立体几何基础题题库有详细答案2

1、立体几何基础题题库有详细答案立体几何基础题题库四（有详细答案）301. 正三棱柱abca1b1c1的侧面三条对角线ab1、bc1、ca1中，ab1bc1.求证：ab1ca1.解析：方法1 如图，延长b1c1到d，使c1db1c1.连cd、a1d.因ab1bc1，故ab1cd；又b1c1a1c1c1d，故b1a1d90，于是da1平面aa1b1b.故ab1平面a1cd，因此ab1a1c.方法2 如图，取a1b1、ab的中点d1、p.连cp、c1d1、a1p、d1b，易证c1d1平面aa1b1b.由三垂线定理可得ab1bd1，从而ab1a1d.再由三垂线定理的逆定理即得ab1a1c.说明 证明本题

2、的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线；(3)证明直线平行于平面的垂线；(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.302. 已知：正三棱柱abcabc中，abbc，bc2，求：线段ab在侧面上的射影长.解析： 如图，取bc的中点d.adbc，侧面底面abc，ad侧面是斜线ab在侧面的射影.又abbc，bc.设bbx，在rt中，bebd，.e是bbc的重心.bebcx，解得：x.线段ab在侧面的射影长为.303. 平面外一点a在平面内的射影是a，bc在平面内，aba，abc，求证:coscoscos.解析： 过a

3、作bc于c，连ac.aa平面，bc垂直ac在平面内的射线.bcac，cos.又cos,cos，coscoscos.304. abc在平面内的射影是abc，它们的面积分别是s、s，若abc所在平面与平面所成二面角的大小为(090，则sscos.证法一 如图(1)，当bc在平面内，过a作adbc，垂足为d.aa平面，ad在平面内的射影ad垂直bc.adbc.ada.又sadbc，sadbc，cos,sscos.证法二 如图(2)，当b、c两点均不在平面内或只有一点(如c)在平面内，可运用(1)的结论证明sscos.305. 求证：端点分别在两条异面直线a和b上的动线段ab的中点共面.证明 如图，设

4、异面直线a、b的公垂线段是pq，pq的中点是m，过m作平面，使pq平面，且和ab交于r，连结aq，交平面于n.连结mn、nr.pq平面，mn，pqmn.在平面apq内，pqa,pqmn,mna,a，又pmmq，annq，同理可证nrb,rarb.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.306. 如图，已知直三棱柱abca1b1c1中，acb90，bac30，bc1，aa1，m是cc1的中点，求证：ab1a1m.解析：不难看出b1c1平面aa1c1c，ac1是ab1在平面aa1c1c上的射影.欲证a1mab1，只要能证a1mac1就可以了.证：连ac1，在直角abc中，bc1，b

5、ac30， aca1c1.设ac1a1，ma1c1 tan,tg.cot(+)0,+90 即ac1a1m.b1c1c1a1，cc1b1c1，b1c1平面aa1cc1，ac1是ab1在平面aa1c1c上的射影.ac1a1m，由三垂线定理得a1mab1.评注：本题在证ac1a1m时，主要是利用三角函数，证+90，与常见的其他题目不太相同.307. 矩形abcd，ab2，ad3，沿bd把bcd折起，使c点在平面abd上的射影恰好落在ad上.(1)求证：cdab；(2)求cd与平面abd所成角的余弦值.(1)证明 如图所示，cm面abd，adab，cdab(2)解：cm面abdcdm为cd与平面abd

6、所成的角，coscdm作cnbd于n，连接mn，则mnbd.在折叠前的矩形abcd图上可得dmcdcdcaabad23.cd与平面abd所成角的余弦值为308. 空间四边形pabc中，pa、pb、pc两两相互垂直，pba45，pbc60，m为ab的中点.(1)求bc与平面pab所成的角；(2)求证：ab平面pmc.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解 paab，apb90在rtapb中，abp45，设paa，则pba,aba,pbpc，在rtpbc中，pbc60,pba.bc2a,pca.appc 在rtapc中，ac2a(1)pcpa,pcpb,pc平面pab，bc在平

