高考真题解析分类汇编（理科数学）3：三角函数 Word版含解析

1、2013高考试题解析分类汇编（理数）3：三角函数一、选择题 （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯word版）已知,则a. b. c. d.【答案】c 因为，又sin2+cos2=1，联立解得，或故tan=，或tan=3，代入可得tan2=，或tan2= 故选c （2013年高考陕西卷（理）设abc的内角a, b, c所对的边分别为a, b, c, 若, 则abc的形状为(a) 锐角三角形(b) 直角三角形(c) 钝角三角形(d) 不确定【答案】b因为，所以又。联立两式得。所以。选b （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）在abc中, 则 = (a

2、) (b) (c) (d) 【答案】c （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为(a) (b) (c)0 (d) 【答案】b将函数y=sin（2x +）的图像沿x轴向左平移 个单位，得到函数，因为此时函数为偶函数，所以，即，所以选b. （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（word版）在,内角所对的边长分别为且,则a. b. c. d. 【答案】a根据正弦定理得，,即，所以，即，因为，所以。选a. （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）word版含答案（已校对）已知

3、函数,下列结论中错误的是(a)的图像关于中心对称 (b)的图像关于直线对称(c)的最大值为 (d)既奇函数,又是周期函数【答案】c 对于a选项，因为f（2x）+f（x）=cos（2x）sin2（2x）+cosxsin2x=cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的图象关于（，0）中心对称，a正确；对于b选项，因为f（x）=cos（x）sin2（x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x=不对称，故b正确；对于c选项，f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1sin2x）=2sinx2sin3x，令t=sinx1，1，则y=2t2t3

4、，t1，1，则y=26t2，令y0解得，故y=2t2t3，在上增，在与上减，又y（1）=0，y（）=，故函数的最大值为，故c错误；对于d选项，因为f（x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2）=cos（2+x）sin2（2+x）=cosxsin2x，故2是函数的周期，所以函数即是奇函数，又是周期函数，故d正确。综上知，错误的结论只有c，故选c （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）函数的图象大致为【答案】d函数y=xcosx + sinx为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除b，c.当时，,排除a,选d. （2013年高

5、考四川卷（理）函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )(a) (b) (c) (d)【答案】a 因为在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，所以函数的周期t满足=，由此可得t=，解得=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+）又因为当x=时取得最大值2，所以2sin（2+）=2，可得+=+2k（kz）因为，所以取k=0，得=。选：a（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ( )a. b. c. d.【答案】c【命题立意】本题考查两角和差的正弦公式以及倍角公式。，选c.（2013年高考湖南卷（理）在锐角中,角所对的边长分别为.若a. b. c. d

6、. 【答案】d本题考查正弦定理的应用。由正弦定理得得,即，以为三角形为锐角，所以,选d.（2013年高考湖北卷（理）将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是( ) a. b. c. d. 【答案】b本题考查三角函数的图象与平移以及三角函数的图象与性质。y=cosx+sinx,将函数的图像向左平移m（m0）个单位长度后，得到，此时关于y轴对称，则，所以，所以当时，m的最小值是，选b.二、填空题（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯word版）中,是的中点,若,则_.【答案】 设bc=2a，ac=b，则am=，ab=，sinabm= sinabc=

7、，在abm中，由正弦定理=，即=，解得2a2=b2，于是sinbac= （2013年高考新课标1（理）设当时,函数取得最大值,则_【答案】. f（x）=sinx2cosx=（sinxcosx）=sin（x）（其中cos=，sin=），因为x=时，函数f（x）取得最大值，所以sin（）=1，即sin2cos=，又sin2+cos2=1，联立解得cos=（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯word版）如图中,已知点d在bc边上,adac,则的长为_ 【答案】 根据余弦定理可得（2013年高考四川卷（理）设,则的值是_.【答案】 因为sin2=2sincos=sin，（，），所

8、以cos=，sin=，所以tan=，则tan2=（2013年高考上海卷（理）若,则【答案】. 【解答】，故（2013年高考上海卷（理）已知abc的内角a、b、c所对应边分别为a、b、c,若,则角c的大小是_(结果用反三角函数值表示)【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）word版含答案（已校对）已知是第三象限角,则_.【答案】 由是第三象限的角，得到cos0，又sin=，所以cos=则cot=2（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word版含附加题）函数的最小正周期为_.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯

