随机变量的函数的分布

1、8. 随机变量的函数的分布【教学内容】： 高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的概率论与数理统计第二章第五节的随机变量的函数的分布【教材分析】： 本节课主要是在学生学习了随机变量的概念和随机变量的分布的基础上进行的教学；本节从随机变量的分布入手引入随机变量的函数的随机性特征， 即由自变量x 的统计规律性出发研究因变量y 的统计性规律的问题； 本节课的教学先讲授离散型随机变量的函数的分布接着讲连续型随机变量的函数的分布。 让学生掌握两种不同的随机变量的分布的求解方法。 其中， 离散型随机变量的函数的分布是比较容易求得而连续型随机变量的函数的分布学生往往束手无策，因此，我在本次教学中，先复

2、习分布函数和概率密度函数的关系，后通过简单例子来讲解，最后归纳总结 ，再研究连续型随机变量的函数的一种特殊情形的分布问题。最后导出一个重要的定理。【学情分析】 ：1、知识经验分析学生具有一定的随机变量及其分布相关理论知识及微分学相关知识， 通过前两次课的学习已具备一定的解题方法，本节课通过让学生观察、思考，教师启发、引导等教学方式，让学生自然过渡到随机变量的函数的分布的学习中。2、学习能力分析学生虽然具备一定的微积分的知识和随机变量的理论基础， 但概念理解不透彻， 解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。【教学目标】 ：掌握随机变量的函数的概率分布的求法。【教学重点、难点】 ：重

3、点：离散型随机变量的函数的分布；连续型随机变量的函数的分布。难点：连续型随机变量的函数的分布。【教学方法】：讲授法启发式教学法【教学课时】：1 个课时【教学过程】：一、问题引入在实际中，人们常常对随机变量x 的函数 y g x 所表示的随机变量y 更感兴趣。d2如：已知圆柱截面直径 d的分布，求截面面积 a=的分布。4又如：已知t to时刻噪声电压 v的分布,【设计意图】：让学生感受到数学与生活“零距离 ”，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生获得良好的价值观和情感态度。二、离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量x的概率分布为px xkpk,k 1,2,l易见， x的函数y g(x)显然还是离

4、散型随机变量。如何由x的概率分布出发导出 y的概率分布？其一般方法是：先根据自变量 x的可能取值确定因变量 y的所有可能取值，然后对y的每一个可能取值 yi,i 1,2,确定相应的ci xj|g(xj) yi,于是y yi g(x) yi x ci,py yi px cipx xj.xj ci从而求得y的概率分布。2例1设随机变量x具有以下的分布律，试求y x 1的分布律。x 1012610.2 0.3 0.1 0.4解：y所有可能取的值为0,1,4,由2py 0 p x 10 px 1 0.1py 1 p x 11 px 0 px 2 0.72py 4 p x214 px 1 0.2即得y的

5、分布律为pk0.1 0.7 0.2y 8 y 822般地如果x是离散型随机变量，其函数y g(x)也是离散型随机变量若.x的分布律为xx2.xkplp2.pk6则y g(x)的分布律为y g(x) g(xi) g(x2)g(xk)pkp2pk若g(xk)中有值相同的，应将相应的pk合并.【设计意图】：通过这个例子，让学生观察求离散随机变量的函数的分布时我们应该采再求用什么方法，从而达到让学生掌握在求离散随机变量的函数的分布时先求函数的取值, 函数的分布律的目的，并在此基础上进一步总结方法。【总结】：先根据自变量 x的可能取值确定因变量 y的所有可能取值，然后对y的每 一个可能取值yi,i 1,

6、2,，确定相应的y在每一点处取值的概率。三、连续型随机变量的函数的分布例2设随机变量x具有概率密度fx(x)x ,0x4.80,其他.求随机变量y 2x8的概率密度。解：第步：先求y2x 8的分布函数fy(y).fy(y)py yp2x 8,y 8y p x ：y 82 fx(x)dx第二步:由分布函数求概率密度。fy(y)y 8fy(y) 2 fx(x)dxfx(),所以fy(y)1 y 8 1 y 8f),04,82220,其他.-8320,其他.y 16,例3设随机变量x具有概率密度fx (x)2 .求y x的概率密度。解：设y和x的分布函数分别为 fy(y)和fx(x),注意到2y x

