小卫星隔振减振系统的动力学设计（可编辑）

1、小卫星隔振减振系统的动力学设计 硕士学位论文小卫星隔振减振系统的动力学设计dynamic design of vibration isolation and attenuation system for small spacecrafts张业伟 哈尔滨工业大学 2009年6月 国内图书分类号:v414.3学校代码:10213 国际图书分类号:629.78 密级:公开工学硕士学位论文小卫星隔振减振系统的动力学设计硕士研究生:张业伟 导 师:方勃 教授 申请学位:工学硕士 学科:一般力学与力学基础 所 在 单 位:飞行器动力学与控制研究所 答 辩 日 期:2009 年 6 月 授予学位单位:哈尔滨

2、工业大学classified index: v414.3u.d.c: 629.78 dissertation for the master degree in engineering dynamic design of vibration isolation and attenuation system for small spacecraftscandidate: zhang ye wei supervisor: prof. fang bo academic degree applied for: master of engineering general and fundamental m

3、echanicsspeciality: spacecraft dynamics and control affiliation: institute date of defence: june, 2009 degree-conferring-institution: harbin institute of technology哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 摘要 卫星在发射过程中的振动环境比其在轨运行时更为恶劣,整星隔振和卫星局部减振可以使卫星的动力学环境得到改善。整星隔振技术能够隔离传递到卫星上的振动载荷,卫星的局部减振可以满足对于卫星上敏感部件的局部减振要求。本文研究了小卫星隔振减振系统的

4、动力学设计问题。本文首先讨论了卫星隔振减振的基本理论,对典型小卫星进行了整星隔振技术的理论研究,进行了隔振系统固有频率和模态阻尼比的影响因素分析,计算了整星隔振系统的振动传递率,完成了隔振系统的动力学设计和结构设计。 然后对隔振器进行了实模态分析和复模态分析,得出了隔振器的各个动力学参数的变化规律,进而设计出适用于小卫星的整星隔振器。通过进行整星隔振系统的动力学分析,得出了仅使用适配器与使用整星隔振系统的小卫星的模态对比,结果表明整星隔振系统的一阶纵向和一阶横向固有频率均有降低。以小卫星上的某些特殊点作为参考对象进行了整星隔振系统的频响分析,结果表明使用隔振器对整星振动的抑制明显,对卫星的纵向

5、振动和横向振动均具有理想的隔振性能。 昀后研究了小卫星的局部振动控制问题,采用 添加动力吸振器和约束阻尼层的方法降低小卫星的局部振动,仿真结果表明这两种针对小卫星的动力学减振方案设计合理,具有理想的减振效果,可以应用到卫星实际减振中。关键词 小卫星;整星隔振;局部减振;振动传递率;动力学设计 - i - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 abstract the vibration environment of the spacecraft during launching is much worse than that when during its orbital movement. the

6、 whole-spacecraft vibration isolation technology and the spacecraft local vibration attenuation can improve the dynamic environment of the spacecraft. the whole-spacecraft vibration isolation can isolate the vibration loads transferred to the satellite, while the local vibration attenuation can sati

7、sfy the demand of some sensitive elements of the satellite. the dynamic design problems of the whole-spacecraft vibration isolation and the spacecraft local vibration attenuation are studied in this dissertationthe fundamental theory of the spacecraft vibration isolation and attenuation is discussed

8、 first. the whole-spacecraft vibration isolation technology for small satellite is studied. the natural frequencies and the modal damping ratios of the isolation system are analyzed. the vibration transmissibility of the isolation system is calculated. the dynamic design and the structural design of

9、 the system are completedthe real modals and complex modals of the isolation system are analyzed and the dynamic parameters of the system are obtained. the whole-spacecraft vibration isolation for small satellite is designed. by comparing the dynamic modals of the satellite with and without the isol

10、ation system, we found that thefirst order longitudinal natural frequency and the first order transverse natural frequency are both decreased. based on some special points of the satellite, the frequency response analysis is conducted and the simulation results show that the isolation can restrain t

11、he vibration of the whole satellitethe method of this paper can isolate the vibration both in longitudinal and transverse directionsthe problem of the local vibration control for small satellite is studied at last. two strategies, adding dynamic vibration absorber or constrained damping layers, are

12、used to attenuate the local vibration. the simulation results indicate that the two designs are both good for the vibration attenuation, and they can be applied to the spacecraft vibration attenuation practically keywords small satellite; whole-spacecraft vibration isolation; local vibration attenua