9、word版）设的内角所对边的长分别为.若,则则角_.【答案】 所以（2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯word版含答案）设为第二象限角,若,则_.【答案】 因为tan（+）=，所以tan=，因为为第二象限角，所以cos=，sin=，则sin+cos=（2013年高考江西卷（理）函数的最小正周期为为_.【答案】本题考查三角函数的化简，以及三角函数的图象和性质。，所以周期.三、解答题（2013年高考北京卷（理）在abc中,a=3,b=2,b=2a.(i)求cosa的值; (ii)求c的值.解:(i)因为a=3,b=2,b=2a. 所以在abc中,由正弦定理得.所以.故. (i

10、i)由(i)知,所以.又因为b=2a,所以.所以. 在abc中,. 所以. （2013年高考陕西卷（理）已知向量, 设函数. () 求f (x)的最小正周期. () 求f (x) 在上的最大值和最小值. 解:() =. 最小正周期. 所以最小正周期为. () . . 所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为. （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）在中,内角的对边分别是,且.(1)求; (2)设,求的值. 由题意得 （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）已知函数. () 求f(x)的最小正周期; () 求f(x)在区间上的最大值和最小值.

11、 （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（word版）设向量(i)若 (ii)设函数 （2013年高考上海卷（理）(6分+8分)已知函数,其中常数;(1)若在上单调递增,求的取值范围;(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.(1)因为,根据题意有 (2) , 或, 即的零点相离间隔依次为和, 故若在上至少含有30个零点,则的最小值为. （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）word版含答案（已校对）设的内角的对边分别为,.(i)求(ii)若,求. （201

12、3年高考四川卷（理）在中,角的对边分别为,且.()求的值;()若,求向量在方向上的投影.解:由,得 , 即, 则,即 由,得, 由正弦定理,有,所以,. 由题知,则,故. 根据余弦定理,有, 解得或(舍去). 故向量在方向上的投影为 （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）设的内角所对的边分别为,且,.()求的值; ()求的值.解:()由余弦定理,得, 又,所以,解得,. ()在中, 由正弦定理得 , 因为,所以为锐角,所以 因此 . （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯word版）已知函数的最小正周期为.()求的值; ()讨论在区间上的单调性.解

13、: () .所以 () 所以 （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯word版）已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.(1)求函数与的解析式;(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.解:()由函数的周期为,得 又曲线的一个对称中心为, 故,得,所以 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数 ()当时, 所以

14、 问题转化为方程在内是否有解 设, 则 因为,所以,在内单调递增 又, 且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点, 即存在唯一的满足题意 ()依题意,令 当,即时,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程, 现研究时方程解的情况 令, 则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况 ,令,得或 当变化时,和变化情况如下表当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点 由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交

15、点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,所以 综上,当,时,函数在内恰有个零点 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word版含附加题）本小题满分14分.已知,.(1)若,求证:;(2)设,若,求的值.解:(1) 即, 又, (2) 即 两边分别平方再相加得: （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯word版）已知函数,.() 求的值; () 若,求.【答案】(); () 因为,所以, 所以, 所以. （2013年高考湖南卷（理）已知函数.(i)若是第一象限角,且.求的值;(ii)求使成立的

16、x的取值集合.解: (i). (ii) （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word版含附加题）本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,.(1)求索道的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?cba解:(1), , 根据得

17、 (2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则 即 时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理得(m) 乙从b出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达c 设乙的步行速度为v ,则 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内 法二:解:(1)如图作bdca于点d, 设bd=20k,则dc=25k,ad=48k, ab=52k,由ac=63k=1260m, 知:ab=52k=1040m. (2)设乙出发x分钟后到达点m, 此时甲到达n点,如图所示. 则:am=130x,an=50(x+2), 由余弦定理得:mn2=

18、am2+an2-2 amancosa=7400 x2-14000 x+10000, 其中0x8,当x=(min)时,mn最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由(1)知:bc=500m,甲到c用时:=(min). 若甲等乙3分钟,则乙到c用时:+3= (min),在bc上用时: (min) . 此时乙的速度最小,且为:500=m/min. 若乙等甲3分钟,则乙到c用时:-3= (min),在bc上用时: (min) . 此时乙的速度最大,且为:500=m/min. 故乙步行的速度应控制在,范围内. cbadmn （2013年高考湖北卷（理）在中,角,对应的边分别是,.已知.(i)求角的大小;(ii)若的面积,求的值.解:(i)由已知条件得: ,解得,角 (ii),由余弦定理得:, （2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）