7、面pbc上的射影是bp.cbp是cb与平面pab所成的角pbc60，bc与平面pba的角为60.(2)由上知，papba,acbc2a.m为ab的中点，则abpm，abcm.ab平面pcm.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.309. 在空间四边形abcp中，papc，pbbc，acbc.pa、pb与平面abc所成角分别为30和45。(1)直线pc与ab能否垂直?证明你的结论；(2)若点p到平面abc的距离为h，求点p到直线ab的距离.解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力.解 (1)ab与

8、pc不能垂直，证明如下：假设pcab，作ph平面abc于h，则hc是pc在平面abc的射影，hcab，pa、pb在平面abc的射影分别为hb、ha，pbbc，papc.bhbc，ahacacbc，平行四边形acbh为矩形.hcab，acbh为正方形.hbhaph平面acbh.phbpha.pbhpah，且pb，pa与平面abc所成角分别为pbh，pah.由已知pbh45，pah30，与pbhpah矛盾.pc不垂直于ab.(2)由已知有phh,pbh45bhphh.pah30，hah.矩形acbh中，ab2h.作heab于e，heh.ph平面acbh，heab，由三垂线定理有peab，pe是点p

9、到ab的距离.在rtphe中，peh.即点p到ab距离为h.评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法.310. 平面内有一个半圆，直径为ab，过a作sa平面，在半圆上任取一点m，连sm、sb，且n、h分别是a在sm、sb上的射影.(1)求证：nhsb.(2)这个图形中有多少个线面垂直关系?(3)这个图形中有多少个直角三角形?(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?解析：此题主要考查直线与直线，直线与平面的垂直关系及论证，空间想象力.解 (1

10、)连am，bm.ab为已知圆的直径，如图所示.ambm，sa平面，mb，samb.amsaa，bm平面sam.an平面sam，bman.ansm于n，bmsmm，an平面smb.ahsb于h，且nh是ah在平面smb的射影nhsb.(2)由(1)知，sa平面amb，bm平面sam.an平面smb.sbah且sbhn.sb平面anh.图中共有4个线面垂直关系(3)sa平面amb，sab、sam均为直角三角形.bm平面sam，bma，bms均为直角三角形.an平面smb.ans、anm、anh均为直角三角形.sb平面ahn. sha、bha、shn均为直角三角形综上所述，图中共有10个直角三角形.

11、(4)由sa平面amb知：saam，saab，sabm；由bm平面sam知：bmam，bmsm，bman；由an平面smb知：ansm，ansb，annh；sb平面ahn知：sbah，sbhn；综上所述，图中有11对互相垂直的直线.311. 如图，在棱长为a的正方体ac1中，m是cc1的中点，点e在ad上，且aead，f在ab上，且afab，求点b到平面mef的距离.解法一：设ac与bd交于o点，ef与ac交于r点，由于efbd所以将b点到面mef的距离转化为o点到面mef的距离，面mrc面mef，而mr是交线，所以作ohmr，即oh面mef，oh即为所求.ohmrormc，oh.解法二：考察

12、三棱锥bmef，由vb-mefvm-bef可得h.点评 求点面的距离一般有三种方法：利用垂直面；转化为线面距离再用垂直面；当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.312. 正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，求a1c1和平面ab1c间的距离.解法1 如图所示，a1c1平面ab1c，又平面bb1dd1平面ab1c.故若过o1作o1eob1于e，则oe1平面ab1c，o1e为所求的距离由o1eob1o1b1oo1，可得：o1e解法2：转化为求c1到平面ab1c的距离，也就是求三棱锥c1ab1c的高h.由 vv，可得ha.解法3 因平面ab1c平面c1da1，它们间的距离即为所求，连bd

13、1，分别交b1o、do1与f、g(图中未画出)。易证bd1垂直于上述两个平面，故fg长即为所求，易求得fg.点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.313.已知：cd，ea，eb，求证：cdab.314.求证：两条平行线和同一条平面所成的角相等.已知：ab，aa1,bb1，1、2分别是a、b与所成的角.如图，求证：12.证：在a、b上分别取点a、b.如图，且aa1bb1，连结ab和a1b1.aa1bb1四边形aa1b1b是平行四边形.aba1b1又a1b1 ab.