13、tion; vibration transmissibility; dynamic design - ii - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 目录 摘要i abstract. ii第1章 绪论1 1.1 课题背景.1 1.2 国内外在该方向的研究现状.2 1.2.1 国内外整星隔振器研究状况.2 1.2.2 航天器局部减振研究现状.5 1.3 本文的主要内容.5 第2章 卫星隔振减振的振动理论基础.7 2.1 单自由度系统的传递函数与频响分析.7 2.2 多自由度系统的传递函数和频响函数分析10 2.2.1 比例阻尼系统.10 2.2.2 一般阻尼系统.12 2.3 本章小结.16 第3章

14、整星隔振器原理性设计.17 3.1 动力学方程建立.17 3.2 系统固有频率和模态阻尼比影响因素分析19 3.3 整星隔振器传递率分析.26 3.4 本章小结.28 第4章 隔振器参数设计与隔振性能分析.30 4.1 隔振器参数设计.30 4.1.1 隔振器实模态分析31 4.1.2 隔振器复模态分析34 4.2 隔振器隔振性能分析37 4.2.1 整星隔振系统的模态分析37 4.2.2 整星隔振系统的频响分析38 4.3 本章小结.44 第5章 卫星局部减振研究.45 5.1 添加动力吸振器.45 5.2 约束阻尼层的应用.47 - iii - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 5.2.1

15、约束阻尼层减振原理及建模研究48 5.2.2 局部减振算例分析50 5.3 本章小结.51 结论52 参考文献.53 攻读学位期间发表的学术论文.56 哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明.57 哈尔滨工业大学硕士学位论文使用授权书.57 致谢58 - iv - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 第1章 绪论 1.1 课题背景 人造卫星是昀令人惊异的产品之一,用来通信 ,天气预报等,和其他产品一样,人造卫星经历了设计、制造、测试、运输。然而,人造卫星的远距离运输和其他产品相比是一个非常复杂的过程,从 1957 年发射第一颗人造卫星开始,运载火箭的运载能力和可靠性得到巨大的提高,唯一没有进步的是

16、45 年来(2003 年)人造卫星所遭受的恶劣冲击环境一直没有得到改善,动力过载和冲击是卫星杀手,导致电子设备,光学仪器,其他敏感仪器设备,为了保障仪器,有效载荷必须保持很高的动力学标准,极大的增加了成本开销,一个很好的选择就是进行整星被动隔振。 隔振的目的就是隔离从星箭界面传到卫星的载荷,整星隔振( whole-spacecraft vibration isolation,简写为轴 wsvi)技术,即在不改变卫星原结构前提下,重新设计具有隔振效能的适配器,或者在运载火箭和卫星之间引入隔振装置,隔离从星箭界面传递给卫星的向或侧向振动,在火箭发射过程中为卫星提供良好的力学环境。 卫星在发射过程中

17、要经受复杂和严酷的力学环境,其诱因主要源于两条途经:一条是通过整流罩内的噪声环境直接作用在航天器表面;另一条则通过星箭对接面传递。 卫星所经受的振动环境主要是由噪声引起,它包括: 1 起飞时火箭发动机排气噪声和高速飞行时的气动噪声通过整流罩和结构传递到卫星的声振环境。2 由火箭发动机点火、关机、由火工装置或其它分离装置产生的爆炸冲击等产生的瞬态振动环境。此外还可能有由发动机推力脉动、旋转设备的不平衡转动1以及 pogo效应等产生的正弦振动环境,以及运输过程中的振动环境 。 运载火箭发射时力学环境特性是卫星设计的重要依据。在运载火箭升空阶段,卫星受到多种准静态和动态载荷,且这些载荷都是时变载荷。

18、频率从2hz2000hz。所以,卫星在发射阶段比在轨道运行时更容易发生事故,据美国国家航空航天局对卫星发射失败原因的调查报告,45%的卫星发射失败是发射阶段的结构振动或声激振动引起的。所以,如果卫星入轨后要能正常运转,那么卫星及其所有的子系统和仪器设备都必须承受住火箭发射时的环境载荷。卫星的总质量一般只占运载器的 1%左右,运载火箭发射的全部价值昀 终都浓缩到这质量极小的- 1 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 卫星之中,从这个角度上,卫星的单位质量的价值一般为其运载器的单位价值的百倍以上。卫星所承受环境载荷的改善不仅可以提高卫星的可靠性,还可以搭载更多的设备,从而减少成本,降低发射失败的风

