4江苏省南京一中等五校2015届高三数学第四次模拟试题

1、江苏省南京一中等五校2015届高三第四次模拟考试数学(i)一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分.)1 .已知集合 m = x|xv1, n = x| lg(2x+1)0,则 m n n =.2 .复数z=史以为纯虚数，则实数a的值为1 -13 .某学校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有 40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 .4 .执行如图所示流程图，得到的结果是 .225 .已知双曲线3= 1 (a0,b0)的一条渐近线方程为y=3x,那么该双曲线的离心率为 6 .将一颗

2、骰子先后抛掷 2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为 7 .若一圆锥的底面半径为3,体积是12 tt,则该圆锥的侧面积等于 .8 . 直线l过点( 1,0),且与直线 3x+y1 = 0垂直，直线l与圆c: (x-2)2+y2=1交于m、n两点，则 mn9 .已知 x0, y 0, x+2y+2xy=8,则 x + 2y 的最小值为 冗10.函数 y =sina(sina -cos)(a = -,0)的最大值为11.已知 abc是等边三角形，有一点d满足ab + 1 ac = ad，且| cd | =我，那么da dc2一 x? + ax(xw 1)小/口12.a的取

3、值范围已知函数f (x)=幺 二,若 3xi,x2 r, xwx2,使得 f (xi) = f (x2)成立,则实数2 ax 5 (x 1).1. 1.13 .已知函数f(x)满足f(x)=f (-),当xc1,3时，f(x)=lnx,若在区间3,3内，函数g(x) = f (x) ax与x轴有三 x3个不同的交点，则实数 a的取值范围是 14 .各项均为实数的等差数列的公差为2,其首项的平方与其余各项之和不超过33,则这样的数列至多有项.、解答题(本大题共 6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15 .(本小题满分 14分)兀.已知函数f (x)=sin(cox+ (f)

4、(co0, 0v()b0)的离心率为 冬 短轴长为4, f1、f2为椭圆左、右焦点，点 b为下顶点.(1)求椭圆c的标准方程；(2)点p(xo, y。是椭圆c上第一象限的点.若m为线段bfi上一点，且满足po = 6 om , 求直线op的斜率； 设点o到直线pfi、pf2的距离分别为di、d2, 求证：当+斗为定值，并求出该定值.di d2(本小题满分15分)如图，某广场为一半径为 80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域oab内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2a其中半径较大的花坛 op内切于该扇形，半径较小的花坛 oq与。p外切，且与oa、ob相切.(1)求。p的半径(用。表示)；(

5、2)求。q的半径的最大值.19 .(本小题满分16分)已知a为实数，函数 f(x)=alnx+ x24x.(1)是否存在实数a,使得f (x)在x= 1处取极值？证明你的结论；(2)若函数f (x)在2, 3上存在单调递增区间，求实数 a的取值范围；1 a(3)设g(x) = 2aln x+x 5x,右存在xo1,e,使得f(xo)g(xo)成立，求头数a的取值氾围.x20 .(本小题满分16分)已知两个无穷数列小,6分别?t足 同4aj=2, b：书=4bn2,且&=1心=1.(1)若数列an), bn 都为递增数列，求数列 an , bn 的通项公式；(2)若数列g满足：存在唯一的正整数

6、r (r w n ),使得cr cr ,称数列g为“梦r数列”；设数列为,3的前n项和分别为sn,tn,若数列an为“梦5数列”，求sn；若an为“梦1数列”，bn为“梦2数歹，是否存在正整数 m ,使得&书=tm,若存在，求m的最 大值；若不存在，请说明理由.数学（ii）21 .选做题请考生在 a、b、c、d四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分.a .（本小题满分10分，选修4-1几何证明选讲）pbc与。相交于点b,pc = 2pa, d 为 pc 的中如图，p是。外一点，pa是切线，a为切点，割线 点，ad的延长线交。于点e.证明： adde=2pb2.b.（本小题满分10

7、分，选修42矩阵与变换）一3 11已知矩阵a= 2 2 .工11（1）求a；（2）满足ax = a 二阶矩阵x .c.（本小题满分10分，选修4-4坐标系与参数方程选讲）x =1 +2cos, , , , , t已知圆c的参数方程为国为参数），若p是圆c与x轴正半轴的交点，以原点。为极点，x、/ = v3 +2sin 8轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点p的圆c的切线为l ,求直线l的极坐标方程.d.（本小题满分10分，不等式选讲）已知实数x,y,z满足3x + 2y +z =1 ,求x2 +2y2 +3z2的最小值.必做题第22题，第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证

