高中数学第一章三角函数1.4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式评析诱导公式的解题功能素材北师大版必修4

1、分类解析诱导公式的解题功能诱导公式是三角变换中重要公式，共有九组，角可统一表示为同时简记为“奇变偶不变,符号看象限”，即当k为奇(或偶)数时,角的三角函数值等于角的余(或同)名三角函数值，前面加上一个把角看成锐角时,角的三角函数值的符号。 利用诱导公式求任意角的三角函数值时，往往结合三角函数的性质灵活运用，下面举例说明.1已知角求三角函数值例1 求值：sinsin()cossin()分析： 可以把各角都化为锐角三角函数来求。解：sinsin()cossin（） = sin（)sin(4）cos（)sin()=sin(）sincos()sin（2)=sin0cossin（)= cossin=评析

2、：对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数，若化了以后的正角大于,再利用诱导公式一，化为间的角的三角函数，若这时的角是间的角，再利用或的诱导公式化为间的角的三角函数给角求值，要分析“特殊角”和“待求角”之间的联系，设法用“特殊角通过诱导公式表示“待求角”练习:求下列三角函数值：（1) sin2010 （2) cos(1230）（3） cos（)（4） sin2 （42）2tan（45）tan（45）cos2(138)解:(1）先利用诱导公式一，再用公式二得sin2010=sin(5360210）=sin210=sin（18030）= sin30=;(2） 解法一： cos

3、（1230）cos（4360210）=cos(18030)=cos30=；解法二：cos（1230）cos（1230）=cos(3360150)=cos150=；（3) 解法一：cos（） cos（14）cos；解法二:cos（） coscos（12）cos（2）cos；（4） 138180(42), cos2（138)cos2（42）.又 4590（45)， sin（45）cos（45），cos（45）sin（45).cot(45）原式sin2（42）cos2（138）2tan(45）tan（45)121。 点评： 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角三角函数，一般步骤是：负角正角0360

4、的角090的角但有时也可以变通如（2）、（3)中的另解有一类特殊的互补、互余的角,如（4）中的42与138，45与45，应引起我们注意2给式求值例2 已知= （nz)，求解:当n = 2k （kz）时，=sinx 故= sin= sin（)=sin=当n = 2k1 (kz）时，=sinx 故=sin=sin（)=sin=评析：这类问题求解一般应从变形化简开始，当三角函数的角中含有(nz）时,不能直接应用诱导公式变形与化简，需对n分奇偶整数(或设n = 2k和n = 2k1 (kz)进行讨论练习：设函数,其中为非零实数,已知求的值.解: ,又=5=5，=1，又=-1+4=3.3给值求值例3 (

5、1）若sin（3+），且|tan（3）=tan,求cos（3)的值； (2）已知cos(+）+10，求sin（2+）+sin的值. 分析: 第（1）问应先将已知条件化简，实际上是已知角的正弦值，求其余弦值;第（2）问应注意到可求出,只要抓住等式中的角2、与间关系，联想诱导公式便可求解 解：（1）由sin（3+）-sin得sin0。又由tan（3)=tan|=tan得tan0。故为第二象限的角,于是cos（3)=-cos= =.（2)由cos（+）+10得+2k+（kz），从而2+24k+2。于是sin（2+)+sin=sin（2+2)-+sinsin（4k+2-)+sin-sin+sin0.评

6、析:本题的（2)并未给出使用诱导公式的明显条件，要善于抓住题目特点展开联想.练习: 已知cos（) =，其中为第三象限的角，求cos（)sin()的值解：cos（） = cos（） =cos(） =，sin（） =sin(） =sin() =sin（)cos（) =0，为第三象限的角，为第四象限的角，则有sin() =，所以cos（）sin（) =评析：整个过程既需要诱导公式又需要用到同角三角函数关系式解题关键是寻求与之间的关系解答问题的实质就是由未知向已知的转化过程,在这个转化过程中一定要抓住关键和要害用诱导公式求值顺序是：任意角的三角函数任意正角的三角函数0到范围内的角的三角函数锐角的三角

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