自动控制_05c开环频率特性曲线的绘制

1、5- -3.2、开环频率特性曲线的绘制、开环频率特性曲线的绘制 一、开环幅相曲线的绘制一、开环幅相曲线的绘制 根据系统开环频率特性的表达式可以通过取点、计算 和作图绘制系统开环幅相曲线。概略开环幅相曲线应反映 开环频率特性的三个重要因素： 1、开环幅相曲线的起点（ =0+）和终点（= ）。 2、开环幅相曲线与实轴的交点 设=x时，G(jx)H(j x)的虚部为 .2, 1, 0,)()()( 0)()(Im kkjHjG jHjG xxx xx 或 称x为穿越频率，而开环频率特性曲线与实轴交点坐 标值为： )()()()(Re xxxx jHjGjHjG 例5-1 设某0型系统的开环传递函数为

2、 )1)(1 ( )( 21 sTsT K sG 已知 。试绘制系统的开环幅相频率 特性。 5, 1,10 21 TTK 解 系统的开环频率特性为 )1)(1 ( )( 21 jTjT K jG 将上式作有理化处理 )1)(1)(1)(1 ( )1)(1 ( )( 2121 21 jTjTjTjT jTjTK jG )1)(1 ( )( )1)(1 ( )1 ( )1)(1 ( )()1( 22 2 22 1 21 22 2 22 1 2 21 22 2 22 1 21 2 21 TT TTK j TT TTK TT TTjTTK 则 ： )1)(1 ( )( )(, )1)(1 ( )1 (

3、 )( 22 2 22 1 21 22 2 22 1 2 21 TT TTK Q TT TTK P 而 21 22 2 22 1 arctanarctan)( 1 1 1 1 )( TT TT KA 将 代入如上的实频特性和虚频特性以 及幅频特性和相频特性的计算式中，当 取不同的值时 可得如表5-4所示的开环系统的频率特性数据。 5, 1,10 21 TTK 表5-4 系统的频率特性数据 利用上表中的数据在复平面上可绘出幅相频率特性如 图5-25所示。 图5-25 例5-1系统的幅相频率特性 为精确求频率特性和负虚轴的交点坐标，可令实部为0 0)1 ( 0 )1)(1 ( )1 ( )( 2

4、21 22 2 22 1 2 21 TTK TT TTK P 得： 即： 从而可得 的值，再将 的值代入虚部方程即可求得曲 线与虚轴的交点坐标。 例5-2 设某型系统的开环传递函数为 )1)(1 ( )( 21 sTsTs K sG 试绘制系统的开环幅相频率特性曲线。 解 该系统的开环频率特性为 )1)(1 ( )( 21 jTjTj K jG 将上式进行有理化处理有 )1)(1 ( )( )( 22 2 22 1 21 TT TTK P )1)(1 ( )1 ( )( 22 2 22 1 2 21 TT TTK Q 而 ,arctanarctan90)( 1 1 1 1 )( 21 22 2

5、 22 1 TT TT KA 当0时 表 90)0(,)0(,)(),()0( 21 AQTTKP 明低频率段的渐近线是一条过实轴K(T1+T2)点且平行于 虚轴的直线。 当时 270909090)(, 0)(, 0)(, 0)(AQP 可见，此时高频段是以270作为极限角而卷入坐标原点 的。 完整的幅相频率特性曲线如图5-26所示。曲线从点 K(T1+T2)， j出发，跨越负实轴进入第二象限，并 以正虚轴为渐近线卷向坐标原点。为精确求得曲线与负虚 轴的交点，可令虚频特性为0，解之得交点角频率 将此值代入实频特性表达式可求得曲线与实轴交点 21 /1TT 21 21 TT TKT 交点为： 图

6、5-26 例5-2系统的幅相频率特性 在绘制系统的开环极坐标时，应注意曲线所具 有的一些特征。例如：当0时低频段曲线从何 处出发？而当 时的高频段特性曲线以什么姿 态卷向原点？曲线在值为多大时跨越实轴或虚轴？ 跨越点的坐标值如何？等等。后两个问题我们已经 作过说明，下面讨论前两个问题。 设系统开环传递函数 中含有V个积分环节，其相应 的频率特性为 )(sG 1)(2)()1 ( 1)(2)()1 ( )( )( 22 11 22 11 21 21 jTjTjT jjj j K jG lll n l j n j kkk m k i m i v 式中mnnnnvmmm,2,2 2121 当0时低频

7、段表达式为 v j K jG )( )( 则 2 )(,)()( v K jGA v 2 )0(,)0(, 2 2)0(,)0(, 2 2 )0(,)0(, 1 0)0(,)0(, 00 vAvvV Av Av KAv 型系统： 型系统： 型系统： 型系统： 当时的高频段，由于mn 所以 0)(lim jG 根据相角特性得 2 )()(lim mnjG 当当 ，特性曲线沿负虚轴卷向原点；，特性曲线沿负虚轴卷向原点；1mn 当当 ，特性曲线沿负实轴卷向原点；，特性曲线沿负实轴卷向原点；2mn 当当 ，特性曲线沿正虚轴卷向原点；，特性曲线沿正虚轴卷向原点；3mn 图5-27 极坐标图的低频段 图5