8、明过程或演算步骤.22 .本本小题满分10分）如图，在三棱柱 abc a1b1cl 中，ab = 3, aa1=ac=4, aaj平面 abc; abxac, (1)求二面角 aibcibi的余弦值；（2）在线段bc1存在点bd .d,使得adxa1b,求bd的值.bc123 .本本小题满分10分）（1）证明： c； +c；卡=cnr：； cnz =2cnn 书（其中 n,rw n、0 er en1,）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设2n+1局，每局比赛甲获胜的概率均为pip1i,首先赢满；十1局者获胜（nwn）.2若n=2,求甲获胜的概率；证明：总局数越多，甲获胜的

9、可能性越大（即甲获胜的概率越大）2015届高三第四次模拟考试答案一、填空题:6、,10(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上1、(0,1)2、13、84、75、5839、410、- +11、312、 (一8,4)2222 (ni)(a2+an)22fnj、214、解：a1+a2 + a3 + , , h- an= a1 +2= a1 + (n 1)(a1 + n) = a1+ (n 1)a1 + n(n 1)= + 2 j + n(n2(n 1)1 n 1 2 (n 1)(3n+ 1)1)4= 1+ 24 w 33n n1、 (n 1)(3n + 1)

10、为了使得n尽量大，故+ 2/=0，4 w 33(n- 1)(3n+ 1) 132,当 n=6 时，5x19v132;当 n=7 时，6x22= 132, 故nmax=7.【注】不易猜测：一3, 1, 1, 3, 5, 7, 9.二、解答题(本大题共 6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1.解：(1)依题意知,t= 2 ti,w= 1, f (x) = sin(x+ ，,兀兀，、1lt- ,兀 兀 ，4兀 兀 ，5 7tli 兀.f(3)=sin(3+m=2，且0兀.3/5, c=1,椭圆abd,平面abm,.-. b= 2,又 e= c=w5,且 a2=b2 + c2,a

11、5c的标准方程为卷十宁=1；5414分x0= - v6t|y0= 2 祀(t+ 1)(2)由(1)知：b(0, - 2), fi(1,0), . bfi： y=-2x- 2设 m（t, 2t2）,由 mo = y6om 得: 代入椭圆方程得：（+叱1）1,36t2+ 60t+25=0, . . (6t+5)2=0, om的斜率为2,即直线op的斜率为5- t= - 5625；y 二 kx5，二 m（一否,10分【或】设直线 op的方程为y =kx ,由 x2y21i54/曰20，信 xp2,4 5k2,y = kx ,口由 fy = -2x.2 得 xm10分由bo =mom得xp = t6x

12、m解得:11分由题意，pf： y= xy01(x+ 1),即 yx(x0+1)y+y0= 0v。由0 + (x0+1)2,同理可得：d2=v。/y0+ (x0 -1)215分4.1+=业2+的+1)2 + 遍+仅01)2 = pf+ pf2=2a= 2,/5 d1 d21 一 . 1y0【或】 sopf 1= 2pf1 d1 = qof1 y0, pf 1 d1= y0,一d = pf1,同理在 opf2中，有y=pf2.d2.v0+y0=pf1+pf2= 2a = 2遥.d1 d2解：（1）设。p切oa于m,连pm, oq切oa于n,连 记。p、。q的半径分别为小、%.9p 与。o 内切，|

13、op|=80rp,rp80 sin 0 八 jt “1(0 e2)(2).|pq| =p+q，|op| |oq| =rp rqsin 0 sin 0=rp+ rq80 sin 11 sin 9 八 兀 “1 + sine (0e 2)、，.(t- 1)(2-1)法一：令 t=1 + sinee (1,2), rq=80 -12-11今3 一令 m=ic (2,1), rq= 80( 2m +3m 1). m=4时，有取大值 10.法二：: 声所 6(1 sin 2sin 0+ (1 sin 0)1 + sin 010分14分(1 + sin 0)2sin 6(1 sin ()8注意：不指出取等

14、号的条件扣，一，1rq0, f(x)递增；当 x 1 时，f(x)0, f(x)递增. x= 1不是f (x)的极值点.故不存在实数 a,使得f (x)在x= 1处取极值.(2)f (x)=2x2 4x+ a 2(x 1)2+a2注意：换元不写范围扣1分当a“时，f (x)rqf (x)在(0, + 8)上递增,成立;当av2 时,令 f (x)0,则 x 1 + v1 2或 xv 1 q12.f(x)在(i+、ji*+8 止递增,. f (x)在2, 3上存在单调递增区间，1+/1-13,解得：一6a210分(3)在1, e】上存在一点x0,使得f (xo )e,即a岂e-1时，h(x )在

