快速傅立叶变换FFT及其应用实验报告

1、实验一 离散时间系统的时域分析一、实验目的. 运用matlab仿真一些简单的离散时间系统，并研究它们的时域特性。. 运用matlab中的卷积运算计算系统的输出序列，加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。二、实验原理离散时间系统其输入、输出关系可用以下差分方程描述： 当输入信号为冲激信号时，系统的输出记为系统单位冲激响应，则系统响应为如下的卷积计算式： 当hn是有限长度的（n：0，m）时，称系统为fir系统；反之，称系统为iir系统。在matlab中，可以用函数y=filter(p,d,x) 求解差分方程，也可以用函数 y=conv(x,h)计算卷积。例1 clf;n=0:40

2、;a=1;b=2;x1= 0.1*n;x2=sin(2*pi*n);x=a*x1+b*x2;num=1, 0.5,3;den=2 -3 0.1;ic=0 0; %设置零初始条件y1=filter(num,den,x1,ic); %计算输入为x1(n)时的输出y1(n)y2=filter(num,den,x2,ic); %计算输入为x2(n)时的输出y2(n)y=filter(num,den,x,ic); %计算输入为x (n)时的输出y(n)yt= a*y1+b*y2;%画出输出信号subplot(2,1,1)stem(n,y);ylabel(振幅)；title(加权输入a*x1+b*x2的输

3、出)；subplot(2,1,2)stem(n,yt);ylabel(振幅)；title(加权输出a*y1+b*y2)；(一)、线性和非线性系统 对线性离散时间系统，若和分别是输入序列和的响应，则输入的输出响应为，即符合叠加性，其中对任意常量a和b以及任意输入和都成立，否则为非线性系统。(二)、时不变系统和时变系统对离散时不变系统，若是的响应，则输入x(n)=x1(n-n0)的输出响应为y(n)=y1(n-n0),式中n0是任意整数。该输入输出关系，对任意输入序列及其相应的输出成立，若对至少一个输入序列及其相应的输出序列不成立，则系统称之为时变的。(三)、线性卷积假设待卷积的两个序列为有限长序

4、列，卷积运算符在matlab中可 命令conv实现。例如，可以把系统的冲激响应与给定的有限长输入序列进行卷积，得到有限长冲激响应系统的输出序列。下面的matlab程序实现了该方法。例2 clf; h=3 2 1 -2 1 0 -4 0 3;%冲激 x=1 -2 3 -4 3 2 1 ; %输入序列 y=conv(h,x); n=0:14; stem(n,y); xlabel(时间序号n);ylabel(振幅)； title(用卷积得到的输出)；grid;三、实验内容与步骤. 假定一因果系统为y(n)-0.4y(n-1)+0.75y(n-2)=2.2403x(n)+2.4908x(n-1)+2.

5、2403x(n-2)用matlab程序仿真该系统，输入三个不同的输入序列： ，计算并并显示相应的输出， 和。. 用matlab程序仿真步骤1给出的系统，对两个不同的输入序列x(n)和x(n-10)，计算并显示相应的输出序列y3(n)和y4(n)。3用matlab程序仿真计算下列两个有限长序列的卷积和并显示图形。 四、实验仪器设备计算机，matlab软件五、实验要求给出理论计算结果和程序计算结果并讨论。六、实验结果实验1：clf;n=0:40;a=2;b=-3;x1= cos(2*pi*0.1*n);x2=cos(2*pi*0.4*n);x=a*x1+b*x2;den=1, -0.4,0.75;

6、num =2.2403 2.4908 2.2403;%分子系数ic=0 0; %设置零初始条件y1=filter(num,den,x1,ic); %计算输入为x1(n)时的输出y1(n)y2=filter(num,den,x2,ic); %计算输入为x2(n)时的输出y2(n)yn=filter(num,den,x,ic); %计算输入为x (n)时的输出y(n)%画出输出信号subplot(2,2,1)stem(n,y1);ylabel(振幅);title(y1输出);subplot(2,2,2)stem(n,y2);ylabel(振幅);title(y2输出);subplot(2,2,3)

7、stem(n,yn);ylabel(振幅);title(yn输出);实验2：clf;n=0:40;n1=0:50;a=2;b=-3;x1= cos(2*pi*0.1*n);x2=cos(2*pi*0.4*n);x3=a*x1+b*x2;x4=zeros(1,10), x3;den=1, -0.4,0.75;num=2.2403 2.4908 2.2403;ic=0 0; %设置零初始条件y3=filter(num,den,x3,ic);y4=filter(num,den,x4,ic);%计算输入为x (n)时的输出y(n)%画出输出信号subplot(2,1,1)stem(n,y3);ylab