8、-28 极坐标的高频段 二、开环对数频率特性的绘制二、开环对数频率特性的绘制 如图5-29所示系统，其开环传递函数为)()()( 21 sGsGsG )()( 21 )( 2 )( 121 21 21 )()( )()()()()( j jj eAA eAeAjGjGjG 则 )()()( )()()(lg20)(lg20)( 21 2121 LLAAL 其对应的频率特性为： 图5-29 由两个环节串联而成的系统 由上可见，只要绘出各环节的对数幅频特性分量，再将各分量的由上可见，只要绘出各环节的对数幅频特性分量，再将各分量的 纵坐标相加，就可得到整个系统的开环对数幅频特性。同理，将各纵坐标相加

9、，就可得到整个系统的开环对数幅频特性。同理，将各 环节的相频特性分量相加，就成为系统的开环对数相频特性。环节的相频特性分量相加，就成为系统的开环对数相频特性。 图5-30 两环节系统的Bode图 含有多环节的系统的开环对数频率特性的绘制思路：确含有多环节的系统的开环对数频率特性的绘制思路：确 定低频渐近线的斜率和位置定低频渐近线的斜率和位置确定线段交接的频率以及交确定线段交接的频率以及交 接后线段斜率的变化量接后线段斜率的变化量由低频到高频绘制开环系统的特由低频到高频绘制开环系统的特 性曲线。性曲线。 1、低频渐近线段的确定 前面我们已得到 v K jGA )()( 则 lg20lg20)(l

10、g20)(vKAL 上式是一个线性方程，易知直线的斜率为 即 低频渐近线的斜率与系统阶数V有关，如图5-31。 decvdB/20 图5-31 低频段的斜率与位置的关系 2、交接频率及交接后斜率变化量的确定 对于式 1)(2)( 2 ) 1( 1 1)(2)( 2 ) 1( 1 )( )( 22 11 22 11 jTjTjT jjj j K jG lll n l j n j kkk m k i m i v 其交接频率分别为 llkkjjii TT1,1,1,1 曲线经过 时，斜率的变化量为+20dB/dec； i 曲线经过 时，斜率的变化量为-20dB/dec； J 曲线经过 时，斜率的变化

11、量为+40dB/dec； K 曲线经过 时，斜率的变化量为-40dB/dec。 L 依据如上分析，我们可归纳出绘制系统开环Bode图的一 般步骤和方法如下： （1 1）将系统开环频率特性）将系统开环频率特性 写成以时间常数表示、以写成以时间常数表示、以 典型环节频率特性连乘的形式。典型环节频率特性连乘的形式。 )(jG （2 2）求出各环节的交接频率，并从小到大依次标在对数）求出各环节的交接频率，并从小到大依次标在对数 坐标图的横坐标上。坐标图的横坐标上。 （3 3）按传递系数）按传递系数K计算计算20lgK的分贝值，过的分贝值，过 =1这一点，绘出斜率为这一点，绘出斜率为 的直线，此即为低的

12、直线，此即为低 频段的渐近线（或其延长线）。频段的渐近线（或其延长线）。 KLlg20)( decvdB/20 （4 4）从低频渐近线开始，沿）从低频渐近线开始，沿轴从左到右即沿着频率增轴从左到右即沿着频率增 大的方向，每遇到一个交接频率，就按上述规律改变一次大的方向，每遇到一个交接频率，就按上述规律改变一次 对数幅频特性曲线的斜率，直至经过全部交接频率为止。对数幅频特性曲线的斜率，直至经过全部交接频率为止。 （5 5）若有必要，可利用误差曲线对幅频特性的折线群加）若有必要，可利用误差曲线对幅频特性的折线群加 以修正，最终获得精确的对数幅频特性的光滑曲线。以修正，最终获得精确的对数幅频特性的光

13、滑曲线。 （6 6）对数相频特性可直接利用相频特性表达式逐点计算）对数相频特性可直接利用相频特性表达式逐点计算 而得。而得。 对于式 1)(2)( 2 ) 1( 1 1)(2)( 2 ) 1( 1 )( )( 22 11 22 11 jTjTjT jjj j K jG lll n l j n j kkk m k i m i v 其相频表达式为 21 21 1 22 1 1 22 1 1 2 arctanarctan 2 1 2 arctanarctan)( n l l ll n j j m k k kk m i i T T Tv 以及 2 )()(lim 2 )(lim 0 mn v 例5-3