7、 0,故当 y 0时，fy(y)0；0时,fy(y)p(y y) p(x2y)p( .yx 、v)fx(z)fx( , y)求导可得fy(y)dfy(y)dy_1=27yfx( . y)fx(,y 0；0, y0.x2若 fx(x) 2 e 至则y x2的概率密度为fy(y)1 e2 y0,_y 2,y 0；y 0.2y服从自由度为1的 2分布【设计意图】：通过这两个例子,让学生掌握用分布函数法求连续型随机变量的函数的分布的方法。【总结】：先求连续型随机变量的函数的分布函数，再对分布函数求导求出概率密度函定理 设随机变量x具有概率密度fx(x)x ,又设函数g(x)处处可导且恒有g(x) 0(

8、或恒有g(x) 0),则丫 g(x)是连续型随机变量，其概率密度为fy(y)fxh(y)|h(y)l, y0,其他其中 min(g( ),g(),max(g( ),g(). h(y)是 g(x)的反函数。证明略。例4设随机变量x n(2)，试证明x的线性函数y ax b a 0也服从正态分布。证明x的概率密度为fx(x)(x履2 .72y b ,1设 y g(x) ax b,得 x h(y) ,知 h (y) 0.aa由公式得yfy(y)fy(y)fxh(y) h(y),0,其它.ax b的概率密度为-fx( a9)a(u a 2 2 a四)2y (b a。21e2(a o)2a| 0v2 u

9、例5设电压v asin ,其中a是一个已知的正常数，相角是一个随机变量，且有-,-，试求电压 v的概率密度。2 2一 一、，冗冗，一，.-斛：因为 v g( 0) asin 0 在(一,一)上恒有 g ( 0) acos 0 0,2 2所以反函数为0 h(v)varcsin , h (v)a1 冗 八 冗. 一，一 8 一又由0u (一,一),知斜勺概率密度为f ( 9)冗 222 20,其他.由定理得v asin 0的概率密度为(kv)11二a2=v20,其他.a v a,【设计意图】：通过这两个例子，让学生明白当y g(x)为严格单调时，采用定理能方便的求解出连续型随机变量的函数的分布。【

10、总结】：连续型随机变量的函数的分布有两种方法：方法 1 fy(y) py y pg(x) y g(x) y fx(x)d x, ( x ),再对fy(y)求导得到 y的密度函数 fy(y).方法 2 fy(y)fxh(y) h(y) , y，注意条件。0,其他.三、思考与提问：设g(x)是连续函数，若x是离散型随机变量,则y g(x)也是离散型随机变量吗 ？若x是连续型的又怎样？四、内容小结随机变量的函数的分布1 .离散型随机变量函数的分布；2 .连续型随机变量函数的分布； 五、课外作业：p59:33 , 34 ,35,六、板书设计随机变量的函数的分布一、问题引入37y g(x) g(k) g

11、x)pkplp2g(xk)pk例1已知圆柱截面直径 d的分布,d 2求截面面积 a=的分布。4若g(xk)中有值相同的，应将相应的pk合并.三、连续型随机变量函数的分布例2设随机变量x具有概率密度xxix2.xk6plp2.则 y g (x).pk分布律为fx(x)fy(y)fxh(y) |h(y) |, y0,其他例2已知t卜时刻噪声电压v的分布, 二、离散型随机变量函数的分布例1设随机变量x具有以下的分布律，试,、2求 y x 1 的分布律。x 1012r10.2 0.3 0.1 0.4一般的如果x是离散型随机变量其函数y g(x) 也是离散型随机变量若x的分布律为x _ ,0x4.80,其他.求随机变量y 2x 8的概率密度。例3设随机变量x具有概率密度fx (x) x ，求y x2的概率密度。定理 设随机变量x具有概率密度fx(x)x ,又设函数g(x)处处可 导且恒有 g (x) 0 (或恒有 g (x)