北京2013届西城高三二模数学文科试题及答案

1、北京市西城区2013年高三二模试卷2013.5、选择题：本大题共8小题，每小题第i卷（选择题 共40分）5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .复数 i (1 i)(a) 1 i(b)(c) 1i(d)1 i2.已知向量a73,1),）.若a与b共线，则实数(a)1(b)(q(d) 33.给定函数：2x ； y cosx ； y3x ,其中奇函数是(a)(b)(c)(d)4.若双曲线x22y_k1的离心率是2 ,则实数k(a) 3(b)(0 3(d)5.如图所示的程序框图表示求算式5 9 17”之值,则判断框内可以填入(a) k 10(b) k16(c) k 2

2、2(d) k346.对于直线mn和平面成立的一个充分条件是(b) m(c) m(d) m7.已知函数f(x)|x|e|x|.若关于x的方程f（x） k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(a) (0,1)(b)(1,(c) ( 1,0)(d) (, 1)8.已知集合1,2,3,4,5的非空子集 a具有性质p：当aa时，必有6 a a.则具有性质 p的集合a的个数是(a) 8(b) 7(c) 6(d) 5第n卷（非选择题共110分）、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.9 .已知直线 11 ：x 3y 1 0, 12 : 2x my 1 0 .若 11 / l2,则实数 m .10

3、 .右图是甲，乙两组各 6名同学身高(单位： cm)数据 甲组乙组的茎叶图.记甲，乙两组数据的平均数依次为x甲和x乙，131so5 71612 3 4则 x甲 x乙.(填入或“ ”) 2 17 211 .在 abc 中，bc 2, ac j7, b ,则 ab ； abc 的面积是 .312 .设a, b随机取自集合1,2,3,则直线ax by 3 0与圆x2 y2 1有公共点的概率是 13 .已知命题p:函数y (c 1)x 1在r上单调递增；命题q:不等式x2 x c 0的解集是op oa 1,则点p构成的区op ob 2.真命题，则实数c的取值范围是14 .在直角坐标系xoy中，已知两定

4、点 a(1,0), b(1,1).动点p(x,y)满足00域的面积是 q(x y,x y)构成的区域的面积是 .三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分13分)已知等比数列an的各项均为正数，a2 8, a3 a4 48.(i)求数列aj的通项公式；(n)设bn 10g4 an.证明：bn为等差数列，并求bn的前n项和sn.16 .(本小题满分13分)如图，在直角坐标系 xoy中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点a,且的终边按逆时针方向旋转交单位圆于点 b.记 a(xi, y1), b(x2,y2).(i)

5、若 x1(h)分别过a, b作x轴的垂线，垂足依次为 c,d .记4 aocbod的面积为s2 .若s, 2$ ,求角 的值.17.(本小题满分14分)如图1,在四b p abcd中，pa 底面abcd ,面abcd为正方形，e为侧棱pd上一点，f为ab上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.(i)求四面体 pbfc的体积；(n)证明：ae /平面pfc ；2正(主)视图制田视图图18 .(本小题满分13分)22x2 (2 a)x1 ,其中a 0.一一. 2 3已知函数f(x) -x3(i)若a 2,求曲线f (x)在点(1,f (1)处的切线方程;(n)求f (x)在区间2,

6、3上的最小值.19 .(本小题满分14分)2关于点m对称.如图，椭圆(i)若点(h)若椭圆p与点a20 .(本小题满分13分)2),函数已知集合 sn ( x1,x2,|,xn)|x1,x2，w，xn 是正整数 1,2,3,|刀的一个排列(n1, x 0, g(x) 1,x 0.2,3, |“，n , 6 0,对于乌，an)定义：b 称b为ai的满意指数.排列b1,b2,|,bng(ai a) g(ai a2)g(d 2i), i为排列a1,a2,|,an的生成列.(i)当n 6时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列;(n)证明：若a1,a2,|,an和a1,a2,|,an为sn中两个不同

7、排列，则它们的生成列也不同；(出)对于sn中的排列a1,a2,|,an,进行如下操作：将排列 a1,a2,|,an从左至右第一个满意指数为负数 的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列.证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2.北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学(文科)2013.5参考答案一、选择题:1. a;2二、填空题:本大题共 a；本大题共8小题，每小题5分,3 . d;46小题，每小题. b;5分,40分.c;6 . c;30分.11 .3,”212.13 .(1,);14 . 2, 4.注：11、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本

8、大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分15.（本小题满分13分）（i ）解：设等比数列an的公比为q ,依题意q 0 .因为a2 8,a3a，48,两式相除得 q0,解得q2,舍去q3.所以a1a2所以数列n 1 n 1的通项公式为ana1 q 2（n）解：由（i）得bnlog 4 an因为bn 1 bn所以数列bn是首项为1,公差为1一的等差数列.211分所以sn nb1n(n 1)d3n16.（本小题满分13分）（i ）解：由三角函数定义,因为所以sin所以x2x1cosx2cos( 一) 3cos1 cos2cos( 一) 31一 cos23 .sin

