练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-4

1、线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-41 教学目的 掌握行列式按行按列展开的性质和定理，会用行掌握行列式按行按列展开的性质和定理，会用行 列式的性质和余子式定理求行列式的值，理解克列式的性质和余子式定理求行列式的值，理解克 莱姆法则。莱姆法则。 作业要求 重点 行列式按行（列）展开、矩阵概念行列式按行（列）展开、矩阵概念 练习册练习册 P5-8P5-8，习，习 题题6-86-8， 其中：交：其中：交： P5-6P5-6， 6 6（1 1）- -（4 4） 难点 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 讲授方法 讲练结合讲练结合 讲授方

2、法主 线 按照行列展开，不同行按照行列展开，不同行D D或或0 0；克莱姆法则解方程；克莱姆法则解方程； 本章总结求行列式是重点、矩阵及其分类、加法本章总结求行列式是重点、矩阵及其分类、加法 与数乘。与数乘。 内容概括 按行展开可降阶递推，第按行展开可降阶递推，第i i行换值可算余子式之行换值可算余子式之 和，克莱姆法则用于齐次非齐次的分类，矩阵的和，克莱姆法则用于齐次非齐次的分类，矩阵的 定义有记法和特殊阵，运算有加减同型数乘全。定义有记法和特殊阵，运算有加减同型数乘全。 时间： 年 月 日；星期 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章

3、 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-42 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 本次课学习： 一、行列式计算（续）；一、行列式计算（续）； 二、克莱姆法则解线性方程组二、克莱姆法则解线性方程组 三、矩阵的定义与基本运算三、矩阵的定义与基本运算 下次课学习： 一、第二章第二节：矩阵的运算（续）；一、第二章第二节：矩阵的运算（续）； 二、第二章第三节：逆矩阵二、第二章第三节：逆矩阵 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-43 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念

4、复习行列式计算的分类：复习行列式计算的分类： 1. 1.行（列）和相等行列式行（列）和相等行列式方法：提公因子；方法：提公因子； 2. 2.爪形行列式爪形行列式方法：段一爪为零；方法：段一爪为零； 3. 3.行（列）递增行列式行（列）递增行列式方法：逐行（列）相减多减少；方法：逐行（列）相减多减少； 4. 4.分块行列式分块行列式方法：类似二阶有零块；方法：类似二阶有零块； 5. 5.按行（列）展开行列式按行（列）展开行列式方法：行中很少元素不为零；方法：行中很少元素不为零； 6. 6.递推行列式递推行列式方法：递推公式是关键；方法：递推公式是关键； 7. 7.范德蒙行列式范德蒙行列式方法：归

5、纳证明；方法：归纳证明； 8. 8.利用展开式构造行列式利用展开式构造行列式方法：元素换值构造新行列式。方法：元素换值构造新行列式。 展开式如下：展开式如下： 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-44 第二讲第二讲 行列式的运算行列式的运算 例例1：计算下列行列式：计算下列行列式 11111 11000 01100 00110 00011 n D 分析：按照第一列展开分析：按照第一列展开 ininiiiiij n j ij AaAaAaAaD 2211 1 ni, 2 , 1 njnjjjjjij n i ij AaAaAaAaD 22

6、11 1 nj, 2 , 1或 一、行列式计算（续）一、行列式计算（续） 1.递推行列式递推行列式 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-45 第二讲第二讲 行列式的运算行列式的运算 2111 221 nnnn DDDD)( nn nD )( )( 2 11 11 2 2 111 11000 01100 00100 00011 00001 1 11111 11000 01100 00110 00011 1 11 1 1 n nn n n n DD D )()( )( 1 1 kk DD关键：关键： mDD mnn 又一个公式：又一个公式：

7、 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-46 解解按第一行展开，只有按第一行展开，只有a、b不为不为0，其余均为，其余均为0 n D2 例例2 . 计算 dc dc dc ba ba ba D n 2 0 0 0 0 d dc dc ba ba a 00 0 0 1 11 0 0 0 0 0 00 0 0 1 21 c dc dc ba ba b n 0 0 0 12n D ) 1(2n 12n D ) 1(2n 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-47 122 kk DbcadD

8、 22 2 n Dbcad 12 1 nn n Dbcad 2 1 Dbcad n dc ba bcad n 1 n bcad 12 n Dbcad 12 n adD 12 112 1 n n cDb n D2 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 mn m n DbcadD 22 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-48 ji jin n n nn n n n xx xxx xxx xxx D 1 11 2 1 1 22 2 2 1 21 111 证证 用数学归纳法证。 当 n=2 时， 21 2 11 xx

