c2 2其中：0是非齐次线性方程组的一个特解,n r是导出组的一个基础解系。【例题3】判断下列命题是否正确,a为m n矩阵.ax=0只有零解,则ax=bw唯一解.答：错,因 r(a)= n, r (a)= n = r(a | b)(2)ax=0有非零解,则ax=b无穷多解.答：错,因 r(a) n, r (a)= r (a | b)ax=bw唯一解,则ax=0只有零解.r(a)=r(a | b) = n.(4)ax=0有非零解，则atx=0也有非零解.答：错,a为m n,r(a)=mn, r(at)=m 这日ax=0只有零解.例如a为 3

8、4, r(a)=3 4, r(a)=3=m 若r( a)= r =m则ax=b必有解.答:卡寸，r(a)=r=m= r( a b).(6)若r(a)=r =n,则ax=b必有唯一解.答：错，a为n,当n 时，可以 r (a | b) = n+1.唯一解：r(a) r(a)线性方程组有唯一解【例题4】解线性方程组x12x14x1x2x2x22x32x34x31,4,2.n li4 22 41 12 4ba一 aii:角2)4)2匚 -22)r 4-3 /v2 (r216 0 0010 3 01003)x1可见r(a)r(a)3,则方程组有唯一解，所以方程组的解为x2x31,2, 0.无解:r(a

9、)r(a)线性方程组无解(或若阶梯形方程组出现dr0 ,则原方程组无解)【例题5】解线性方程组解：a (ab)2x1x1x22x2x3x32x31,2, 4.2111121212121212r1 r2r1 2 r20333r2 r303331124r1 ( 1)r303360003x1x22 ,所以原方程组无解可见 r(a) 3 r(a)无穷多解：r(a) r(a) n线性方程组有无穷多解【例题6】解线性方程组x12x(2x1x2x2解：a(a b)10x32x3r1rr2 2 r2 1 r2 (r3 r11)可见r(a)r(a)4,x2x32x35x4,7x4.令x30,x4又原方程组的2x

10、43x410x42) r22 r33,1,4.则方程组有无穷多解，其同解方程组(其中x3, x4为自由未知量)0,得原方程组的一个特解导出组的同解方程组为x1x21410x32x35x4,7x4.(其中x3, x4为自由未知量)令 x3 1 , x4 0 ,得 x11,x2x3x45区于是得到导出组的一个基础解系 为所以，原方程组的通解为k1【例题7】 求线性方程组:2x1x1x1k2 2(k1k2r).解：a (a b)x22x2x2x3x4x32x33x4x41,2,3.的全部解.r1r2r1 ( 2)r1 ( 1)2311213011211211210334r2222(3)(2)(1)3

11、1r3r3(13)2(3)(2)12可见r(a)r(a)323212所以方程组有无穷多解,同解方程组x1x2x33x4,232x4,1x4.2（其中x4为自由未知量）令x40,可得原方程组的一个特解x1又原方程组的导出组的同解方程组为x2x332x4,3-x4,(其中x4为自由未知量)21- x4.2 4令x42 （注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得x1 3,x23,x3 1,于是得到导出组的一个 基础解系所以，原方程组的通解为 xk ( k r).【例题8】求非齐次线性方程组x13x2 3x3 2x4 x52x1 6x2 x3 3x4 2x1 3x2 2x3 x4 x5 3x1

12、 9x2 4x3 5x4 x5的全部解。1因为r(a)r(a)5,所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为x2, x4, x5 ,原方程组与方程组x13x25x33x3 2x4 x5x4 2x543同解0取自由未知量x2,x4,x5为00得原方程组的一个特解：t3 c 4 cc 一，0, ,0,0再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组x13x25x33x3x42x42x5x00同解对自由未知量x2,x4,x5分别取代入上式得到其导出组的一个基础解系为1则原方程组的全部解为:c11c2c3 3三、证明与判断【例题9已知3是齐次线性方程组ax= 0的一个基础解系

13、，证明1 , 12 , 123也是齐次线性方程组ax= 0的一个基础解系。证：由已知可得：齐次线性方程组 ax= 0的基础解系含有 3个解向量，并且由齐次线性方程组解的性质可3都是ax= 0的解；因此只要证明1, 12, 123线性无关即可。设存在数&*2*3使k1 1k2( 12 )k3 ( 123)0 成立。整理得：（k1 k2 k3）1*2 k3 ) 2卜3 30(1)已知1, 2, 3是齐次线性方程组ax= 0的一个基础解系，即得1, 2, 3线性无关，则由（1）得k1 k2 k30k2 k3 0 ,解得：ki k2 k3 0 所以i, i2, i 23线性无关。k30即1, 12,

14、123也是齐次线性方程组 ax= 0的一个基础解系。【例题10】已知&,&,&, &是齐次线性方程组ax= 0的一个基础解系，若1& t&,2& t&,3t&,4& t&。讨论t满足什么条件时1，2，3，4是齐次线性方程组ax= 0的一个基础解系解：首先,1，2，3，4是齐次线性方程组 ax= 0的解，只须证1, 2, 3, 4线性无关由已知有：(1，2，3，4)(&,&,&, a)因为:1， 2， 3， 4线性无关1 0 0 tt 1 0 00 t 1 00 0 t 1100 t即 01001t00t 1所以当t1时,1，2，3，4是齐次线性方程组ax= 0的一个基础解系【例题11已知n阶矩

15、阵a的各行元素之和均为零，且r(a)= n-1,求线性方程组 ax=0的通解.解：由r(a)= n-1知ax=0的基础解系有一个非零解向量.又 anai2jain0，i 1,2,|“，n,即 a1ai21 ain 10xk(1,1,|,1)t, (k为任意常数)为所求通解.【例题12】设x,x2，xt是非齐次线性方程组ax =b 0的解向量，证明：对于 %=k1x+k2 x2+ +kt x当 k1 +k2+kt=1 时，是 ax=b 的解；当 k1 +k2+kt=0 时，x)是 ax=0 的解.证：ax=a( k1 x+k2 %+-+ktx)= k1 ax+k2 ax+ktax=k1 b+k2

16、 b+ktb=(k1+k2+kt)b故：当 k+k2+kt=1 时，ax =b当 k1 +k2+kt=0 时，ax=0由此可见，非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭，只有组合系数的和等于1的时候，解向量组的线性组合才是非齐次方程组的解！【例题13】已知1, 2为ax的两个不同解，&, &是ax = 0的一个基础解系.k1，k2为任意常数则ax的通解为（(a) ki 4 k2( 4(b)k& k2( &(c)ki &k2 ( 1(d)k & k2( 12) -22【例题 14】3是四元非齐次线性方程组ax= b的三个解向量，且矩阵a的秩为3,1, 2,3, 4t,230, 1, 2, 3 t

17、，求 ax= b 的通解。解：因为a的秩为3,则ax= 0的基础解系含有 43= 1个解向量。由线性方程组解的性质得:1)是ax= 0的解,则解得ax=。的一个非零解为:2,3,4,由此可得ax= b的通解为:1,2, 3, 4t c2, 3,4,【例题15设a是4阶方阵，(w0)是4x1矩阵,r(a)2,3,4 是 ax =的解,且满足 124208,230 33 ,3321 01试求方程组ax = 的通解.解：先求ax二的一个特解12 04再求ax = 的一个基础解系3(2 23)021，32(2)(3 327015因为4 r(a)2,&, &线性无关,所以&, &是ax = 0的一个基础解系.故方程组ax =的通解是k1 a1204k10213k227 , k1,k2为任意常数.15【例题16】设矩