15、1, e】上单调递减,所以21 a - e 1h(x)的最小值为 h(e),由h(e) = e+a,ee-1因为一22e 1e 1e-1,所以 a ；e-1e-112分当a+1e1,即aw0时，h(x取1, e上单调递增,所以h(x 银小彳1 为 h(1 %由 h(1 )=1+1+a 0可彳#a2；14分当 1a+1e,即 0ae 1 时，可得 h(x)最小值为 h(1+a) = 2 + a aln(1+a),因为 0 ln(1 +a )1 ,所以，02帖(1+2)2此时不存在x0使h(x0 )-一1或2x+x成上令 m(x) = lnx-1, / m(x)在1, e上单调递增，且 m(1)

16、= 1v0, m(e)= 1 -0xe故存在xic(1,e),使得 x 1, xi)时，m(x)v0; xc (xi, e时，m(x)0故存在xc1, x1)时,使得或存在xc(x1, e时,使得x2+1a-7xlnx 1成立,成立,记函数x2+1,f(x)=x, f(x)=(x21)lnx (x 1)22(xlnx 1)()()12分当 1vxw e 时，(x21)lnx (x+ 1)2=(x21) hnx-x )g(x) = lnx山=lnx-x 1x- 11 递增，且 g(e) = -2-0 e- 1当 1vxwe 时，(x21)lnx (x+ 1)2 f (x)min = f(e) =

17、 e_ 114分口e2 + i综上可得，a或av 2.e 116分6.解：(1)数列aj,bn都为递增数列，an书an=2, 2 = 一2bi,bn七=2bn由，nw n、an =2n -1,-1,n =14 = n42n ,n -2（2）数列劣满足：存在唯一的正整数 r=5,使得afa.，且an甲a/= 2 ,，数列a必为 1,3,5, 7,9,7,9,11,，即前5项为首项为1,公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7,公差为2的等 差数列，工2, n , n 5故& =42；n -4n 20, n _6bn4=4bnlbn噂=bn,，|bn|=2n而数列6为“梦数列”且 “=-1, .数

18、列6中有且只有两个负项.假设存在正整数 m ,使得sm+1 =tm,显然m#1,且tm为奇数，而4中各项均为奇数，m必为偶数.10分首先证明：m 6.若m a7 ,数列ln中(sm书max =1 +3 +， +(2m+1尸(m + 1)2,而数列*中，bm必然为正，否则tm =1 +d +(2m)-1 +21 +2m/ +(-2mjl )=-37),二 qm (m 7 )为增数列，且d7 0进而cm (m a 7 )为增数列，而c8 0 ,tm minsm max14分即 m6.当 m=6时，构造： ln为 1,3,1,3,5,7,9，值为1,2,4,8, -16,32,64, 此时 r1=2

19、, r2 =416分所以mmax =6,对应的 a =2 , b =4数学（ii）21. a.证明：由切割线定理得fa2=pbpc.因为 pc = 2fa, d为pc的中点，所以 dc = 2pb , bd =pb. 5 分由相交弦定理得 ad de = bd dc , 所以 ad de = 2pb2. 10 分b.解：（1） a,2 -1 i i-4 310分-15 -8-5(2) x = | j-20 13 _c.解由题设知，圆心c(1, j3)p(2.0)zcpo=60，故过p点的切线的倾斜角为 30设m (p,0 )是过p点的圆c的切线上的任一点，则在 pmo 中，/ mop=0 om

20、pp =300 -0 ,/opm =1500由正弦定理得omsin . opmop:2sin . omp , sin1500 - sin 300,pcosw+600 )=1 (或为in(300 日)=1),即为所求切线的极坐标方程d.解：由柯西不等式,(x)2 +(t2y)2 +(j3z)2 1，12 +(扬2 +(丧)2所以 x2 +2y2 +3z2 ,34当且仅当 个=岑三 即 x =3, y =3, z =-时，等号成立,3213434343一.ooo3所以x +2y +3z的最小值为一 .342分4分8 分.10分2.(3x + 2y +z) =1 ,.4分10分22.解：(1)如图，

21、以a为原点建立空间直角坐标系a xyz,则 b(0,3,0),ai(0,0,4),bi(0,3,4),ci(4,0,4),设平面 a1bc1的法向量为n = ( x, y, z), r皿 n ab =0 3y -4z =0则 j ,n aci =0. 4x = 0令 z = 3,则 x =0, y =4 ,所以门=(0,4,3).同理可得，平面bbici的法向量为m = (3,4,0),n m 16cos n,m = 一 .|n|m| 25由题知二面角 ai bci bi为锐角，所以二面角ai bci - bi的余弦值为165分25-17 -所以(x , y 3 ,z (4,（2）设 d（x,y,z）是直线 bc1 上一点，且 wd = kbc1 .x =4 , y =3 -3 ,z = 4.所以 ad = (4 ,3 一3 ,4 ).由 ad a1b =0，即 925 =0.解得=.25 9因为元w 0,1,所以在线段bci上存在点d,使得 adxaib.此时，里=九=210分bc12