2.1函数展开成幂级数(2)ppt课件

1、上页 下页 返回 结束 第四节 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十二章 上页 下页 返回 结束 问题问题: : 3.3.展开式是否唯一展开式是否唯一? ? 1.1.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数? ? 是什么？是什么？如果能展开如果能展开 n a2 两类问题两类问题: 在收敛域内在收敛域内 和函数和函数)(xS n n n xxa)( 0 0 幂幂级级数数 求求 和和 展展 开开 上页 下页 返回 结束 )()( 0 xfxf)( 00 xxxf 2 0 0 )( !2 )( xx xf

2、n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( )(xRn 其中其中)(xRn ( 在在 x 与与 x0 之之 间间) 称为拉格朗日余项称为拉格朗日余项 . 1 0 ) 1( )( ! ) 1( )( n n xx n f 则在则在 若函数若函数 0 )(xxf在的某邻域内具有的某邻域内具有 n + 1 阶导数阶导数, 此式称为此式称为 f (x) 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 , 该邻域内有该邻域内有 : ! )( 0 )( n xf a n n 称为泰勒系数称为泰勒系数 . 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) ( Taylor ) 级数级数 上页 下页 返回 结束 阶阶泰泰勒勒

3、多多项项式式可可以以用用在在该该邻邻域域内内nxf)(, , )( ! )( )( ! 2 )( )()()( 0 0 )( 2 0 0 000 近近似似表表示示 n n n xx n xf xx xf xxxfxfxP 为为误差误差)()(xPxf n . )!1( )( )( 1 0 )1( n n n xx n f xR ., ,)( 减减小小误误差差来来提提高高精精度度泰泰勒勒多多项项式式项项数数的的办办法法 可可以以通通过过增增加加的的增增大大而而减减小小随随着着如如果果nxRn 上页 下页 返回 结束 )( 0 xf)( 00 xxxf 2 0 0 )( !2 )( xx xf n

4、 n xx n xf )( ! )( 0 0 )( 的级数，称为的级数，称为f (x) 的泰勒级数的泰勒级数 . 形式为形式为若函数若函数的某邻域内具有任意阶导数的某邻域内具有任意阶导数, 0 )(xxf在 1) 对此级数对此级数, 它的收敛域是什么它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上在收敛域上 , 和函数是否为和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题待解决的问题 : 上页 下页 返回 结束 定理定理1 . 各阶导数各阶导数, )( 0 x 那么那么 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充在该邻域内能展开成泰勒级数的充 要要 条件是条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足的泰勒公式中

5、的余项满足:.0)(lim xRn n 设函数设函数 f (x) 在点在点 x0 的某一邻域的某一邻域 内具有内具有 如果函数如果函数 f (x) 能在点能在点 x0 的某邻域上的某邻域上 等于其泰勒级数的等于其泰勒级数的 和函数，那么和函数，那么 称称f (x) 在该邻域内可以展开成泰勒级数在该邻域内可以展开成泰勒级数. 上页 下页 返回 结束 即即内内能能展展成成泰泰勒勒级级数数在在设设,)()( 0 xUxf n n xx n xf xx xf xxxfxfxf )( ! )( )( ! 2 )( )()()( 0 0 )( 2 0 0 000 , )()()(xRxsxf nn ),(

6、)(limxfxsn n 有 . 0)()( xfxf 证证 .)( 0 成立成立对一切对一切xUx )()(lim)(limxsxfxR n n n n 所以 .必要性必要性 )()( 0 xfxf )( 00 xxxf 2 0 0 )( !2 )( xx xf n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( )(xRn 上页 下页 返回 结束 .充充分分性性 ).(0)(lim 0 xUxxRn n 对对一一切切设设 ),()()(xRxfxs nn )()(lim)(limxRxfxs n n n n 于是, )(xf ,)()( 0 内收敛内收敛的泰勒级数在的泰勒级数在即即xUx

7、f ).(xf并且和函数为并且和函数为 证毕证毕 上页 下页 返回 结束 n n n n n x n f xffx n f ! )0( )0()0( ! )0( )( 0 )( .)Maclaurin()(级级数数的的麦麦克克劳劳林林该该级级数数称称为为函函数数xf 得得取取, 0 0 x .)()1( )1()0(,)0( ! 1 )( )0()( )( 0 的麦克劳林展开式的麦克劳林展开式式称为函数式称为函数 级数，则有级数，则有 的幂的幂内展开成内展开成能在能在如果函数如果函数 xf Uxxf n xf xUxf nn n 上页 下页 返回 结束 . )( ! 1 .)()( )()(