8、el(振幅);title(yn输出);subplot(2,1,2)stem(n1,y4);ylabel(振幅);title(y1输出);实验3：clf;x=1 3 2;%冲激u=1 1 1; %输入序列y=conv(u,x);n=0:4;stem(n,y);xlabel(时间序号n);ylabel(振幅);title(用卷积得到的输出);grid;实验二（1） 离散时间信号的dtft 一、实验目的. 运用matlab理解z变换及其绘制h(z)的零极点图。. 运用matlab计算逆z变换。二、实验原理（一）、matlab在zt中的应用。 线性时不变离散时间系统的冲激响应h(n)的z变换是其系统函

9、数h(z)， 在matlab中可以利用性质求解z变换，例如可以利用线性卷积求的z变换。若h(z)的收敛域包含单位圆，即系统为稳定系统，即系统在单位圆上处计算的是系统的频率响应。（二）、逆z变换z变换对于分析和表示离散线性时不变系统具有重要作用。但是在matlab中不能直接计算z变换，但是对于一些序列可以进行逆z变换。已知序列的z变换及其收敛域， 求序列称为逆z变换。 序列的z变换及共逆z变换表示如下： 通常，直接计算逆z变换的方法有三种：围线积分法、长除法和部分分式展开法。在实际中，直接计算围线积分比较困难，往往不直接计算围线积分。由于序列的z变换常为有理函数，因此采用部分分式展开法比较切合实

10、际，它是将留数定律和常用序列的z变换相结合的一种方法。设x(n)的z变换x(z)是有理函数，分母多项式是n阶，分子多项式是m阶，将x(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过常用序列的z变换求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。在matlab中提供了函数residuez来实现上述过程，调用格式如下：r，p，k= residuez（b，a）其中b、a分别是有理函数分子多项式的系数和分母多项式的系数，输出r是留数列向量，p是极点列向量。如果分子多项式的阶数大于分母多项式的阶数，则k返回为常数项的系数。三、实验内容与步骤选做一个实验：1、.运行下面程序并显示它，验证离散时间傅立叶变换dt

11、ft的时移性。已知两个线性时不变的因果系统，系统函数分别为 ，分别令n=8，a=0.8，计算并图示这两个系统的零、极点图及幅频特性。程序： 2、运行下面程序并显示它，验证离散时间傅立叶变换dtft的频移性。四、实验仪器设备计算机，matlab软件五、实验注意事项课前预先阅读并理解实验程序；六、实验结果clear num1=1 0 0 0 0 0 0 0 -1;%分子系数高阶到低阶den1=1 0 0 0 0 0 0 0 0;subplot(2,2,1) zplane(num1, den1)grid;title(h1零极点分布图) ;h,w=freqz(num1,den1,200,whole);

12、 %中b和a分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，hf=abs(h); %返回量h则包含了离散系统频响在 0pi范围内n个频率等分点的值（其中n为正整数）subplot(2,2,2); %w则包含了范围内n个频率等分点。plot(w,hf)title(h1幅频响应特性曲线);a=0.8;a=a8;num2=1 0 0 0 0 0 0 0 -1;%分子系数高阶到低阶den2=1 0 0 0 0 0 0 0 a;subplot(2,2,3) zplane(num2, den2);grid;title(h2零极点分布图) ;h,w=freqz(num2,den2,200,whole);

13、 %中b和a分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，hf=abs(h); %返回量h则包含了离散系统频响在 0pi范围内n个频率等分点的值（其中n为正整数）subplot(2,2,4); %w则包含了范围内n个频率等分点。plot(w,hf)title(h2幅频响应特性曲线);实验二（2） 离散傅立叶变换dft一、实验目的. 运用matlab计算有限长序列的dft和idft。. 运用matlab验证离散傅立叶变换的性质。3 .运用matlab计算有限长序列的圆周卷积。二、实验原理（一）、离散傅立叶变换dft的定义一个有限长度的序列x(n)（0nn，在计算离散傅立叶变换之前，对x(n

14、)尾部的l-n个值进行补零。同样，离散傅立叶变换序列x(k)的离散傅立叶逆变换x(n)用函数ifft计算，它也有两种形式。（一）、基本序列的离散傅立叶变换计算n点离散傅立叶变换的一种物理解释就是，xk是x(n)以n为周期的周期延拓序列的离散傅立叶级数系数的主值区间序列，即。例如序列,当n=16时，正好是的一个周期，所以的周期延拓序列就是这种单一频率的正弦序列。而当n=8时，正好是的半个周期，的周期延拓就不再是单一频率的正弦序列，而是含有丰富的谐波成分，其离散傅立叶级数的系数与n=16时的差别很大，因此对信号进行谱分析时，一定要截取整个周期，否则得到错误的频谱。（二）、验证n点dft的物理意义假