14、 某系统的开环传递函数为 )20)(1( )2(100 )( sss s sG 试绘制系统的开环对数频率特性。 解 将开环传递函数转换为标准形式 ) 105. 0)(1( ) 15 . 0(10 )( sss s sG 其对应的频率特性表达式为 ) 105. 0)(1( ) 15 . 0(10 )( jjj j jG （2）在 处，1dBvKL20lg20lg20)( （3）过 点画一条斜率为 的斜线，以此作为低频渐近线。 dBL20)(1、decdB/20 （4）因第一个交接频率 ，故低频渐近线画至 止，经过 后曲线的斜率应为 ；当曲线延 伸至第二个交接频率时 ，斜率又恢复为 直至 时，曲线

15、斜率再增加 ，变为 的斜线。 11 1decdB/40 2 2 decdB/2020 3 decdB/20 decdB/40 根据上述分析可画出系统的开环对数幅频特性曲线如图 5-32所示。 直接绘制系统开环对数幅频特性的步骤如下： （1）交接频率为 20 05. 0 1 , 2 5 . 0 1 , 1 321 1,10vK 图5-32 例5-3系统的Bode图 表表5- -4 例例5- -3系统开环相频特性数据系统开环相频特性数据 系统开环对数相频特性表达式为 05. 0arctanarctan905 . 0arctan)( 逐点计算结果如表5-4所示。 00.10.20.40.81.02.

16、04.0 -90-93.1 -96.2 -101.6 - 109.2 -111.3-114.2 - - 113.8 5.08.010204080100 -114.5-118.7 -122.2 -137.9- 154.9 166.7- 169.3 - - 180.0 )/( 1 srad )/()( )/( 1 srad )/()( 如图5-32所示 曲线穿越横坐标时的频率称为截止 频率，又称零分贝频率，常用 表示。 )(L c 我们可以计算得到 ，其对应的相角为srad c /5 5 .114 505. 0arctan5arctan9055 . 0arctan)( 图5-33 例5-4系统的结

17、构图 例5-4 试绘制图5-33所示系统的开环对数特性渐近线。 解 系统的开环传递函数为 105. 0) 8 1 )(12( ) 15 . 0(4 )( 2 ssss s sG 其频率特性表达式为 105. 0) 8 1 )(12( ) 15 . 0(4 )( 2 jjjj j jG 4, 1Kv （3）画分段折线，最终得如图5-34所示的对数幅频特性 渐近线。 绘图步骤： （1） ，找出各交接频率 （2）找点 时， 1dBKL124lg20lg20)( 8, 2, 5 . 0 321 图5-34 例5-4系统的对数幅频特性 三、最小相位系统、非最小相位系统和开环不稳定系统三、最小相位系统、非

18、最小相位系统和开环不稳定系统 三类开环传递函数： （1 1）最小相位系统最小相位系统：传递函数 的全部极点均位于s 平面的左半部，而没有零点落在右半s平面上，则这种传 递函数称为最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的 系统称为最小相位系统。 )(sG （2 2）非最小相位系统非最小相位系统：传递函数 的全部极点均位于s 平面的左半部，但有一个或多个零点落在右半s平面上， 则这种传递函数称为非最小相位传递函数。具有非最小相 位传递函数的系统称为非最小相位系统。 )(sG （3 3）开环不稳定系统开环不稳定系统：传递函数 有一个或多个极点 落在s平面的右半部，则这种传递函数称为开环不稳定传 递函

19、数。具有开环不稳定传递函数的系统称为开环不稳定 系统。 )(sG “最小相位”与“非最小相位”的概念来源于网络理论。 它指出：在具有相同幅频特性的一类系统中，当 从0变 至 时，最小相位系统的相角变化范围最小，而非最小 相位系统的相角变化范围通常要比前者大，故而得名。 例如，两个系统的开环传递函数分别为 )0( , 1 1 )( )0( , 1 1 )( T Ts s sG T Ts s sG 则两系统的对数幅频特性和对数相频特性的表达式分别为 T T TLL arctan)arctan()( arctanarctan)( 1lg201lg20)()( 2 1 2222 21 图5-35 最小

20、相位系统和非最小相位系统的Bode图 必须指出，非最小相位传递函数的定义中，有关极点的 条件限制是必须的。若允许极点落在右半s平面，则相角 变化范围可能比之具有相同幅频特性的最小相位传递函数 的相角变化还要小。 例如，有三个系统 ) 1)(1( 2 )(; ) 1( 2 )(; ) 1( 2 )( 3 2 2 2 1 ss s sG s s sG s s sG 其频率特性表达式为 ) 1)(1( 2 )(, ) 1( 2 )(, ) 1( 2 )( 3 2 2 2 1 jj j jG j j jG j j jG 则 )2arctan()( arctan2)2arctan(180)( arctan2)2arctan()( )1lg(204lg20)()()( 3 2 1 22 321 LLL 图5-36 最小相位系统、非最小相位系统和开环不稳定系统Bode图 对于最小相位系统，一条对数幅频特性曲线只能有一条 对数相频特性曲线与之对应。因此对于最小相位系统只要 绘出对数幅频特性就够了。 系统含有延迟环节则属于非最小相位系统。原因 3322 ! 3 1 ! 2 1 1s