19、险。 1.2 国内外在该方向的研究现状 1.2.1 国内外整星隔振器研究状况 目前,卫星与运载火箭的连接方式通常是采用卫星适配器(payload attach fitting,paf),其主要思路是设计具有隔振效能的适配器或在适配器与星箭界面之间引入主动或被动隔振装置。针对卫星仪器设备动态响应超标,有两种补救措施:第一种,单独加固卫星结构,这将造成发射质量的增加,发射成本也相应大幅度增加,减小运载火箭的搭载能力。第二种,对卫星仪器设备采取局部减振隔振措施,或引入阻尼元件,提高关机设备的阻尼,减小动态响应的峰值。这两种方法都对卫星结构进行修改,但是如果利用同一型号的运载火箭发射的不同类型的卫星,

20、这两种常用的补救措施的具体应用形式会大大改变,研发过程变得复杂,成本昂贵,缺少通用性。 因而,在上述背景之下,国外航天界提出了整星隔振技术的概念,即不修改卫星结构,而直接修改适配器结构,或者在原来的适配器与星箭界面之间加入一套隔振系统,减小卫星发射时所承受的环境载荷,降低对卫星及其设备的动态性能的要求。在不同的发射任务中,运载火箭搭载的卫星形状各异,质量也不尽相同,仅略微调整整星隔振系统,不修改卫星原结构,不增加卫星主结构的质量和仪器设备等二级系统的质量,解决卫星通不过性能考核验证的问题。整星隔振系统的互换性很强,容易形成产品的系列化。 第 1 种是完全重新研制具有隔振效能的适配器,替代传统的

21、刚性过大的适配器,这以 honeywell 公司的 elvis方案昀为突出。 第 2 种是基本上不改变原有的适配器结构,在星箭界面和适配器之间,或者在适配器与卫星之间加入一套隔振系统,这种方案以 csa 公司的单/多向隔振器为典型代表。 通过十余年的努力,csa 公司已研制出两种被动式整星隔振器?softride uniflex 和 softride multiflex ,并已申请专利,如图 1-1,1-2。softride uniflex 是专为以轴向过载为主的运载火箭设计的。这种隔振器的刚度和阻尼特性的分析设计与具体的发射任务有关。隔振器是由一组柔性阻尼元件构成的一个隔振系统。每个柔性元件

22、钛金属和粘弹性约束层阻尼材料制成。该隔振器在航天器和运载火- 2 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 箭之间形成了坚固、响应可预示的、稳定的连接。其典型安装方式应用于taurus/gfo,in february 1998和 taurus/stex mission in october(1998)和taurus/mti mission in march (2000,此方案结构简单,可靠性高,设计周期短,研制的费用较低,但不易控制卫星的前两阶横向摇晃(rocking 或者 rattle)模23态 。a单轴整星隔振系统 b 单轴整星隔振元件 图 1-1 单轴整星隔振 fig.1-1 the soft

23、ride uniflex a多轴整星隔振系统 b多轴整星隔振元件 图 1-2 多轴整星隔振 fig.1-2 the multi-axis device 1996 年,mda 公司、honeywell 公司和 csa 公司共同为 delta型运载火箭设计、制造和测试新型的整星隔振系统,目的是研制一种主/被动杂交隔振系统,弥补在第二阶段所设计的被动式侧向隔振系统的不足,隔离 80%左右的轴向结构振动。don edberg 提出的基本设计构想是应用数个液压-空气式压杆和金属管网组成主被动一体的振动控制(ipavc)系统,增加摇晃刚度,提高整星的摇晃411模态频率,同时降低整星的轴向振动频率 。 19

24、97年,csa公司根据 orbit sciences corporationosc 公司提供卫星和火箭的有限元模型和发射阶段的环境载荷,csa 公司设计出由几十个单向被动减振器softride uniflex 组成的整星隔振系统,以隔离卫星的轴向振动。 - 3 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 1998 年 2 月,aurus2 型火箭发射了 geosat follow on 卫星,首次使用了由 58个 uniflex 减振器组成的整星隔振系统。此外,1998 年 10 月 taurus3 火箭发射stex 卫星和 2000 年 3 月 taurus5 火箭发射 mti 卫星都采用了这种单向