14、 设aa2于a2，bb2于b2，则aa2bb2在rtaa1a2与中 aa2bb2，aa1bb1rtaa1a2rtbb1b2aa1a2bb1b2即 12.315.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.已知：abc,p,pbapbc,pq，q，如图.求证：qbaqbc证：prab于r，psbc于s.则：prbpsb90.pbpb.pbrpbsrtprbrtpsbprps点q是点p在平面上的射影.qrqs又qrab，qsbcabqcbq316. 如图，e、f分别是正方体的面add1a1，面bcc1b1的中心，则四边形

15、bfd1e在该正方体的面上的射影可能是 (要求：把可能的图的序号都填上)解 四边形bfd1e在正方体的一对平行面上的投影图形相同，在上、下底面上，e、f的射影在棱的中点，四边形的投影图形为，在左右侧面上，e、f的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为，在前后侧面上四边形投影图形也为.故应填.317. 如图，a1b1c1abc是直三棱柱，bca90，点d1，f1分别是a1b1，a1c1的中点，若bccacc1，则bd1与af1所成角的余弦值是( )a.b.c. d.解 连d1f1，则d1f1a1c1，又bcca，所以bd1在平面acc1a1内的射影为cf1，设ac2a，则bccc12a.取bc的中

16、点e，连ef1，则efbd1.cos1cosef1c，cos2cosaf1c， coscos1cos2，应选a.318. (1)如果三棱锥sabc的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点s在底面的射影o在abc内，那么o是abc的( )a.垂心 b.重心 c.外心 d.内心(2)设p是abc所在平面外一点，若pa，pb，pc与平面所成的角都相等，那么p在平面内的射影是abc的( )a.内心 b.外心 c.垂心 d.重心解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明o到abc的三边的距离相等，因而o是abc的内心，因此选d.(2)如图所示，作po平面于o，连oa、ob、oc，那么pao

17、、pbo、pco分别是pa、pb、pc与平面所成的角，且已知它们都相等.rtpaortpbortpco.oaoboc应选b.说明 三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握.319. 已知abcd是边长为4的正方形，e、f分别是ab、ad的中点，gc平面abcd，且gc2，求点b到平面efg的距离.解析：注意到直线bd平面efg，根据直线和平面的距离在bo中点o的距离等于b到平面efg的距离.解 连结ac、bd，设交于o，e，f分别是ab、ad的中点.efbdbd平面efg，设efacm.则m为oa的中点.又ab4 ac4，moac,mcac3gc平面abcdgcca，gc

18、ef又efac，gcacc.ef平面gcm.过o作ohgm于h，则ohef.又ohgm故oh平面efg.在rtgcm中，gm.又ohgm.singmcsinhmoohb点到平面gef的距离为说明 本题解法甚多，学习两面垂直及简单几何体后，可用两面垂直的性质求解或者用“等体积法”求解.320. 已知两条异面直线a,b所成的角为，它们的公垂线段aa1的长度为d，在直线a、b上分别取点e、f，设a1em，afn.求证：ef解 过a作aa.aa1a, a1aaaa1b,abaa1a垂直a、b所确定的平面.aa a、a能确定平面，在内作eha1a，交a于h.aa，a1ame为平行四边形.a1aehd,a

19、ha1ema1a eh.fh， ehfh.在rtfhe中，efaa a与b的夹角为.即haf，此时ahm,afn.由余弦定理得 fh2m2+n2-2mncosef当f(或e)在a(或a1)的另一侧时，同理可得ef综上所述，ef321. 如图，abcd和abef均为平行四边形，m为对角线ac上的一点，n为对角线fb上的一点，且有amfnacbf，求证：mn平面cbe.解析：欲证mn平面cbe，当然还是需要证明mn平行于平面cbe内的一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系的变通，才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化.证：连an并延长交be的延长线于