15、如x(n)非周期、有限长，则傅立叶变换存在，那么对在n个等间隔频率=2k/n, k=0,1,n-1取样,则可得x(k)。 序列x(n)的n点dft的物理意义是对x()在0，2上进行n点的等间隔采样。（三）、利用fft计算序列的线性卷积 直接计算线性卷积计算量大，并且计算机无法判断y(n)的长度，需要计算多少的y(n)值，若输入为无限长，就更无法计算，其运算量随长度成级数增长。由于可以利用fft对dft进行有效的计算，我们希望能够利用dft来计算线性卷积。设 x(n) 和 h(n) 是长度分别为m和n的有限长序列，令 l=m+n-1，定义两个长度l的有限长序列： (3.4.8) (3.4.9)通

16、过对x(n) 和 h(n)补充零样本值得到上面两个序列。那么： (3.4.10)上面的过程如下图所示：计算线性卷积也可以直接调用函数con来计算，因为matlab中的计时比较粗糙，所以只有m和n较大的时候，才能比较两种方法的执行时间快慢。三、实验内容与步骤（选做一个）. 对复正弦序列，利用matlab程序求当n=16和n=8时的离散傅立叶变换，并显示其图形。.已知, 绘制相应的幅频和相频曲线，并计算n=8和n=16时的dft。 四、实验仪器设备计算机，matlab软件五、实验注意事项课前预先阅读并理解实验程序；六、实验结果k1=16; %序列长n1=16;%dft点数n1=0:1:15; xn

17、1=exp(j*pi/8*n1/k1); %抽样信号 xk1=dft(xn1,n1);subplot(2,2,1);stem(n1,xn1); xlabel(t/t);ylabel(x(n);subplot(2,2,2);stem(n1,xk1);grid;xlabel(k);ylabel(x(k);k2=8; %序列长n2=8;%dft点数n2=0:1:7; xn2=exp(j*pi/8*n2/k2); %抽样信号 xk2=dft(xn2,n2);subplot(2,2,3);stem(n2,xn2); xlabel(t/t);ylabel(x(n);subplot(2,2,4);stem(

18、n2,xk2);grid;xlabel(k);ylabel(x(k);实验三 基于matlab的iir数字滤波器设计一、实验目的. 进一步熟悉iir数字滤波器的理论知识。. 熟悉与iir数字滤波器设计有关的matlab函数。3 . 学会通过matlab，利用脉冲响应不变法和双线性变换法设计iir数字滤波器，加深对数字滤波器的常用指标和设计过程的理解。二、实验原理（一）、低通滤波器的常用指标：通带边缘频率：，阻带边缘频率： ，通带起伏：，通带峰值起伏： ，阻带起伏：最小阻带衰减：。（二）、iir数字滤波器设计目前，设计iir数字滤波器的通用方法是先设计相应的低通滤波器，然后再通过双线性变换法和频

19、率变换得到所需要的数字滤波器。模拟滤波器从功能上分有低通、高通、带通及带阻四种，从类型上分有巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器以及贝塞尔滤波器等。1、利用模拟滤波器设计iir数字低通滤波器的步骤。(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。 脉冲响应不变法：双线性变换法：(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。 (4)将模拟滤波器ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数h(z)。2、下面给出与iir数字滤波器设计有关的matlab文件。（1）

20、buttord.m用来确定数字低通或模拟低通滤波器的阶次，其调用格式分别是a. n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs)b. n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s)格式a对应数字滤波器，式中wp,ws分别是通带和阻带的截止频率，实际上它们是归一化频率，其值在0-1之间，1对应（即对的归一化）。rp,rs分别是通带和阻带衰减，单位为db。n是求出的相应低通滤波器的阶次，wn是求出的3db频率。格式b对应模拟滤波器，式中各个变量的含义和格式a相同，但wp,ws及wn是模拟角频率，单位为rad/s。（2）buttap.m用来设计模拟低通原型（归一化）滤波器ha(p)，其调用

21、的格式为 z , p, k=buttap(n)n是欲设计的低通原型（归一化）滤波器的阶次，z, p和k分别是设计出ha(p)的极点、零点及增益。（3）lp2lp.m将模拟低通原型（归一化）滤波器ha(p)转换为实际的低通滤波器ha(s)。（去归一化），其调用格式为： b，a=lp2lp(b,a,wn)b,a分别是模拟低通原型滤波器ha(p)的分子、分母多项式的系数向量，其中b，a是去归一化后ha(s) 的分子、分母多项式的系数向量, wn为截止频率。（4）bilinear.m实现双线性变换，即由模拟滤波器ha(s)得到数字滤波器h(z)。其调用格式是： bz,az=bilinear(b,a,f