25、被动整星1213隔振系统 。 softride multiflex 是为轴向和横向过载均需隔绝的运载火箭设计的。隔振器由一对 uniflex 的柔性阻尼元件加一个连接杆。柔性元件组合体的抗剪能力可以抑制横向过载。softride 隔振器成功应用于 taurus/stex 的发射任务中。成功应用于(minotaur/jawsat mission in january of 2000)和(minotaur/mightysat mission in july 2000)耦合分析和遥测结果表明,单轴和多轴隔振系统能很好的提供卫星的柔性支撑,减少冲击和结构噪声载荷。 2000 年 wilke paul,

26、johnson conor 和 pendleton scott 提出整星的被动多向高阻尼冲击环方案,隔离 100hz 以上的冲击,增加系统阻尼,提高卫星及其设备的14抗冲性能 。多自由度主动作动平台已经研制成功,已应用航天器的高精密设备(如光学系统)的定位和振动的主动隔离。 整星隔振系统用于 12hz 以上,冲击隔振用于 70hz 以上。这是冲击环的实际应用情况,一个有效载荷在总装之前,通过冲击环对电子仪器进行保护,到目前为止(softride uniflex, multiflex,and shockring whole-spacecraft vibration isolation syste

27、ms)是一种有效的减少结构宽频带响应的措施,能提供良好的力学环境,搭载更多有效载荷,灵敏仪器,提高可靠性,能集中更多精力用在轨道姿态上面,而不是 launch survival 上面,对国防和民用都是很有利的。 从瞬态响应数据和 waterfall psds 谱分析来看,柔性支撑整星隔振系统很好的减少振动的传递,特别是针对固体火箭发动机共振区间(4560hz),对冲击和结构引起的高频振动也有不错的减振效果。设计要求:结构振动固有频率不能低于6hz,低于 6hz 会导致结构不稳定。 我国在整星隔振技术方面的研究起步较晚,多是参考国外已经成功的技术,经过几年的发展,也取得了不少成果。上海交通大学参

28、考美国 csa 公司的多轴隔1516振系统提出了一种新的隔振器方案 ,主要结构是由两个压力环和一连接杆组成的弹性支承。这种隔振装置能隔离较宽频带的振动,且结构简单、安装方便、隔振效能高、可靠性强,但是对于不同的发射任务,需要单独设计专门的隔振系统。哈尔滨工业大学研究提出了八作动器并联隔振平台的隔振方案,取得了很好的减振与隔振效果,然而由于结构重量太大,不能应用于实际的卫星发射系统1719。 - 4 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 1.2.2 航天器局部减振研究现状 对于航天器的局部减振,日本 nec 公司发明了一种复合材料空心杆件,在高温下将液态的阻尼材料附着在碳纤维上分多层缠绕在型芯上,

29、并放入磨具固化成型,20昀后将型芯抽出制成空心杆件。这样,就形成了由约束阻尼层材料构成的构件 。哈尔滨工业大学十五期间在对传统适配器的局部改进方面,提出了在原有卫星适配2122器上附加约束阻尼层的减振方案 ,可以局部地提高卫星与适配器构成的系统结构阻尼,降低系统共振频率的传递率和随机振动响应,并且利用由此发展的“附加约束阻尼层减振”技术成功地解决 fy-2c 轴向发动机支架局部振动幅值超标的问题23将振动峰值降低了 20-30%,保证了 fy-2c 按时出厂 。仪器舱是航天器中的关键结构,它的振动对航天器的可靠性和有效性有极大的影响,因而改善仪器舱的振动特性对提高设备整体使用效能意义重大。采用

30、约束阻尼结构的方法,对典型的航天复杂结构,某火箭仪器舱进行减振特性研究。利用结构动态测试与分析系统,对加约束阻尼前、后仪器舱结构的模态振型和部分特征点的频响特性进行了测试分析,结果验证了约束阻尼结构减振方法的可行性和有效性。可控约束阻尼层结构是一种主被动杂交振动控制方式,即在被控结构上加上约束阻尼层,再将压电片附加在约束阻尼层的局部位置上作为作动器,根据测量的振动响应,通过适当设计的控制律,用局部压电片的变形调节约束层的变形,增加阻尼层的剪切变形,提高系统的阻尼,对系统的振动进行控制,西安交大将可控约束阻尼层应用于长 3 甲运载火箭仪器舱的仪器安装板振动控制,进行了振动控制试验研究,得到了很好