20、p. beaf， bnpfna. ，则.即 .又 ， . mncp，cp平面cbe. mn平面cbe.322. 一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行.已知：a,l,l.求证：la.解析：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判定和性质.证明：过l作平面交于b.l，由性质定理知lb.过l作平面交于c.l，由性质定理知lc. bc，显然c. b. 又 b，=a， ba. 又 lb. la.评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用.323. 如图，在正四棱锥sabcd中，p在sc上，q在sb上，r在sd上，且sppc12，s

21、qsb23，srrd21.求证：sa平面pqr.解析：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面pqr内找一条直线与as平行即可.证：连ac、bd，设交于o，连so，连rq交so于m，取sc中点n，连on，那么onsa.rqbd而 pmonsaon.sapm,pm平面pqr sa平面pqr.评析：利用平几中的平行线截比例线段定理.三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.324. 证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上.证明 如图，设直线a平面，点a,a直线b,ba，欲证b.事实上，ba，可确定平面，与有公共点a，b交于过a的直线c，a,ac，从而在上

22、有三条直线，其中b、c均过点a且都与a平行.于是b、c重合，即b.325. s是空间四边形abcd的对角线bd上任意一点，e、f分别在ad、cd上，且aeadcfcd，be与as相交于r，bf与sc相交于q.求证：efrq.证 在adc中，因aeadcfcd，故efac，而ac平面acs，故ef平面acs.而rq平面acs平面rqef，故efrq(线面平行性质定理).326. 已知正方体abcdabcd中，面对角线ab、bc上分别有两点e、f且becf求证：ef平面ac.解析： 如图，欲证ef平面ac，可证与平面ac内的一条直线平行，也可以证明ef所在平面与平面ac平行.证法1 过e、f分别做

23、ab、bc的垂线em、fn交ab、bc于m、n，连接mnbb平面ac bbab，bbbcemab，fnbcemfn，abbc，becfaebf又babcbc45rtamertbnfemfn四边形mnfe是平行四边形efmn又mn平面acef平面ac证法2 过e作egab交bb于g，连gfbecf，bacb fgbcbc又egfgg,abbcb平面efg平面ac又ef平面efgef平面ac327. 如图，四边形efgh为四面体abcd的一个截面，若截面为平行四边形，求证：(1)ab平面efgh；(2)cd平面efgh证明：(1)efgh为平行四边形，efhg，hg平面abd，ef平面abd.ef

24、平面abc，平面abd平面abcab.efab，ab平面efgh.(2)同理可证：cdeh，cd平面efgh.评析：由线线平行线面平行线线平行.328.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交.已知：ab,aa，求证：b和相交.证明：假设b或b.若b，ba，a.这与aa矛盾，b不成立.若b，设过a、b的平面与交于c.b,bc,又ab aca这与aa矛盾.b不成立.b与相交.329.求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.已知：ab,a，b，c.求证：cab330. 在下列命题中，真命题是( )a.若直线m、n都平行平面，则

25、mn;b.设l是直二面角，若直线ml，则mn，m；c.若直线m、n在平面内的射影是一个点和一条直线，且mn，则n在内或n与平行；d.设m、n是异面直线，若m和平面平行，则n与相交.解析：对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故a不正确；平面与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面内且垂直于交线，而b中m不一定在内，故不正确；对d来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确；应选c.331. 设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是( )a.有且仅有一条直线与a、b都垂直b.有一平面与a、b都垂直c.过直线a有且仅有一平面与b平行d.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交

26、解析： 因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以a不对；若有平面与a、b都垂直，则ab不可能，所以b不对.若空间的一点与直线a(或b)确定的平面与另一条直线b(或a)平行，则过点与a相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以d不对，故选c.332. 三个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点；若有两条平行，则第三条必与之平行.已知：a,b, c.求证：要么a、b、c三线共点，要么abc. 证明：如图一，设aba，a.a而aa.a.又bb,而ab.a.则a，a，那么a在、的交线c上.从而a、b、c三线共点.如图二，若ab，显然c，b a而 a, c.