8、)()( 0 )( 0 0 00 0 且展开式是唯一的且展开式是唯一的 则其系数则其系数 的幂级数，即的幂级数，即内能展开成内能展开成且在且在 内具有任意阶导数，内具有任意阶导数，在在如果函数如果函数 xf n axxaxf xxxU xUxf n n n n n 定理定理2 证证 即即内内收收敛敛于于在在因因为为),()()( 00 0 xfxuxxa n n n ,)()()( 0010 n n xxaxxaaxf 逐项求导任意次逐项求导任意次, ,得得 即得即得令令, 0 xx )( 00 xfa 上页 下页 返回 结束 ,)()()( 0010 n n xxaxxaaxf )(23)1

9、(!)( 01 )( xxannanxf nn n 1 0021 )()(2)( n n xxnaxxaaxf ), 2 , 1 , 0()( ! 1 0 )( nxf n a n n 泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的, , .)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的所以所以xf )( 01 xfa ;)()1(!2)( 2 02 n n xxannaxf )( !2 1 02 xfa 假设假设 f (x) 能展开成能展开成)( 0 xx 的幂级数，的幂级数， 则这种则这种 展开式是唯一的展开式是唯一的 , 且与它的泰勒级数相同且与它的泰勒级数相同. ), 2 , 1 , 0()( ! 1 0 )

10、( nxf n a n n 假设假设 f (x) 能展成能展成 x 的幂级数的幂级数, 则这则这 种展开式是种展开式是唯一的唯一的 , 且与它的麦克劳林且与它的麦克劳林 级数相同级数相同. . 上页 下页 返回 结束 (1) f (x) 展开成展开成)( 0 xx 的幂级数，的幂级数， n n n xxaxf)()( 0 0 ,)( ! )( 0 0 0 )( n n n xx n xf (2) f (x) 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数, n n n xaxf 0 )(. ! )0( 0 )( n n n x n f 1. 直接展开法直接展开法 “ f (x) 展开成展开成 x 的幂级数

11、步骤：的幂级数步骤： 第一步第一步 求函数及其各阶导数在求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值处的值 ; 第二步第二步 写出麦克劳林级数写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径并求出其收敛半径 R ; 第三步第三步 判别在收敛区间判别在收敛区间(R, R) 内内)(limxRn n 是否为是否为0. 如果为零，如果为零， 则函数则函数 f (x) 在收敛区间内展开成在收敛区间内展开成 x 的幂级的幂级 数为数为 . ! )0( )( 0 )( n n n x n f xf 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 上页 下页 返回 结束 例例1. 将函数将函数 x exf )(展开成展开成 x

12、 的幂级数的幂级数. 解解: )( )( xf n , x e )0( )(n f),1 ,0(1 n故得级数故得级数 )0(fxf)0 ( 2 !2 )0( x f n n x n f ! )0( )( 1 其收敛半径为其收敛半径为 对任何有限数对任何有限数 x , 其余项满足其余项满足 n Rlim ! 1 n ! )1( 1 n x 2 !2 1 x 3 !3 1 x n x n! 1 )( xRn e ! )1( n 1 n x x e ! )1( 1 n x n ( 在在0与与x 之间之间) 0 1 ! )1( n n n x ! )1( ! )2( 1 2 lim n x n x

13、n n n 2 lim n x n 0 1 n 0 故故, ! 1 !3 1 !2 1 1 32 nx x n xxxe ),( x 上页 下页 返回 结束 处处附附近近，如如果果在在0 x,e x 似代替似代替用级数的部分和来近用级数的部分和来近 ,e x 就越来越接近于就越来越接近于随着项数的增加，它们随着项数的增加，它们如图，如图， x y o 1 x ey 62 1 32 xx xy 2 1 2 x xy xy 1 上页 下页 返回 结束 例例2. 将将xxfsin)(展开成展开成 x 的幂级数的幂级数. 解解: )( )( xf n )0( )(n f 得级数:x )sin( 2 n

14、x 其收敛半径为 ,R对任何有限数 x , 其余项满足 )(xRn ) 1(sin( 2 n ! ) 1( n 1n x ! ) 1( 1 n x n 12kn ),2, 1,0(k 3 !3 1 x 5 !5 1 x 12 ! ) 12( 1 1 ) 1( n n n x ),(x xsin n 0 kn2 ,) 1( k ,0 12 ! ) 12( 1 15 !5 1 3 !3 1 ) 1( n n n xxxx n n n n n x n f xffx n f ! )0( )0()0( ! )0( )( 0 )( 上页 下页 返回 结束 2. 间接展开法间接展开法 例如例如)(sinco