31、的振动抑制效果。为运载火箭仪器舱振动的主被动一体化控制的深入研究奠定了基础。 24上海交通大学为减小某卫星天线支撑筒的振动 ,根据阻尼减振原理,在天线支撑筒上附加约束阻尼层,其试验结果表明可降低整星特定点的振动响应。另外对于天线的局部减振有很多应用主动控制来进行减振。清华大学通过局部刚度25的修改,对小卫星进行了减振研究 。其研究结果为通过改变模块底板局部刚度和适配器支撑刚度可以提高结构的固有频率,或屏蔽特定频率,增加适配器支撑刚度可以屏蔽低阶摆动频率和包带联结的某些频率。同时,改变模块底板局部刚度可以抑制特定模块的振动,但是会增大中间和顶层模块的振动。 1.3 本文的主要内容 本论文主要从被

32、动隔振角度对某典型小卫星进行了隔振减振系统的动力学设计和分析,进一步改善在发射过程中小卫星的动力学环境,提高卫星发射的可靠性,延长卫星的使用寿命。本论文首先介绍了隔振减振的振动理论基础,然后通- 5 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 过对两自由度的动力学方程简化分析,进行了对于某特定小卫星的整星隔振器的简单原理性设计,为针对该小卫星的隔振器设计提供基础。然后建立了隔振器的有限元模型,并且进行了模态分析,通过各项指标论证了结构的可行性,昀后对该卫星进行了局部减振研究,论文的主要工作包括以下几方面: 1)讨论了隔振减振的理论基础,为后续工作奠定理论基础 2)建立了两自由度整星隔振系统动力学方程,

33、并针对某典型小卫星进行了隔振器设计的讨论分析 3)通过理论分析和有限元分析设计了隔振器,并且通过传递率来考察隔振器的隔振性能 4)针对该小卫星进行了局部减振研究,通过添加动力吸振器和实施约束阻尼层方案,表明这两种方法可以应用到卫星的局部减振动力学设计中。- 6 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 第2章 卫星隔振减振的振动理论基础 卫星隔振减振的理论基础是振动理论。它对成功的实现卫星的隔振减振有至关重要的作用。振动系统通常分为单自由度系统和多自由度系统,本章主要进行了单自由度系统和多自由度系统的传递函数和频响分析,对于多自由度系统进行了当阻尼为比例阻尼,一般阻尼时的传递函数和频响分析。 2.1

34、 单自由度系统的传递函数与频响分析一个线性非时变单自由度系统振动时的运动方程可写为mx t+ cx t kx t f t 2-1 式2-1还可写成 f t2 xt + 2 xt xt 2-2 00m对以上方程两边进行拉普拉斯变换,得 f s222ss + xs2-3 00m其中,位移 x t 和力 f t 的拉普拉斯变换分别为 ?st xs e xtdt 2-4 0?st fs e ftdt 2-5 0式2-4可改写成以下形式: xsf sh s 2-6 d其中 1hs 2-7 d2 2ms2+ s 00s 式2-7称为单自由度系统的位移传递函数,该函数描述了在复数 域内单自由度系统的位移响应

35、与激振力之间的映射关系。由拉氏变换性质可得,单自由度系统初态为静止时,其速度和加速度传递函数分别为 shs sh s2-8 vd2 2ms2+ s 002s2hs sh s2-9 ad2 2ms2+ s 00- 7 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 若对式2-3两边进行傅里叶变换,可得 f 22 2-10 2 ?+jx 00m其中位移 x t 和力 f t 的傅里叶变换分别为 ?jt xx tedt 2-11 ?jt ff tedt2-12 ?式中: j为单位虚数,即 ?1。式2-10可改写为 x fs h s 2-13 d其中 1h 2-14 d22mj 2 +00式2-14称为单自由度系

36、统的位移频响函数,该函数描述了在频域 内单自由度系统的位移响应与激振力之间的映射关系。由于傅氏变换是拉氏变换在sj 的特例,单自由度系统初态为静止时,其速度和加速度频响函数可分别表示为j hj h 2-15 vd22mj 2 ?+0022hh ? 2-16 ad22mj 2 ?+00 由于频响函数是复函数,可表达为幅值和相位的形式。下面以位移频响函数h 为例, d式2-14可写为j ? hh e 2-17 dd其中,幅值和相位的表达式分别为 1h 2-18 d222 2m ?+200?2 0? arctan2-19 220 为求幅频曲线峰值所对应的圆频率 ,可通过求极值的方法来实现,令 0dh