27、ac从而 abc333. 一根长为a的木梁，它的两端悬挂在两条互相平行的，长度都为b的绳索下，木梁处于水平位置，如果把木梁绕通过它的中点的铅垂轴转动一个角度，那么木梁升高多少?解析： 设m、n为悬挂点，ab为木梁的初始位置，那么aba，manb，manbb,ab90.设s为中点，l为过s的铅垂轴，那么l平面manb，木梁绕l转动角度后位于cd位置，t为cd中点，那么木梁上升的高度为异面直线ab与cd之间的距离st.在平面manb中，作tkab，交ma于k，则akst.设stx，则xb-km.又ktct，ktc，有kcasin.从而km.xb-.334. (1)棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的

28、条件是：( )a.棱柱有一条侧棱与底面垂直b.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直c.棱柱有两个相邻的侧面互相垂直d.棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直解析： 根据直棱柱定义，a是充分条件，c、d不是必要条件，所以选b.说明 解答此题要熟知直棱柱的定义及其充分必要条件的含义.335. 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为、.求证：cos2+cos2+cos21解析：证明三角恒等式，可用从左边推出右边的方法.证明：设对角线b1d与长方体的棱ad、dc、d1d所成的角分别为、，连结ab1、cb1，d1b1，则b1da、b1dc、b1dd1都是直角三角形.cos,cos,coscos2+c

29、os2+cos21.评析：这里运用了长方体对角线长定理.336. 在三棱柱abca1b1c1中，已知abac10cm,bc12cm，顶点a1与a、b、c的距离等于13cm，求这棱柱的全面积.解析：如图，作a1o平面abc于o，a1aa1ba1c，oaoboc，o是abc的外心，abc等腰，aobc于d，aa1bc，b1bbc，四边形b1bcc1为矩形，s1213156(cm2),a1ab底边上高a1e12，120(cm2),sabc12848(cm2),s全156+2120+248492(cm2)337. 在平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别是a,b,c，这三条棱长分别是a,b,c，这三条棱

30、中每两条成60角，求平行六面体积.解析：如图，设过a点的三条棱ab，ad，aa1的长分别是a,b,c,且两面所成角是60，过a1作a1h平面abcd，h为垂足，连ha，则hab30，由课本题得：cosa1abcosa1ahcoshab,cosa1ah,sina1ahvsabcda1habsin60csina1ahabc.338. 在棱长为a的正三棱柱abca1b1c1中，o、o1分别为两底中心，p为oo1的中点，过p、b1、c1作一平面与此三棱柱相截，求此截面面积. 解析： 如图，aa1面a1b1c1，aa1oo1，设过p、b1、c1的截面与aa1的延长线交于q，连结a1o1延长交b1c1于d

31、，连qd，则p必在qd上，o1为a1b1c1的中心，p为oo1的中点，故，q在a1a延长线上且qapo1，又qb1交ab于e，qc1交ac于f，则efb1c1，所以截面为efb1c1是等腰梯形，又qa1qa31，ef 设qd与ef交于h，得qdb1c1.因此hd为梯形efc1b1的高.dqa,hda.(a+)(a)a2为所求截面积.339. 如图，已知正三棱柱abca1b1c1的各棱长都为a，d为cc1的中点.(1)求证：a1b平面ab1d.(2)求平面a1bd与平面abc所成二面角的度数.解析：这虽是一个棱柱，但所要论证的线面关系以及二面角的度数，都还是要利用直线和平面中的有关知识.解 (1

