2.1第四章习题课ppt课件

1、第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 习题课 一、直接积分法一、直接积分法 二、换元积分法二、换元积分法 不定积分的计算方法 第四章 三、分部积分法三、分部积分法 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 )( )( )( xQ xP xR n nn axaxa 1 10 m mm bxbxb 1 10 例如有理函数: nm 时, )(xR为假分式;nm 时, )(xR 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 若干简单部分分式之和 一、一、 直接积分法直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和线性

2、运算法则求 不定积分的方法 . 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 例例1 ; ) 1( 1 ) 1 ( 2 xx ; 65 3 )2( 2 xx x . )1)(21 ( 1 )3( 2 xx 解解 (1) 用拼凑法 22 ) 1() 1( 1 xxxx 2 ) 1( 1 x ) 1( 1 xx 2 ) 1( 1 x) 1( xx 2 ) 1( 1 x 1 1 xx 1 ) 1( xx ) 1( xx 将下列真分式分解为部分分式 : 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 (2) 用赋值法 65 3 2 xx

3、 x )3)(2( 3 xx x 2 x A 3 x B 原式)2(xA 2x2 3 3 x x x 5 原式)3(xB 3x3 2 3 x x x 6 故 2 5 x 原式 3 6 x 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 (3) 比较系数法 )1)(21 ( 1 2 xx x A 21 2 1x CBx 20BC 2 2 (1)()(1 2 ) (1 2 )(1) AxBxCx xx 20AB 原式 = 14 51 2x 2 1 12 x x 1AC 2 5B 4 5A 1 5C 4 5 12x 2 2515 1 x x 比较分子的系数可得 2 2

4、 (2 )(2 ) (1 2 )(1) AB xBC xA C xx 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 二、二、 换元积分法换元积分法 xxfd)( 第一类换元法第一类换元法 tttfd)()( 第二类换元法 有理函数 分解 多项式及 部分分式之和 指数函数有理式 指数代换 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 三、分部积分法三、分部积分法 vuxvud 使用原则: 1) 由 v 易求出 v ; 2) x vud比 xvud好求 . 一般经验: 按

5、“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺 序, 排前者取为 u , 排后者取为. v xvu d 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 例例2. )1)(21 ( d 2 xx x 解解 知知 )1)(21 ( 1 2 xx 5 1 x21 4 2 1 2 x x 2 1 1 x x x 21 )21 ( d 5 2 原式 2 2 1 )1 ( d 5 1 x x 2 1 d 5 1 x x x21ln 5 2 )1 (ln 5 1 2 xCxarctan 5 1 求 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 例例3

6、.d 32 2 2 x xx x 解解 原式原式x xx d 32 2 3)22( 2 1 x 32 )32d( 2 1 2 2 xx xx 32ln 2 1 2 xx 22 )2() 1( ) 1d( 3 x x C x 2 1 arctan 2 3 求 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 x xx d )4)(1( 22 )4() 1( 22 xx 例例4 .d 45 5522 24 23 x xx xxx I x xx xx Id 45 52 24 3 x xx x d 45 52 24 2 42 42 1d(54) 254 xx xx 45l

7、n 2 1 24 xx 2 arctan 2 1x Cxarctan 解解 说明说明: 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 求 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 例例5.d )22( 22 2 x xx x 解解 原式原式 x xx d )22( 22 )22( 2 xx)22(x 1) 1( d 2 x x 22 2 )22( )22d( xx xx ) 1arctan( x 22 1 2 xx C 求 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用

8、习题课 例例6 解解 原式原式 x x d 1 4 ) 1( 2 x) 1( 2 x 2 1 1 d 4 x x (见P363 公式21) 2 arctan 22 1 1 x x 2 1 22 1 ln 2 1 x x 2 1 x x C x x x x d 1 2 1 2 2 1 2 1 x x x x d 1 2 1 2 2 1 2 1 2)( 2 1 2 1 x x )d( 1 x x 2)( 2 1 2 1 x x )d( 1 x x 注意本题技巧注意本题技巧 x x 2 1 arctan 22 1 2 C xx xx 12 12 ln 24 1 2 2 )0( x 求 第四章第四章

9、不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 按常规方法解 1 d 4 x x 第一步 令 )(1 224 dxcxbxaxx 比较系数定 a , b , c , d . 得 ) 12)(12(1 224 xxxxx 第二步 化为部分分式 . 即令 ) 12)(12( 1 1 1 224 xxxxx 1212 22 xx DxC xx BxA 比较系数定 A , B , C , D . 第三步 分项积分 .此解法较繁 ! 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 x xx x d )cos1 (sin sin1 2 1 2 1 t t