9、23分(n)解：依题意得y1 siny2 sin(-)所以s1s21 1x1 y1cos2 21 ,1r二 |x2 1y222sincos(依题意得sin 22sin(21 sin 24),sin(-) 31 sin(2411分所以&所以217.(本小题满分14分)(i)解：由左视图可得f为ab的中点,所以 bfc的面积为 s112因为pa平面abcd ,所以四面体pbfc的体积为、/1 qvp bfc- s bfc31 1 23pa5分(n)证明：取pc中点q,连结eq,整理得cos2 0 .因为一6,、一 一 -1-由正(主)视图可得 e为pd的中点，所以eq / cd , eq 1cd2

10、又因为af/ cd, af 1cd ,所以 af / eq , af2所以四边形afqe为平行四边形，所以 ae / fq .因为ae平面pfc , fq 平面pfc ,所以直线ae /平面pfc .(出)证明：因为 pa 平面abcd ,所以 pa cd .因为面abcd为正方形，所以 ad cd .所以cd平面11分因为ae平面pad ,所以 cd ae .因为pae为pd中点，所以 ae pd.所以ae平面pcd.12分13分因为ae / fq ,所以fq 平面pcd .因为fq平面pfc ,所以 平面pfc平面pcd.14分18.(本小题满分13分)(i)解：f(x)的定义域为r,且f

11、 (x) 2x2 4x 2 a. 2分-1当 a 2 时，f (1) 一， f (1)2 ,3 ,. 1所以曲线y f (x)在点(1,f(1)处的切线方程为y 12(x 1),即 6x 3y 5 0 . 4 分(n)解：方程f (x) 0的判别式8a 0, 5分令 f (x) 0,得 x1 1 “2a，或 x2 1 a . 6分22f (x)和f (x)的情况如下:x(，xi)xi(x1, x2)x2(x2,)f (x)00f(x)故f(x)的单调增区间为(,1工2a), (1叵，)；单调减区间为(1叵，1叵). 2222当0 a 2时，x2 2,此时f (x)在区间(2,3)上单调递增，所

12、以f(x)在区间2,3上的最小值是f(2)7 2a . 10分3当2 a 8时， 2 x2 3,此时f (x)在区间(2,x2)上单调递减，在区间(x2,3)上单调递增, 5a . 2a所以f(x)在区间2,3上的最小值是f(x2) 5 a a一a. 12分33当a 8时，xi 2 3 x2,此时f(x)在区间(2,3)上单调递减,13分所以f(x)在区间2,3上的最小值是f(3) 7 3a .综上，当0 a 2时，f (x)在区间2,3上的最小值是7 2a ；当2 a 8时，f(x)在区间2,3上 3的最小值是 a 2a ；当 a 8时,33f(x)在区间2,3上的最小值是7 3a.19.(

13、本小题满分14分)ap的中点,(i)解：依题意， m是线南一，9因为 a( 1,0) , p(9, 5所以点m的坐标为(由点m在椭圆c上，4解得m 4. 7(n)解：设 m (x0, y0),则4所以25122分25m2 yom因为m是线段ap的中点，所以 p(2xo 1,2yo). 8分因为 op om ,所以 x0(2x0 1) 2y02 0 . 9 分所以m当且仅当消去yo,整理得 m1 2(% j 号xo 2xo2 73 时,xo11分13分上式等号成立.14分所以m的取值范围是2。.(本小题满分13分)(i)解：当n 6时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为o,1, 2,1,4,3

14、 . 3分(n)证明：设 阚2,|田口的生成列是bbjilh;仇e2,1”, an的生成列是与b1,b2,|,bn.从右往左数，设排列a1，a2 j“，an与4a,|冏第一个不同的项为ak与ak,即：anan, an 1 an 1 ,，ak 1 ak 1 , ak ak 显然 bnbn,bn1bn1 ,，bk1bk1 ,下面证明：bkbk.由满意指数的定义知,ai的满意指数为排列a1,a2,|,an中前i 1项中比ai小的项的个数减去比 ai大的项的个数.由于排列 阚2,|”,烝的前k项各不相同，设这 k项中有l项比ak小，则有k l 1项比ak大，从而bk l (k l 1) 2l k 1.同理，设排列 &但，|“，烝中有l项比ak小，则有k l 1项比ak大，从而bk 2l k 1.因为a1,a2,|,ak与a1,a2,|,ak是k个不同数的两个不同排列，且 ak ak,所以l l ,从而bk bk.所以排列31e2,|“田口和a1,a2,|,an的生成列也不同. 8分(出)证明：设排列 a1,a2,|,an的生成列为622,|14,且ak为a1,a2,|,an中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以b1 0,b2 oj|,bk1 0,bk