32、)正三棱柱的各棱长都相等，侧面abb1a1是正方形.a1bab1.连de，bcda1c1d，bda1d，而e为a1b的中点，a1bde.a1b平面ab1d.(2)延长a1d与ac的延长线交于s，连bs，则bs为平面a1bd和平面abc所成二面角的公共棱.dca1a，且d为cc1的中点，accs.又abbccacs，abs90.又ab是a1b在底面上的射影，由三垂线定理得a1bbs.a1ba就是二面角a1bsa的平面角.a1ba45，平面a1bd和平面abc所成的二面角为45.评注：本题(2)的关键是根据公理二求平面a1bd和平面abc的交线，在论证abbs时，用到了直角三角形斜边上的中线性质定

33、理的逆定理.当然(2)还可以用s射scos来解.340. 如图，已知正三棱柱a1b1c1abc的底面积等于cm2，d、e分别是侧棱b1b，c1c上的点，且有ecbc2db，试求(1)四棱锥abcde的底面bced的面积(2)四棱锥abced的体积(3)截面ade与底面abc所成二面角的大小(4)截面ade的面积解析： 利用三棱柱的性质及已知条件，(1)、(2)、(4)不难推算，至于(3)，可设平面ade与平面abc所成二面角为，观察到ade在底面abc的射影是abc(db平面abc，ec平面abc)应用sabcsadecos，可求出.解：设abc边长为x，sabcx2.x2，于是ecbc2，d

34、bbc1，sbced (2+1)23，作afbc于faf平面bced，va-bcedafsbced，va-bced23在rtabd中，ad2ab2+db222+125；在rt梯形bced中，de2(ce-db)2+bc25adde，ade是等腰三角形，作dqae于q，则q为ae的中点在rtace中，ae2ec2+ac28，dq2ad2-aq2()2-()23ae，dq，sadeaedq设截面ade与底面abc所成二面角大小为，d、e分别在底面的射影为b、c，abc的面积ade面积cos即cos,cos,45答 (1)sbced3cm2,(2)va-bcedcm2,(3)截面ade与底面abc成

35、45的二面角，(4)sadecm2341. 在三棱柱abca1b1c1中，aba,bacaaa1a,a1在底面abc上的射影o在ac上。(1)求ab与侧面ac1所成的角(2)若o恰是ac的中点，求此三棱柱的侧面积解析： (1)a1o面abc，bc面abc，bca1o，又bccaa，aba,abc是等腰直角三角形，bcac，bc面ac1，故bac为ba与面ac1所成的角，则有bac 45，即ab与侧面成45角。(2)若o恰为ac中点，aa1a,aca,ao,a1oa,a2，作odab于d，连结a1d，由三垂线定理得a1dab，在rtaod中，odoasinbaca2，在rta1od中，a1d,a

36、aa2，(2+)a2342. 已知异面直线a、b成角，过空间一点p，与a、b也都成角的直线，可以作（）a1条b2条c3条d4条解析：c343. 已知a -l-b 是直二面角，直线aa ，直线bb ，且a、b与l都不垂直，那么（）aa与b可能平行，也可能垂直ba与b可能平行，但不可能垂直ca 与b不可能平行，但可能垂直da 与b不可能平行，也不可能垂直解析：b当，时，ab，即a、b可能平行，假设ab，在a上取一点p，作pql交l于q，二面角a -l-b 是直二面角，pqb ，pqbb垂直于a 内两条相交直线a和pq，ba ，bl这与已知b与l不垂直矛盾b与a不垂直344. 直线l、m与平面a 、

37、b 满足l平面a ，mb ，以上四个命题：a b l m；a b lm；lma b ；lma b 其中正确的两个命题是（）a与b与c与d与解析：d345. 如图9-45，二面角a -l-b 的平向角为120，al，bl，aca ，bdb ，acl，bdl若ab=ac=bd=1，则cd长为（）a b c2 d解析：b在平面b 内作aebd，deba，得交点e则cae为二面角a -l-b 的平面角，故cae=120，于是在rtced中可求cd长346. sa、sb、sc是从s点出发的三条射线，若，则二面角b-sa-c的大小为（）a b c d解析：c在sa上任取一点e，作efsa交sc于f，作eg