37、 0 2-20 d 得 - 8 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 22 22 +20 2-21 0 0由式2-21解得 2 12 2-22 00由于一般工程结构的阻尼比都比较小 0.1,则可认为 2-23 00 由此可见,幅频特性曲线峰值对应的频率可以确定为系统的固有圆频率。于是在 处, ? ?90。 0 0可见,相频特性曲线在? 90 处对应的频率也可确定为系统的固有圆频率。为确定系统的阻尼比,可通过半功率点处所对应的频率来求出。在半功率点处,频响函数的幅值可表示为 11 11h 2-24 d222 2 2 222mm ?+2 21?00 0解方程式2-24,可得到两个近似解: ? 121

38、?a00+ 121+ 2-25 b00则 b a 2-26 2 0可以证明, a、b两频率点在相频特性曲线所对应的相位分别为 ? 45 a? ?135 2-27 b 于是,可由幅频特性曲线在半功率点处以及相频特性曲线在-45和-135处所对应的频率 和 ,按式2-26确定系统的阻尼比 。 a b同样,以位移频响函数 h 为例,式2-17可表达成实部和虚部的形式,即 dhr +ji 2-28 dd d其中,实部和虚部表达式分别为 220r 2-29 d222 2m?+ 2 00?2 02-30 i d222 2m?+ 2 00 对于单自由度系统的频响分析也可以直接应用于模态耦合不大的多自由度系-

39、 9 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 统。但是,对于多自由度系统来说,由于实频特性曲线与频率轴的交点以及相频特性曲线与-90交接处在邻近模态的影响下容易生产的水平移动。因此用幅值的峰值或虚部的峰值所对应的频率作为系统的固有频率较为可靠。 2.2 多自由度系统的传递函数和频响函数分析 在实际结构中,卫星结构能简化为单自由度系统的结构并不多见,大多数结构均呈现多自由度系统的特征。因此,研究多自由度系统的动力特性更具有普遍2627的意义 。在物理坐标系统中,一个典型多自由度线性非时变系统的运动微分方程为 m xt +c xt + kxt f t2-31 式中:m、c和k分别为系统的质量矩阵、阻尼

40、矩阵和刚度矩阵; f t为激振力向量; x t、 x t、 x t分别为结构的位移响应、速度响应和加速度响应向量。对式2-31两边进行拉氏变换得 2m sc+ s kx s fs 2-32 式中: fs和 x s分别为 f t和 x t的拉氏变换。由式2-32,得 x sh sfs 2-33 d其中 21hs + m s cs+k 2-34 d式中: hs为结构的位移传递函数矩阵。 d 要了解被测系统的动力特性需要将在物理坐标系统中描述的物理模型转化为模态坐标中的模型来研究。物理坐标转换为模态坐标的优点在于能使多自由度系统的方程变得每一个方程中只有一个待求的坐标,这样每个方程便可单独求解,完全

41、没有耦合。使一组本来耦合的方程变成无耦合方程的处理称为方程解耦。根据结构动力学的理沦,传递函数由物理坐标到模态坐标的转化方式对不同的阻尼系 统是有所区别的。对于粘性阻尼模型,可分为比例阻尼系统和一般阻尼系统。通常阻尼比较小的结构可以认为是比例阻尼系统,反之,则要考虑选用一般阻尼系统来建模。 2.2.1 比例阻尼系统 当结构定义为比例阻尼体系时,阻尼矩阵可表达为 ca m + k2-35 - 10 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 式中: a和 均为比例常数。 由于振型的正交性,有 tdiag m m itdiag c c it diagk k 2-36 i其中 2-37 12 n式中: 为由

42、结构各阶振型向量 i 1,2, ,n组成的振型矩阵; m 、 c 和i i iki1 ,2, ,n分别为结构的第i阶模态质量模态阻尼和模态刚度;diag 表示对角i矩阵。 由式(2-36)得 t ?11md iagm it ?11cd iagc it ?1 ?1 kd iagk 2-38 i将式2.38代入式2.34得 t ?12 ?1 ?1h s + diagm s csk+ dii i2 t diag1/m s + c s+ k ii in t ii 2ms+ cs ki 1ii itn ii22ms2+ s i 1i ii2-39 其中 k ci i , 2-40 i im 2m i i