9、 D 12 xx ji ji xx 12 显然成立。 现假设对于n-1阶范德蒙德行列式成立， 注意，是下标注意，是下标 大的元素减下大的元素减下 标小的元素标小的元素 分析：这是一种从上往下的升幂行列式，一般要自下而上分析：这是一种从上往下的升幂行列式，一般要自下而上 乘幂相减，以得到相应的乘幂相减，以得到相应的0 2.范德蒙行列式范德蒙行列式 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-49 11 2 1 1 22 2 2 1 22 2 2 1 21 111 n n nn n n

10、 nn n n n xxx xxx xxx xxx D 对于 , n D从第n行开始，后一行减去前一行的 倍， 1 x 1111 0 12 2 2 xxx n 13 2 3 xxx n 1 2 xxx n n n 0 0 122 xxx 133 xxx 1 xxx nn 12 xx 13 xx 1 xxn 目的是使第目的是使第1 1列产生列产生0 0 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-410 11312 xxxxxx n 22 3 2 2 22 3 2 2 32 111

11、n n nn n n xxx xxx xxx 11312 xxxxxx n ji jin xx 1 证毕 22423 xxxxxx n 1 nn xx 2 )( jin ji xx 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-411 例例3（1992.3）计算）计算 _ 222 cba cba baaccb 222222 cba cba cbacbacba cba cba baaccb 222 111 cba cbacba) （ 分析：首先，本行列式是个分析：首先，本行列式是个1、

12、2行和相等行列式，其次，行和相等行列式，其次，本例 很像范德蒙行列式。因此，设法把第一行变成1。把第2行加到 第一行，提取公因式，即为范德蒙行列式 )()()(bcacabcba 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-412 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 3.构造行列式构造行列式元素换值构造新行列式元素换值构造新行列式 （1 1）余子式求行列式性质）余子式求行列式性质3 3： 行列式某一行（列）的 元素与另一行（列）的对应元素代数余子式乘积之

13、和等于零， 即 0 2211 jninjiji AaAaAa ji 0 2211 njnijiji AaAaAa ji 或 i ij j时和为时和为D D 证：由行列式按照行列展开定理，证：由行列式按照行列展开定理， ininiiii AaAaAaD 2211 nnn jnj ini n aa aa aa aa 1 1 1 111 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-413 得得：。如如换换成成第第一一行行元元素素，而而代代数数余余子子式式没没有有改改变变 行行元元素素代代换换成成其其它它数数，于于把把第第行行元元素素，这这样样，就就相

14、相当当代代 数数来来取取关关，因因此此，可可以以用用其其它它与与元元素素本本身身是是什什么么数数无无 列列元元素素的的位位置置有有关关，行行式式只只与与代代数数余余子子式式，代代数数余余子子 是是对对应应的的行行元元素素，是是第第其其中中， ii ji AAAiaaa iniiinii , 2121 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 innii AaAaAa 1212111 nnn jnj n n aa aa aa aa 1 1 111 111 0 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-414 injniji

15、j AaAaAa 2211 nnn jnj jnj n aa aa aa aa 1 1 1 111 0 同理，用第同理，用第j行元素对应取代第行元素对应取代第i行元素，则由于行列式两行元素，则由于行列式两 行元素相等，得行元素相等，得0值。值。 定理得证定理得证 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 由以上推理，我们可以用任意数取代第由以上推理，我们可以用任意数取代第i行（列）元素，取代行（列）元素，取代 后，只改变原行列式第后，只改变原行列式第i行值，而其它代数余子式和元素值不行值，而其它代数余子式和元素值不 变，如，用变，如，用1，1，1取代第取代第i行值，得：行

16、值，得： 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-415 inii AAA 21 nnn jnj n aa aa aa 1 1 111 11 由定理3及其推论还可以写 成如下形式： ;, , ji jiD DAa ijjk n k ik 当当 当当 0 1 ;, , ji jiD DAa ijkj n k ki 当当 当当 0 1 ., , ji ji ij 当当 当当 0 1 或 行行元元素素的的值值。的的第第相相比比，只只改改变变了了与与 ， 新新的的行行列列式式，即即求求行行元元素素的的数数值值来来求求一一个个中中 通通过过改改变变的

17、的数数值值无无关关，我我们们可可以以的的位位置置有有关关，而而与与的的值值与与 由由于于：观观察察余余子子式式的的这这一一法法则则 新新 新新 iDDD AbAbAbD iD aaA DAaAaAa inii ijijij ininiiii 11211 1211 . 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-416 例2 设 3521 1105 1313 2413 D 11121314 1):AAAA 求 分析：根据以上推理，该题相当于在分析：根据以上推理，该题相当于在D中把第一