38、sa交sb于g，连结fg，则gef为二面角b-sa-c的平面角347. 线段ab长为2a，两端点a、b分别在一个直二面角的两个面上，ab和两个面所成的角为45和30，那么a、b在棱上的射影间的距离为（）a2a ba c d解析：b如图答9-39，设直二面角为a -l-b ，作acl于c，bdl于d，则acb ，bda ，连结ad、bc，abc为ab与b 所成的角，bad为ab与a 所成的角，abc=30，bad=45，ab=2a，ac=a，在rtacd中，cd=a图答9-39348. 正方体中，二面角的大小的余弦值为（）a0 b cd解析：b取bd中点o，连结、，则，为二面角的平面角，设为q

39、，设正方体棱长为a，则，349. 立体图形a-bcd中，ab=bc=cd=db=ac=ad，相邻两个面所成的二面角的平面角为q ，则（）ab c d解析：a任取一个二面角，如a-bc-d，取bc中点e，可证aebc，debc，aed是二面角a-bc-d的平面角，设ab=1，则 350. 如图9-46，二面角a -ab-b 的棱ab上有一点c，线段cda ，cd=100，bcd=30，点d到平面b 的距离为，则二面角a -ab-b 的度数是_解析：60作dhb 于h，deab于e，连结eh，则eh是de在平面b 内的射影由三垂线定理的逆定理，heab，deh为二面角a -ab-b 的平面角在rt

40、dce中，cd=100，bcd=30，de=cdsin30=50，在rtdeh中，deh=60，即二面角a -ab-b 等于60351. （1）已知直线a平面a ，a平面b 求证：b a （2）已知三个平面a 、b 、g ，a b ，a g 求证：b g 解析：（1）如图答9-41，aa ，在a 上任取一点，过a与a确定平面g ，设，则ab ， a ，a b （2）在g 上任取p，设，在g 内作，a g ，pqa a b ，pqb ，pqg ，b g 352. 在正方体中，求二面角的大小解析：如图9-43，在平面内作，交于e连结，设正方体棱长为a，在和中，为二面角的平面角在rt中，,在中，35

41、3. 如图9-50，点a在锐二面角a -mn-b 的棱mn上，在面a 内引射线ap，使ap与mn所成的pam为45，与面b 所成的角为30，求二面角a -mn-b 的大小解析：如图答9-44，取ap上一点b，作bhb 于h，连结ah，则bah为射线ap与平面b 所成的角，bah=30，再作bqmn，交mn于q，连结hq，则hq为bq在平面b 内的射影由三垂线定理的逆定理，hqmn，bqh为二面角a -mn-b 的平面角图答9-44设bq=a，在rtbaq中，bqa=90，bam=45，在rtbah中bha=90，bah=30，在rtbhq中，bhq=90，bq=a，bqh是锐角，bqh=45即

42、二面角a -mn-b 等于45354. 已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题：(1)lm (2)lm(3)lm (4)lm其中正确的两个命题是( )a.(1)与(2) b.(3)与(4) c.(2)与(4) d.(1)与(3)分析：本题主要考查直线与平面、平面和平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力.解法一：在l，m的前提下，当时，有l，从而l，从而lm，得(1)正确；当时，l垂直于、的交线，而m不一定与该交线垂直，因此，l与m不一定平行，故(2)不正确.故应排除a、c.依题意，有两个命题正确，不可能(3)，(4)都正确，否则连同(1)共有3个命题正确.故排除b，得d.解法二：当

43、断定(1)正确之后，根据4个选择项的安排，可转而检查(3)，由lm,l知m，从而由m得.即(3)正确.故选d.解法三：不从(1)检查起，而从(2)、(3)、(4)中任一命题检查起，如首先检查(4)；由l,m不能否定m是、的交线，因此不一定成立，故(4)是不正确的，因此可排除b、c.依据a和d的内容可知(1)必定是正确的，否则a和d也都排除，以下只要对(2)或(3)检查，只须检查一个便可以做出判断.355. 一张正方形的纸abcd，bd是对角线，过ab、cd的中点e、f的线段交bd于o，以ef为棱，将正方形的纸折成直二面角，则bod等于( )a.120 b.150 c.135 d.90解析：本题