43、i式中: 为结构的i阶模态圆频率; 为结构的i阶模态阻尼比。 i i 同样,可由拉氏变换性质得结构初态为静止时的结构速度和加速度的传递函数矩阵分 别为 tns ii hs 2-41 d 2 2ms2+ s i 1ii i2 tns ii hs 2-42 d2 2ms2+ s i 1ii i- 11 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 令sj j ?1,可得结构位移、速度和加速度的频响函数矩阵分别为 tn iihh s 2-43 dd 22sj mj 2 ?+i 1ii i itnj iihh s 2-44 vv 22sj mj 2 ?+i 1ii i i2 tn? iihh s 2-45 aa

44、 sj 22mj 2 ?+i 1ii i ipq位移频响函数矩阵的任一元素 h 表示 q点激励、 p点位移响应的频响函数d可表达式为 n pi qipqh 2-46 d 22mj 2 ?+i 1ii i i或简写为 napqipqh 2-47 d 22?+ j2i 1iii其中 a / m pqi pi qi ipq位移频响函数 h 是复函数,可用实部和虚部有理分式表达为 d22n?2pqiiiha + j 2-48 d pqi222 2 222 2?+2 ?+ 2i 1iii iii以上频响函数方程是粘性比例阻尼系统模态参数模型,实模态参数的频域识别方法就是以该方程为基本数学模型来进行结构动

45、力特性参数的估计。 2.2.2 一般阻尼系统 前面所讨论的是实模态情况。在这种情况下,由于阻尼矩阵定义为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合,因此通过与模态振型矩阵的坐标变换运算可以使其转化为对角矩阵。而对于粘性阻尼的一般情况,即非比例粘性阻尼的情况,采用无阻尼的固有振型模态矩阵的坐标变换运算不能使阻尼矩阵对角化。这时,需要采用复模态振型矩阵作为基向量来进行坐标转换,才能使系统方程解除耦合。一般情况,存在阻尼力与速度成正比的粘性阻尼,假定阻尼矩阵仍然是对称阵,但不满足比例粘性阻尼。在构造空间中描述的运动微分方程移到所谓状态空间中来描述的想法成为寻求状态空间中构造相应的模态空间,使方程找到解耦的一条途径

46、。对于式2-31,若阻尼矩阵不能对角化,为求解这一方程,可引入下列辅助方程: - 12 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 2-49 mx ? mx 0将两个方程相加组合成一个矩阵表达式,得 cm x k 0 x f+ 2-50mx 0 0 ?mx 0令x y 2-51xy 称为状态向量,其式代入式2-21则化成一阶常微分方程: ayb +y f 2-52 其中 cm ? a 2-53 m 0? k 0? b 2-540m?f?f 2-550这样,就将 n 元二阶微分方程组式2-31转换成状态空间中描述的 2n 元一阶微分方程组。状态空间是由式2-52所定义的 2n 维空间。在此空间中,a、b

47、均为2n 2n 实对称矩阵。 考虑系统自由振动情况,令 f 0;则式2-52变成齐次方程: ay +by 0 2-56 按照一阶常微分方程的常规解法,令 sty e 2-57 将上式代人式2-56,得 sa + b 0 2-58 或 bs ?a 2-591由于b为正定矩阵, b 存在,因此上式可化为1 r 2-60 其中? 11 kc k m?1 rb ? a 2-61io - 13 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 为 2n 阶非对称实矩阵,因此式2-60是一个非对称实矩阵特征值问题,存在 n 对互为共轭的复数特征值以及相应的特征向量,可分别表示为 * * diags s s s s s

48、2-62 11 2 2 n n* * 2-63 11 2 2 nn由于 x?y 2-64x?st st设 x e ,则 x se ,于是得 ? 2-65 ?其中 * * 2-66 11 2 2 nn可以看出, 即为对应x的模态振型矩阵。 至此,特征值矩阵 及其对应的征值向量矩阵 已得到,它们是方程2-59的解,满足下式:ba ? 2-67 可以证明,对于状态方程的特征向量 具有加权正交性,即 i? aklt k a ?kl0kl 2-68bk l? t k b kl0kl ?t * * aad iagaaaa aa k 11 2 2nn 2-69t * * bbd iagbbbb bb kn 11 2 2n于是式2.67可变为 ba