22、s)b，a是去归一化后ha(s) 的分子、分母多项式的系数向量，bz，az是h (z) 的分子、分母多项式的系数向量, fs是抽样频率。（4）impinvar.m由脉冲响应不变法将模拟滤波器ha(s)转换为数字滤波器h(z)。其调用格式是： bz,az= impinvar(b,a,fs)b，a是去归一化后ha(s) 的分子、分母多项式的系数向量，bz，az是h (z) 的分子、分母多项式的系数向量, fs是抽样频率。(5) butter.m用来直接设计巴特沃斯数字滤波器（双线性变换法），实际上它把buttord.m，buttap.m，lp2lp.m及bilinear.m等文件都包含进去，从而使

23、设计过程更简捷，其调用格式为： a. b，a=butter(n, wn) b. b，a=butter(n，wn，s)格式a是设计低通数字滤波器，格式b是设计低通模拟滤波器。b，a是h (z) 的分子、分母多项式的系数向量，wn是截止频率。三、实验内容与步骤以下选做一个. 设计matlab程序，采用脉冲响应不变法设计一个巴特沃斯低通数字滤波器，其通带上限临界频率为400hz，阻带临界频率为600hz，抽样频率是1000hz，在通带内的最大衰减为0.3db, 阻带内的最小衰减为60db，并绘出幅频特性曲线。. 设计matlab程序，采用双线性变换法设计一个巴特沃斯低通数字滤波器，要求在通带0，0.

24、2内衰减不大于3db, 在阻带0.6,内衰减不小于40db，并绘出幅频特性曲线。四、实验仪器设备计算机，matlab软件五、实验要求根据要求独立编程设计，并根据程序运行结果写出滤波器的系统函数六、实验结果选做1：fp=400; %通带上限临界频率fs=600; %阻带临界频率rp=0.3; %通带允许的最大衰减rs=60; %阻带允许的最小衰减fs=1000; %采样频率wp=2*pi*fp; %通带截止平率ws=2*pi*fs; %阻带截止平率%nn=256; n=(0:100-1);%采样点数 n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s); %用于计算阶数和截止平率b,a=but

25、ter(n,wn,s); %计算分子向量b，分母向量aw=linspace(1,400,100)*2*pi; %起始值，终止值，元素个数h=freqs(b,a,w); % 在0,2上进行采样，采样频率点由矢量w指定 figure(1); plot(w/(2*pi),20*log10(abs(h); title(巴特沃斯模拟滤波器幅频特性); xlabel(频率/hz); ylabel(幅度/db); %bz,az=impinvar(b,a,fs); %caiyong冲击响应不变法转换为数字滤波器实验四 基于matlab的fir数字滤波器设计一、实验目的. 进一步熟悉fir数字滤波器的理论知识。

26、. 熟悉与fir数字滤波器设计有关的matlab函数。3. 学会通过matlab，利用窗函数法设计fir数字滤波器。二、实验原理设计fir滤波器实际上是要在满足线性相位的条件下，实现幅度响应的逼近。而一个fir滤波器若是符合线性相位，则必须满足一定的条件，即：一个fir滤波器若是线性相位的，则其单位冲激响应必然满足 n=0,1,n-1 h(n)是关于(n-1)/2对称（奇对称或偶对称）即, (1) h(n)是偶对称序列 (1) h(n) 是奇对称（反对称）序列 设滤波器要求的理想频率响应为hd(ejw) , 那么fir滤波器的设计问题在于寻找一系统函数 ，使其频率响应逼近hd(ejw)。若要求

27、fir滤波器具有线性相位特性，则h(n)必须满足上节所述的对称条件。逼近的方法有三种：窗口设计法（时域逼近）；频率采样法frequency-sampling（频域逼近）；最优化设计optimum equiripple（等波纹逼近）。 窗函数法又称傅立叶级数法，是设计fir数字滤波器的最简单的方法。fir数字滤波器的设计问题就是要使所设计的fir数字滤波器的频率响应h(w)去逼近所要求的理想滤波器的响应hd(w)。从单位采样响应序列来，就是使所设计滤波器的h(n)逼近理想单位采样响应序列hd(n)，这可以用hd(n)和一个窗函数w(n)的乘积来得到。（一）、设计原理。窗函数设计fir数字滤波器的步骤如下：（1）给定要求的频率响应函数hd(w)；（2）计算hd(n)；（3）根据过渡带宽及阻带最小衰减的要求，选定窗的性