2018-2019学年2-21.3.2利用导数研究函数的极值学案

1、精品资源预习导航课程目标学习脉络1 .理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件；2 .会求函数的极值；3 .会求函数在闭区间上的最值；4 .能利用导数解决与函数极值、最值相关的 综合问题.槛值的撷念极值与埴值一求函数的极值综合问题求函数的最值1.函数的极值已知函数y= f(x),设xo是定义域(a, b)内任一点，如果对xo附近的所有点x,都有 侬 Vf(X0),则称函数f(x)在点xo处取极大值，记作 y极大=f(x0),并把xo称为函数f(x)的一个鼠 大值点.如果在xo附近都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点xo处取极小值，记作y极小= f(xo), 并把xo称为函数f(x)的

2、一个极小值点.(2)极大值与极小值统称为极值大值点与极小值点统称为极值点思考1 (1)极大值(极小值)是否就是函数在定义域内最大的值(最小的值)?(2)函数是否一定存在极值？若存在，是否是唯一的？(3)极大值是否一定比极小值大？(4)函数的极值点是否可以出现在区间的端点？提示：(1)极值是一个局部概念.由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.(2)在一个给定的区间上，函数可能存在若干个极值，也可能不存在极值；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值.(3)极大值与极小值之间无确

3、定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值.(4)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义.2 .求函数y=f(x)极值的步骤第1步：求导数f (x);第2步：求方程f (x)=。的所有实数根；第3步：考察在每个根 xo附近，从左到右，导函数 f (x)的符号如何变化.如果 f (x) 的符号由正变负，则 f(xo)是极大值如果由负变正，则f(xo)是极小值一如果在f (x)=。的根x= xo的左、右侧，f (x)的符号不变，则f(xo)不是极值.思考2 (1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？(2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？提示：(1)不一定，例如

4、对于函数 f(x) = x3,虽有f (0)=0,但x=0并不是f(x) = x3的极值点，要使导数为 0的点成为极值点，还必须满足其他条件.(2)不一定，例如函数f(x)=|x1,它在x=1处取得极小值，但它在x=1处不可导，就更谈不上导数等于 0 了 .但对可导函数来说，极值点处的导数值一定等于0.3 .函数的最值函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大 (小)的值.点拨函数极值与最值的联系与区别：(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具 有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性.(2

5、)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值最多只能各有一个， 具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常函数就没有极大值， 也没有极小值.(3)极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得.有极值的不 一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不是在端点处取到， 则一定是某个极值.4 .求函数y=f(x)在a, b上的最大(小)值的步骤第1步：求f(x)在开区间(a, b)内所有使f (x)=0的点.第2步：计算函数f(x)在区间(a, b)内使f (x)=0的所有点和端点的函数值，其中最大 的一个为最大值，最小的一个为最小值.思考3如果函数f(x)在闭区间a, b上是单调函数，如何求其最值？提示：如果函数f(x)在闭区间a, b上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间a, b上递增时，f(a)是最小值，f(b)是最大值；当f(x)在闭区间a,b上递减时，f(a)是最大值，f(b)是最小值.点拨函数f(x)在开区间上最值的求法：如果要研究函数在开区间上的最值情况，那么就要与闭区间加以区别.由于是开区间，所以函数的最值不能在端点处取得，而只能在极值点处取得，当函数在开区间上只有一个极值时，这个极值