定比分点的向量公式及应用

1、定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学(321307) 吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点 。，设op a , op2 b ,若p1ppp2,r r 二1 一一则op abo111 1 .特别地，当1时，即p为线段pip2的中点，则有op -a -bo2 2用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比 的值：例1 :已知a ( 2,1), b ( 3, 1 )及直线l ： y 4x 5 ,直线ab与l相交于p点，求p点分ab的比 。解：设p(x, y),则由ap pb ,得11 3 1(x,y) -(2,1) -(3, 1)(-,-), 1111又p

2、点在直线l上，.1 4(1 3 ) 5. 11，1-o3例2:如图所示，在 abc中，d为边bc上的点，且bd kdc , e为ad上的一 点，且de l ea ,延长be交ac于f,求f分有向线段ca所成的比ba“1 解：.cf fa, . bf -bc 11 一 1 一 l 一 又 de lea, . be bd ba ,1 l 1 l一k而 bd kdc bc ,1 kk一 l cabe bc ba ,(1 l)(1 k) 1 lb、e、f 共线，设 be tbf ,而 tbf bc ba 11k . lttbc ba bc ba (1 l )(1 k) 1 l 11(1 l)(1 k)

3、，解得 3lkf7二、求直线上点的坐标例3:已知点a( 1, 1), b(2,5)，点c为直线ab上一点，且 ac的坐标。分析：先求出c点分ab的的值，再利用定比分点的向量公式求出点c的坐标。解：ac空5cb利用定比分点的坐标公式有-1 5 1oc oa -ob (6663.c点的坐标为(3,4)。1,1) -(2,5)(-,4)o62例 4：已知 a(2,3) , b( 1,5),且 ac分析：由题设，运用定比分点的向量公式,1-ab , ad 3可以求得点3ab ,求点d的坐标c, d的坐标。解：设 c(x1,y1)d(x2, y2)，-1 - . ac ab3accb根据定比分点的向量公

4、式有 oc-oa1-ob2/、1 (x1,y1) 11 -2(2,3)121 12(1,5)(2,3)1113 ( 1,5)(1寸同理由ad 3ab得addb根据定比分点的向量公式有oc-oa1-ob,21(x2,y2) (2,3)1 3232132(1,5)(2,3) 3 ( 1,5) ( 7,9)一11点c的坐标为(1,一)，d点的坐标为(7,9)。3三、证明三点共线已知点 a(a,b c) , b(b, c a) , c(c,a b),求证：a、b、c 三点共线。证明:设c/(c,y)在ab上，c/分ab的比为oc/j 0aob 111a b c c1(a,b c)-一 (b,c a)1

5、a b1a b1 c/(c,y)与 c(c,a b)重合,由题设知c在ab上,a、b、c三点共线。四、求字母系数范围例6:已知点 a(3,3) , b( 1,5), 一次函数kx 1的图象与线段ab有公共点，求实数k的取值范围。解：设p(x, y)为一次函数图象与线段 ab的交点，把p看作ab的定比分点，其定比为，则有 0, 由定比分点公式有一 1 一op oa11ob 1(3,3)(1,5)(),而p点在函数kx1图象上,解得3k3kk231_241,k 4而当p点与0,即k4,4也适合。例7：若直线y ax2与连接p( 2,1)q(3,2)两点的线段有公共点，求实数a的取值范围。ad解：当

6、直线过p点时，a当直线与线段pq的交点在由定比分点公式有1 -om op1二.m点的坐标为(又. 直线过点,1 21又点2a2a3a 4m在线段-0,3a 44a 一或a33,直线过q点时，a2p、q之间时，设这个交点43m(x, y)分pq的比为oq2,pq上知解得a0 ,4一或a 3五、解决平面几何问题:例8:上，且分析:如图所示,aq nqd取两基底,解：设ba aprrc在平行四边形 abcdbq与cp相交于r,2 321) l32) (7), ap中，p点在线段ab上，且 pbpr 士求的值。rc由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来，再求解。bcb, pr rc由题意有ap

7、mpbaq则bpbq- pa m1 ba1 n-ba 1bd n1a,m 11, na (a1 n 1 nb) abr1 - bp1bc 1(11,a)(1 m)又b、r、q三点共线，存在实数t使 bq tbr,q在线段t t ;a b a(1)(1 m) 1(1)(1 m)1,(1 m)(1 n)即空rco(1 m)(1 n)222|od |2 |oe |2| de |2角形2 .aob 斜边的点为 d、e。 求证2-| ab|2o31 od oaob111(0,b)22 1(-a-b)3 3一 2 1 、，点d坐点为(一 a, - b) 3 3一一， ，一.12同理点e坐标为(a b) 3

8、 3由两点间距离公式，得分析：以。为原点，oa为x轴正向建立直角坐标系, 设oa (a,0), ob (0,b),用a , b表示相关线段的长度，从而证明命题。证明：以直角顶点 o为原点，直角边 oa、ob所在直 线为x轴，y轴建立直角坐标系，如图设点 a(a,0),点 b(0,b), d(x, y)则d分ab的比为_ 2|od|)2.24a b_ 2|oe |4b29|de |b29，2 |od |_ 2|oe|2|de|zb232 i 23(ab2)而 a2b2| ab|22 |od |2|oe|22|de|22-| ab |2 o3例10：如图，已知be、cf相交于一点g,abc,ag且一ad求证：bgbeabc的三条中线cg 2cf 3分析：几何问题应用向量来解决，关键是将有关线段设为ad、bdc二由定比分点的向量公式得向量，可以在平面内任取一点 o为向量的始点，将 oa、ob、oc设出。证明：如图，在平面内任取一点上一点，且 ag1 2g1d ,则。，设oa a, ob b, oc c,又设 g1 为 ad一 1 2 一ogioa od1 21 21 212 oa -od a -od33331 ,一 一、. d 为 bc 中点，. od (b c), 21l2