18、行元素变中把第一行元素变 成成1，1，1，1即可。即可。 解解 11121314 1):AAAA 1111 1105 1313 2413 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-417 43 1111 1105 2202 1100 rr 31 rr 115 222 110 21 125 202 100 cc 25 4. 02 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题6

19、1-418 例例3（2001.4）设行列式）设行列式 2235 0070 2222 0403 D 则第则第4行各元素余子式之和的值为行各元素余子式之和的值为_ 分析：本题求得是余子式，可将其转换为代数余子式求解，即分析：本题求得是余子式，可将其转换为代数余子式求解，即 4443424144434241 AAAAMMMM 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 1111 0070 2222 0403 28 111 222 043 17 23 )( 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-419 二、二、 克莱姆法则解线

20、性方程组克莱姆法则解线性方程组 1.1.克莱姆法则克莱姆法则 的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即 0 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa D nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 (8) 若线性方程组若线性方程组 教材中已注明，本教材中已注明，本 法则证明在第二章法则证明在第二章 给出给出 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-420 第三讲第三

21、讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 则方程组（则方程组（8 8）有唯一解：）有唯一解： ., D D x D D x D D x n n 2 2 1 1 nnjnjnn njj j aaaa aaaa D 111 1111111 , , n b b 1 其中其中 .),(nj21 对于线性方程组（对于线性方程组（8）右端的常数项）右端的常数项 n bbb, 21 方程组（方程组（8）叫做）叫做非齐次线性方程组非齐次线性方程组； 不全为零时，不全为零时， 2.2.线性方程组的分类线性方程组的分类 程程组组，即即：时时，方方程程组组称称为为齐齐次次方方全全为为当当0 21n bb

22、b, 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-421 0 0 0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa (9) 当当 全为零时，全为零时， n bbb, 21 即即 称（称（9）式为）式为齐次线性方程组齐次线性方程组。 3.3.克莱姆法则判定方程组的解克莱姆法则判定方程组的解 对于非齐次线性方程组，即对于方程组（8），有如下结论 定理定理4：如果线性方程组（8）的系数行列式D不等于零， 则该方程组有解，且解唯一 定理定理4：如果线性方程组（8）无解或有两个及以上不 同的解

23、，则它的系数行列式一定为零 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-422 0 21 n xxx一定是（9）式的解 零解零解。 定理定理5 5 如果齐次线性方程组（如果齐次线性方程组（9 9）的系数行列式）的系数行列式 D00， 则（则（9）式有唯一零解（即没有非零解）。式有唯一零解（即没有非零解）。 定理定理5 5 如果齐次线性方程组（如果齐次线性方程组（9 9）有非零解，则它的系数）有非零解，则它的系数 行列式行列式必为零。必为零。 概括克莱姆法则及其推论概括克莱姆法则及其

24、推论 1.非齐次线性方程组：系数行列式不为零，有唯一解； 若无解或多解，则系数行列式一定为零 2.齐次线性方程组：系数行列式不为零，有唯一零解； 若有非零解，则系数行列式一定为零。 对于齐次线性方程组（对于齐次线性方程组（9）而言，显然：）而言，显然： 根据克莱姆法则，可以推出根据克莱姆法则，可以推出 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-423 6 1 3 7 2 5 1 1694 432 1 2 321 321 321 )()()()DCBA x xxx xxx xxx

25、（ 的的值值必必为为的的解解中中，未未知知数数 三三元元一一次次方方程程组组 , )()()( D D x D 2 2 12132321 914 312 111 根据克莱姆法则，根据克莱姆法则， 。 分析分析;系数行列式是范德蒙行列式，系数行列式是范德蒙行列式， 例例8 （2003.2） 2432324 9164 342 111 2 )()( 其中其中D )(,Dx所所以以，应应选选故故 6 1 2 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-424 例例9: 问取何值时，齐次线性

26、方程组 0-4 2 0 62 02 2 5 zx yx zyx 有非零解？ 解解 （10） 由定理5知，要使（10）有非零解， 必须其系数行列式D0。 402 062 225 D 6444465 825. 0 得 、 或 。 2 5 8 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-425 三、矩阵的概念与运算三、矩阵的概念与运算 1.1.矩阵定义矩阵定义 由由mn个数个数 排成排成的的 njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmm n n aaa aaa aaa 21 2

27、2221 11211 称为称为 m 行行 n 列矩阵，列矩阵，简称简称 mn 矩阵矩阵. 记作 njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1称为矩阵 A 的元素元素，简称元元， ij a 数 位于矩 阵 A 的第 i 行第 j 列， 称为矩阵 A 的（i, j) 元元. 以数 为（i, j) 元 ij a 的矩阵可简记作 ij a或 . nm ij a mn 矩阵 A 也记作 . nm A mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 A m行行n列数表列数表: 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列