44、考查线面垂直，面面垂直，余弦定理，以及空间与平面问题的转化能力。如图，设正方形边长为a，由o为正方形中心，则boa,doa，连ab，因为daae，dabe，故da面aeb，所以daab，故dab为直角三角形，bd=a.又在bod中，由余弦定理可得 cosbod-，所以bod120评析：本题为折叠问题，此类问题应该分清折叠前后的哪些量发生了变化，此外，还要注意找出空间转化为平面的途径，几何计算的准确性等。356. 已知平面平面，b，d，abcd，且ab2，直线ab与平面所成的角为30，则线段cd的长为取值范围是( )a.1，+ b.(1，) c.( ，) d.，+)解析：本题考查直线与直线所成的

45、角，直线与平面所成的角的概念。线面垂直的判定和性质，以及空间想象能力和几何计算.解 如图所示，过d作daab交平面于a.由，故daab2，da与成30角，由已知dcab，可得dcda，所以dc在过dc且与da垂直的平面内，令l，在内，dcl时为最短，此时dcdatan30.故cd.应选d.357. 如图，四棱锥pabcd的底面是直角梯形，abdc，abbc，且abcd，侧棱pb底面abcd，pc5，bc3，pab的面积等于6，若平面dpa与平面cpb所成的二面角为，求.解析：平面dpa与平面cpb有一公共点p，要画出它们构成的二面角的平面角必须确定它们公共交线，da和cb的延长线的交点e是它们

46、的另一公共点.由公理二，pe就是二面角的公共棱.有了公共棱，二面角的平面角就生了根.解 延长da交cb的延长线于e，连pe，则pe就是平面dpa和平面cpb的交线.abdc，abbc，dcbc，pb底面abcd.pbdc，dc平面pce.作cfpe于f，连df由三垂线定理得pedf，dfc.abcd，pc5，bc3，pb4.spab6，ab3，cd6，.eb3，pe5.pbeccfpe，cf.在直角dcf中，tan. antan.评析：这是一道较难的题，难就难在怎么确定两相交平面的交线.由公理二交线的唯一性必须找出另一个公共点，因此本题延长da、cb相交于e，确定这个e点就成了关键.358.

47、如图，已知三条射线sa，sb，sc所成的角ascbsc30，asb45，求平面asc与平面bsc所成二面角的大小.解析：在sc上任取一点d，过d作平面def垂直于sc，分别交平面sac、sbc、sab于de、df、ef，则edf是二面角ascb的平面角，令sd.asc30，在rtsed中，de1，se2.同理df1，sf2.在sef中，依余弦定理ef28-4.在def中，cosedf2-3,又-12-30.二面角ascb的平面角edfarccos(2-3)-arccos(3-2)说明 本例给出了一个构造二面角的平面角的方法，过棱上一点作棱的垂面，这样在计算时同时取特殊值可以使问题简单化.359

48、. 如图，二面角dc是度的二面角，a为上一定点，且adc面积为s，dca，过点a作直线ab，使abdc且与半平面成30的角，求变化时，dbc面积的最大值.解析：在内作aedc于e，则ae为adc的高，则有aedc，ae.由于dcae，dcab，则有dcaeb所在的平面，所以dcbe，则aeb是二面角dc的平面角，即aeb.又由于dcaeb所在平面，且dc在上，所以平面aeb所在平面.令afbe于f，则有af平面，于是，fb是ab在平面上的射影，所以abe是ab与所成的角.abe30，在aeb中，有，ebsin(+30).据题意，有(0，180)，当60时，有ebmax，这时(sdbc)maxa2s.说明 本例对直线与直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角，点到直线的距离，点到平面的距离等概念以及三垂线定理和逆定理的考察是很深刻的，综合了直线与平面这一章的一些主要