10、2 1 2 t t )1 ( 2 2 1 1 t t t t d 2 1 2 t t td 1 2 2 1 2 1 2 2 1 t t 2tlnC 2 tan 4 1 2 x 2 tan x C x 2 tanln 2 1 2 1 2 sin t t x 2 2 1 1 cos t t x t t xd 1 2 d 2 例例7 .d )cos1 (sin sin1 x xx x 解解 求 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 例例8.)0( cossin d 2222 ba xbxa x 解解 原式 x x d

11、 2 cos 1 222 tanbxa 222 )(tan tand1 a b x x a )tanarctan( 1 x b a ba C 说明说明:xxxxcossincos,sin 22 及 的积分时,xttan往往更方便 . 的有理式 用代换 求 通常求含 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 例例9. )0(d )cossin( 1 2 bax xbxa 解法解法 1 xttan 令 原式 dx 2 )tan(bxax 2 cos 2 )( d bta t C btaa )( 1 C xbxaa x )cossin( cos 求 第四章第四章

12、 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 xbxacossin 例例9)0(d )cossin( 1 2 bax xbxa 解法解法 2 cos,sin 2222 ba b ba a 令 22 ba x ba b x ba a cossin 2222 sincos 原式 )(cos d1 222 x x ba Cx ba )tan( 1 22 C b a x ba )arctantan( 1 22 b a arctan 求 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 需要注意的问题需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法

13、, (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 要注意综合 使用各种基本积分法, 简便计算 . 因此不一 定都能积出. 例如例如 , ,de 2 x x ,d sin x x x ,dsin 2 xx ,d ln 1 x x , 1 d 4 x x ,d1 3 xx , ) 10(dsin1 22 kxxk 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 例例10.d cos1 sin x x xx 解解 原式 x x xx x d 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 2 tand x xx x d 2 tan C x x 2 tan 分部积分 求 第

14、四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 例例11.d sinsin1 cos2cos 42 3 x xx xx 解解 原式 xx 42 sinsin1 xxxdcos)2(cos 2 xx x 42 2 sinsin1 ) 1(sin 42 2 1 d) 1( tt tt t t t t d 1 1 2 2 1 2 1 3)( )d( 2 1 1 t t t t C t t 3 arctan 3 1 1 C x x sin3 cos arctan 3 1 2 xsind ,sin xt 令 求 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用

15、习题课应用习题课 例例12 . 21 d 3 x x 解解 令令,2 3 xu 那么 ,2 3 uxuuxd3d 2 原式 u1 2 3u udu u u d 1 1) 1( 3 2 u u ud) 1 1 1(3 3 2 2 1 uuu1lnC 3 2 2 3 )2( x 3 23x 3 21ln3x C 求 简单无理函数的积分简单无理函数的积分 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 例例13. d 3 xx x 解解 最小公倍数 6 , 6 tx 则有 原式 23 tt tt d6 5 t t ttd) 1 1 1(6 2 6 3 3 1 t 2

16、2 1 ttt1lnC Cxxxx)1(ln6632 663 令 求 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 例例14.d 11 x x x x 解解 令令, 1 x x t 那么 , 1 1 2 t x 22 ) 1( d2 d t tt x 原式原式 tt) 1( 2 t t t d ) 1( 2 22 t t t d 1 2 2 2 t2 1 1 ln t t C x x 1 2Cxxx1122ln 求 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 例例13

17、 .d 1 5)1ln( 2 2 x x xx 解解 2 1 5)1ln( 2 xx 原式 5)1ln(d 2 xx 2 1xx x x x d)1 ( 2 12 2 2 1 d x x 3 2 5)1ln( 2 xxC 2 3 分析分析: 5)1ln(d 2 xx 求 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 例例14 .d 49 32 x xx xx 解解 原式 x xx xx d 23 32 22 x x x d )(1 )( 2 3 2 3 2 x x 2 3 2 3 2 3 2 )(1 )(d ln 1 xaaa xx dlnd C x 3ln2

18、ln )arctan( 3 2 求 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 例例15.d e earctan x x x 解解 x earctan原式 x ed xx earctane x ex x x d e1 e 2 xx earctane x x xx d e1 e)e1 ( 2 22 xx earctane xC x )e1 (ln 2 2 1 求 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 例例16 . eee1 d 632 xxx x 解解,e6 x t 那么,ln6tx tx t dd 6 原式原式 tttt t )1 ( d 6 23 ttt t ) 1)(1( d 6 2 1 33 1 36 2 t t tt t d tln61ln3t) 1ln( 2 3 2 tCt arctan3 Cx xxx 636 arctane3) 1ln(e) 1ln(e3 2 3 求 令令 第四章第四章 不定积分不定积分 高等数学高等数学（上上） 应用习题课应用习题课 例例17 )2( 1 tan dtan 2 1 nI n x xxI n n n n 证证 xxxI n n d) 1(sectan 22 )d