28、式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-426 1）行数与列数都等于）行数与列数都等于 n 的矩阵的矩阵 A 称为称为 n 阶矩阵阶矩阵 或或 n 阶方阵阶方阵. 矩阵矩阵 A 也记作也记作 . n An 阶阶 2）行矩阵）行矩阵 行向量行向量 3）列矩阵）列矩阵列向量列向量 4）同型矩阵）同型矩阵行、列数分别都相等的两个矩阵行、列数分别都相等的两个矩阵. 且 njmiba ijij ,;,2121 那么就称矩阵那么就称矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 相等相等. 如果如果 与与 是同型矩阵，是同型矩阵， ij a ij bAB n aaa, 21A B n b b b 2 1 2.几个

29、特殊矩阵几个特殊矩阵 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-427 6）单位矩阵）单位矩阵 简记作简记作 E. 单位矩阵单位矩阵 E 的（的（i, j) 元为：元为： ., , ji ji ij 当当 当当 0 1 7）对角矩阵）对角矩阵 , n 00 00 00 2 1 也记作也记作 ., n diag 21 , 100 010 001 n E 5）零矩阵）零矩阵元素都是零的矩阵，元素都是零的矩阵， 记作记作 O. 注：注： 不同型的零矩阵是不相等的不同型的零矩阵是不相等的

30、 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-428 3.3.矩阵的基本运算矩阵的基本运算 （1）矩阵的加法）矩阵的加法 定义定义2 2 矩阵矩阵A 与与 B 的的和记作和记作 A+B， 规定为规定为 BA 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 矩阵加法满足下列运算规律矩阵加法满足下列运算规律（设A、B、C都是mn 矩阵): 注注: (i) A+B= B+A (ii) (A+B)+C= A+(B+C) mnmnmmmm nn n

31、n bababa bababa bababa 2211 2222222121 1112121111 设有两个设有两个 mn 矩阵矩阵 与与 ， ij a ij bA B 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-429 记记 显然有显然有 A+(A)= O 由此规定矩阵的减法为由此规定矩阵的减法为AB= A+(B) （2）数与矩阵相乘）数与矩阵相乘 定义定义3 3 规定为规定为 AA A设矩阵设矩阵 ， ij aA mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11

32、211 ij a 数数 与矩阵与矩阵A的乘积记作的乘积记作 或或 ,A A -A称为矩阵称为矩阵 A 的负矩阵，的负矩阵， 数乘矩阵满足下列运算规律数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B是mn 矩阵, 、为常数) (i) (ii) AA AAA (iii) BABA 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-430 （3）矩阵与矩阵相乘）矩阵与矩阵相乘 设有两个线性变换: 111 1122133 221 1222233 (1) ya xa xa x ya xa xa x 111 11

33、2 2 221 122 2 331 132 2 (2) xb tb t xb tb t xb tb t 求出从 到 的线性变换. 12 ,t t 12 ,y y 111 1112211331111 12122213322 221 1122212331121 12222223322 ()() ()() ya ba ba bta ba ba bt ya ba ba bta ba ba bt 1）乘法的历史）乘法的历史 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-431 AB 31132

34、1121111 bababa 312321221121 bababa 321322121211 bababa 322322221221 bababa 22 , 232221 131211 aaa aaa A 23 1112 2122 3132 bb bb bb B 32 2）乘法的定义与运算规律）乘法的定义与运算规律 , ij c C 定义定义4 4 其中其中 ij c njmi,21 ;21 并把此乘积记作：并把此乘积记作：ABC 设设 是一个是一个 ms 矩阵矩阵, , ij aA是一个是一个sn 矩阵矩阵, , ij bB 那么规定矩阵那么规定矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 的乘积是一个的乘

35、积是一个mn 矩阵矩阵 s k kjikb a 1 sjisjiji bababa 2211 矩阵形式如下：矩阵形式如下： 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-432 snsjs iniji nj msmm isii s bbb bbb bbb B aaa aaa aaa A 1 1 1111 21 21 11211 , mnmjm iniji nj ccc ccc ccc C 1 1 1111 则则： s k kk ss s k kk ss ba bababac ba b

36、ababac 1 21 212212121112 1 11 112112111111 s k kjiksjisjijiij babababac 1 2211 第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-433 如: 1 2 12 1 1 , n n n n b b a aa b 112211 nnb ababa 是一个数. n i iib a 1 1 2 12 1 1 , n n n n b b a aa b nn n ababab 12111 n ababab 22212 nnnn ababab 21 注意：只有当左矩阵的列数等于右注意：只有当左