任意角的三角函数ppt[主要内容]

1、攸县一中攸县一中 汤庆平汤庆平 1 青苗辅导1 1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ sin cos tan c a c b b a O a bM P c 1.2任意角的三角函数任意角的三角函数 2 青苗辅导1 O a bM P y x 2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 3 青苗辅导1 22 : barOP bMP aOM 其中 y x 2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ r a OP OM cos r b OP MP sin a b OM M

2、P tan baP, M o 4 青苗辅导1 如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？ P M OP MP sin OP OM cos OM MP tan OMPPMO PO PM PO OM MO PM MO y x P(a,b) 5 青苗辅导1 OP MP sin OP OM cos OM MP tan ，则若1 rOP b a a b 3.锐角三角函数（在单位圆中）锐角三角函数（在单位圆中） 以原点以原点O为为圆心，以单位圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆长度为半径的圆，称为单位圆. y o P ),(ba x 1 M 6 青苗辅导

3、1 2.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP 那么:（1） 叫做 的正弦正弦，记作 ，即 ；ysinysin （2） 叫做 的余弦余弦，记作 ，即 ； cosx xcos （3） 叫做 的正切正切，记作 ，即 。 x y tan x y tan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都 是以是以角为自变量角为自变量，以，以单位圆单位圆上点上点 的的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的为函数值的 函数，我们将他们称为函数，我们将他们称为三角函数三角函数. 0 , 1AO y x yxP , )0(x 使比值有意义的角的集合使

4、比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域即为三角函数的定义域. 7 青苗辅导1 （1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点 横坐标的比值横坐标的比值. . 的横坐标，的横坐标，交点的纵坐标与交点的纵坐标与 . . （2） 正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意义.当当 的终边在的终边在 y 横坐标等于横坐标等于0， x y tan 无意义，此时无意义，此时 )( 2 zkk 轴上时，点轴上时，点P 的的 （3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数三角函数可以看成是自变

5、量为实数的函数. 正切就是正切就是 8 青苗辅导1 任意角的三角函数的定义过程：任意角的三角函数的定义过程： 直角三角形中定义锐角三角函数 a b r a r b tan,cos,sin 直角坐标系中定义锐角三角函数 a b r a r b tan,cos,sin 单位圆中定义锐角三角函数 a b abtan,cos,sin 单位圆中定义任意角的三角函数 ,sinyxcos x y tan, 9 青苗辅导1 例例1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值. 3 5 3 5 AOB 解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作 AOB ，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位

6、圆的交点坐标为 ) 2 3 , 2 1 ( 所以所以 2 3 3 5 sin 2 1 3 5 cos 3 3 5 tan 思考：若把角思考：若把角 改为改为 呢呢? 3 5 6 7 , 2 1 6 7 sin ， ， , 2 3 6 7 cos 3 3 6 7 tan x y o A B 3 5 10 青苗辅导1 例例2 已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余的正弦、余 弦和正切值弦和正切值 . )4, 3( 0 P 5) 4() 3( 22 0 OP 解解:由已知可得由已知可得 设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，),(yxP 分别过点分别过点 、 作

7、作 轴的垂线轴的垂线 、 0 PMPP 00P Mx 4 00 PM 于是，于是， ; 5 4| 1 sin 0 00 OP PM OP MPy y yMP 3 0 OM xOM OMP 00P OM ; 5 3 1 cos 0 0 OP OM OP OMx x 3 4 cos sin tan x y 4, 3 0 P 0 M O y x M yxP , 11 青苗辅导1 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点， 点点 与原点的距离与原点的距离 ),( yxP 0 22 yxrP 那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 r y r y sin 叫做叫做

8、 的余弦，即的余弦，即 r x r x cos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 x y 0tanx x y 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的在角的 终边上的位置无关终边上的位置无关. P 12 青苗辅导1 13512 2 2 22 yxr 13 12 cos r x 12 5 tan x y 13 5 sin r y 于是于是， 练习练习 1、已知角、已知角 的终边过点的终边过点 ， 求求 的三个三角函数值的三个三角函数值. 5 ,12P 解：由已知可得：解：由已知可得： 13 青苗辅导1 2P15 ,8aa、已知角 的终边上一点aR且a0 ，

9、sin,cos ,tan求角 的的值. -15 ,8 ,xa ya解：由于 22 158170raaa a所以 1017 ,ara若则于是 88151588 sin,cos,tan 171717171515 aaa aaa 20-17 ,ara若则于是 88151588 sin,cos,tan 171717171515 aaa aaa 14 青苗辅导1 32sin ,cos ,tan.yx、已知角 的终边在直线上，求角 的的值 1解： 当角 的终边在第一象限时， 22 1,2125在角 的终边上取点，则r= 225152 sin,cos, tan2 55155 2当角的终边在第三象限时， 22

10、 1, 2125r 在角的终边上取点，则 22 5152 sin,cos,tan2 55155 15 青苗辅导1 1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制）（弧度制） 三角函数三角函数定义域定义域 sin cos tan R )( 2 Zkk 2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号 y x o sin y x o cos y x o tan +（ ）（ ） （ ）（ ） （ ） （ ）（ ）（ ）（ ） （ ） （ ） R + - +- - + +- + - 16 青苗辅导1 例例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，求证：当

11、且仅当下列不等式组成立时， 角角 为第三象限角为第三象限角. 0tan 0sin 证明：证明： 因为式因为式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上； 0sin 又因为式又因为式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于 第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因为式都成立，所以角因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限. 于是角于是角 为第三象限角为第三象限角. 反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明. 17 青苗辅导1 如果两个角的终边相同，

12、那么这两个角的如果两个角的终边相同，那么这两个角的 同一三角函数值有何关系？同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一） tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( k k k 其中其中 zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求求 角的三角函数值角的三角函数值 .360020到或到 ？ 18 青苗辅导1 例例4 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3） 解：解： 250cos)672tan( 4 sin （1）因为）

13、因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos （2）因为）因为 = ， 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ； )672tan(48tan)360248tan( 0)672tan(48 练习练习 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号 5 16 cos ) 3 4 sin( ) 8 17 tan( （3）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 . 4 0 4 sin 19 青苗辅导1 例例5 求下列三角函数值：求下列三角函数值： （1） （2） 4 9 cos ) 6 11 tan( 解：（解：（1） 2 2 4 cos)2 4 cos( 4 9 cos 练习练习 求下列三角函数值求下列三角函数值 3 19 tan ) 4 31 tan( 31 3 3 6 tan 6 tan)2 6 tan() 6 11 tan( （2） 20 青苗辅导1 117119 cossintan 363 练习：求值 117119 cossintan 363 解： cos4sin12tan 6 363 cossintan 363 11 313 22 21 青苗辅导1 1. 内容总结：内容总结： 三角函