15、s xx )!2( )1( ! 4 1 ! 2 1 1cos 2 42 n x xxx n n ),( x )!12( )1( ! 5 1 ! 3 1 sin 12 53 n x xxxx n n 根据唯一性根据唯一性, , 利用常见展开式利用常见展开式, , 通过变量代通过变量代 换、换、 四则运算、恒等变形、四则运算、恒等变形、 逐项求导、逐项求导、 逐项积逐项积 分等方法，求展开式分等方法，求展开式. . ,0csc,cot 时时其其绝绝对对值值趋趋向向当当xxx 所以谈不上它们在原点连续，更谈 不上具有一切阶的导数，因而它们 不能在原点周围展成幂级数 . xx sec,tan 展成幂级

16、数的问题比较复杂. 上页 下页 返回 结束 例例3. 1 1 2 的幂级数的幂级数展开成展开成将函数将函数x x 解解因为因为 ),11(1 1 1 2 xxxx x n ，得得换换成成把把 2 xx ).11()1(1 1 1 242 2 xxxx x nn 上页 下页 返回 结束 xarctan展开成展开成 x 的幂级数的幂级数. 解解: ) (arctan x 2 1 1 x 0 2 )1( n nn x)11( x xarctan x x x 0 2 1 d xx x n nn d)1( 0 0 2 xx n x nn d)1( 0 0 2 0n 12 )1( 12 n x n n )

17、11( x 上式右端的幂级数在上式右端的幂级数在 x 1、-1 收敛收敛 ,在在而而xarctan x 1、-1有定义且连续有定义且连续, 所以展开式对所以展开式对 x 1 、-1也是也是 成立的成立的, .11 x 于是收敛域为于是收敛域为 )11( x 12 1 )1( 5 1 3 1 1 4n n 例例4. 将函数将函数 上页 下页 返回 结束 )1ln()(xxf 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数. 解解: x xf 1 1 )( )11()1( 0 xx n n n 从从 0 到到 x 积分积分, 得得 )1ln(x x x x 0 1 d xx x n nn d)1( 0 0 x

18、x n x nn d)1( 0 0 0n 1 )1( 1 n x n n )11( x 定义且连续定义且连续, 域为域为.11 x 上式右端的幂级数在上式右端的幂级数在 x 1 收敛收敛 ,有有在在而而1)1ln( xx 所以展开式对所以展开式对 x 1 也是成立的也是成立的,于是收敛于是收敛 )11( x 例例5. 将函数将函数 利用此题可得 1 1 ) 1( 4 1 3 1 2 1 12ln n n 上页 下页 返回 结束 0 1 ) 1( )1ln( n n n x n x 间接展开法间接展开法 利用一些已知的函数展开式利用一些已知的函数展开式,通过幂级数的运算通过幂级数的运算(如四则如

19、四则 运算运算,逐项求导逐项求导,逐项积分逐项积分) 以及变量代换等以及变量代换等,将所给的函数将所给的函数 展开成幂级数展开成幂级数. u例例 n xxx x 2 1 1 1 ) 11( x 把把x换成换成x nn xxx x ) 1(1 1 1 2 nn xxx x 242 2 ) 1(1 1 1 把把换成换成 2 x x ) 11( x ) 11( x 从从0到到x积分积分 0 12 12 ) 1( arctan n n n x n x) 11( x 从从0到到x积分积分 ) 11( x 上页 下页 返回 结束 u例例 )!12( ) 1( ! 5! 3 sin 1253 k xxx x

20、x k k )( x 逐项求导逐项求导 )!2( ) 1( ! 4! 2 1cos 242 k xxx x k k )( x u例例 ! 2 1e 2 n xx x n x )( x 把把x换成换成axln axx a ln e n n n x n a 0! )(ln )( x 上页 下页 返回 结束 )2ln(x 展开成展开成 解解: x的幂级数的幂级数. )1ln( x 1 )1( 432 1432 n xxxx x n n 1 , 1( x )2ln(x ) 2 1(2ln x ) 2 1ln(2ln x 例例6. 将将 1 1 3 3 2 2 2)1( )1( 23222 2ln n

21、n n n xxxx 1 1 2 )1(2ln n n n n n x )22( x 上页 下页 返回 结束 例例7. 将将 x xf 1 )( 展成 x3 的幂级数. 解解: 33 1 )( x xf 3 1 1 . 3 1 )( t tf 1 003 )3( )1( 3 3 )1( 3 1 )( n n n n n n n xx xf )60( x )33( t n n n t ) 3 ()1( 3 1 0 3 1 )(, 3 t tfxt则则有有令令 x1 1 ,)1( 0 nn n x ) 1, 1(x 上页 下页 返回 结束 例例8. 将将 34 1 2 xx 展开成展开成 ( x1 )的幂级数