材料力学第3章 扭转

1、材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 1 第三章第三章 扭转扭转 3- -1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 3- -2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 3- -3 纯剪切纯剪切 3- -4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 3- -5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 3- -6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 3- -7 非圆截面杆扭转的概述非圆截面杆扭转的概述 * * 3- -8 薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件的自由扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 2 3- -1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 杆的两端

2、承受大小相等、方向相杆的两端承受大小相等、方向相 反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力 偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转 动，这种受力与变形形式称为动，这种受力与变形形式称为扭转扭转 （torsion）。本章主要分析圆轴扭转时）。本章主要分析圆轴扭转时 横截面上的剪应力以及两相邻横截面的横截面上的剪应力以及两相邻横截面的 相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强 度与刚度设计方法。度与刚度设计方法。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 螺丝刀杆工作时受扭螺丝刀杆工作时受扭。 Me 主动力

3、偶主动力偶 阻抗力偶阻抗力偶 扭转的实例扭转的实例 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 扭转的实例扭转的实例 F F M 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 构件特征构件特征：等圆截面直杆。：等圆截面直杆。 M M 受力特征受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 变形特征变形特征：纵向线倾斜一个角度：纵向线倾斜一个角度 ，称为，称为剪切角剪切角 (切应变切应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对转两个横截面之间绕杆轴线发生相对转 动动 ，称为，称为扭转角扭转角。 Me AD B

4、C Me 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 请判断哪一杆件请判断哪一杆件 将发生扭转？将发生扭转？ 当两只手当两只手 用力相等时，用力相等时， 拧紧螺母的工拧紧螺母的工 具杆将产生扭具杆将产生扭 转。转。 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 请判断哪一杆件请判断哪一杆件 将发生扭转？将发生扭转？ 拧紧螺母拧紧螺母 的工具杆不仅的工具杆不仅 产生扭转，而产生扭转，而 且产生剪切。且产生剪切。 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 连接汽轮机连接汽轮机 和发电机的传动和发电机的传

5、动 轴将产生扭转。轴将产生扭转。 请判断哪一件请判断哪一件 将发生扭转？将发生扭转？ 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 请判断轴受哪请判断轴受哪 些力？将发生什些力？将发生什 么变形？么变形？ 工程中承受扭转的圆轴工程中承受扭转的圆轴 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 11 3- -2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 . . 外加扭转力偶矩与功率、转速之间的关系外加扭转力偶矩与功率、转速之间的关系 当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外 力偶在t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮 在t秒钟内的转角a

6、 。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 12 3 min r mNe 3 s radmNe 3 s rad mNekw 10 60 2 10 10 n M M t MP a 因此，在已知传动轴的转速因此，在已知传动轴的转速n( (亦即传动轴上每个轮亦即传动轴上每个轮 的转速的转速) )和主动轮或从动轮所传递的功率和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由之后，即可由 下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：下式计算作用于每一轮上的外力偶矩： min r kw min r 3 kw mNe 9549 2 6010 n P n P M 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 13

7、在传动轴计算中，通常给出传动功率在传动轴计算中，通常给出传动功率P和转递和转递 n，则传动轴所受的外加扭力矩，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式可用下式 计算：计算： e 9549N m P M n 其中其中P为功率，单位为千瓦（为功率，单位为千瓦（kW）；）；n为轴的转为轴的转 速，单位为转速，单位为转/分（分（r/min）。）。 如果功率如果功率P的单位用马力（的单位用马力（1马力马力=735.5 Nm/s），则），则 e 7024N m r / min P M n 马力 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 14 . . 截面法确定圆轴横截面上的扭矩截面法确定圆轴横截面上的扭

8、矩 传动轴横截面上的扭矩传动轴横截面上的扭矩T 可利用可利用截面法截面法来计算。来计算。 T Me Me T T = Me Me Me 1 1 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 15 按右手螺旋 法则确定扭 矩的矢量方 向，扭矩矢 量的指向与 截面的外法 线方向一致 者为正，反 之为负。 负负 正正 . . 扭矩的正负号规则扭矩的正负号规则 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 16 . . 扭矩图扭矩图 如果只在轴的两个端截面作用有外力偶如果只在轴的两个端截面作用有外力偶 矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是 相同的，都等于作用

9、在轴上的外力偶矩。相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。 扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭 矩图。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方矩图。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方 法相似。法相似。 当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩 作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的 ，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 17 20 1 10 mkN 20 mkN 10mkN 10 x o mkNMT/ mk

10、N10 T M mkNMT10 AB段：段： mkN 20 T M mkNM T 20 BC段：段： 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例题 1 圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶， 各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其 中力偶矩的单位为中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为，尺寸单位为mm。 试试 ：画出圆轴的扭矩图。：画出圆轴的扭矩图。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 解：解：1确定控制面确定控制面 外加力偶处截面外加力偶处截面A、 B、C、D均为控制面。均为控制面。 2应用截面法，应用截

11、面法，由由 平衡方程平衡方程 0 x M 确定各段圆轴内的扭矩确定各段圆轴内的扭矩 。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 3建立建立Mxx坐标系，坐标系， 画出扭矩图画出扭矩图 建立建立Mxx坐标系，其坐标系，其 中中x轴平行于圆轴的轴线，轴平行于圆轴的轴线， Mx轴垂直于圆轴的轴线。轴垂直于圆轴的轴线。将将 所求得的各段的扭矩值，标所求得的各段的扭矩值，标 在在Mxx坐标系中，得到相坐标系中，得到相 应的点，过这些点作应的点，过这些点作x轴的轴的 平行线，即得到所需要的扭平行线，即得到所需要的扭 矩图。矩图。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 21 一传动轴如图，

12、转速一传动轴如图，转速 ；主动轮输；主动轮输 入的功率入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别，三个从动轮输出的功率分别 为：为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试试 作轴的扭矩图。作轴的扭矩图。 min r 300n 例题 2 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 22 解解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩 mkN9 .15mN 109 .15mN) 300 500 1055. 9( 33 1 M mkN78. 4mN1078. 4mN) 300 150 1055. 9( 33 32 MM mkN37. 6mN1037. 6mN)

13、300 200 1055. 9( 33 4 M 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 23 2. 计算各段的扭矩 BC段内：mkN78. 4 21 MT AD段内：mkN37. 6 43 MT CA段内：mkN9.56 322 MMT(负) 第三章第三章 扭转扭转 注意这个扭矩是假定为负的 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 24 3. 作扭矩图 由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kNm。 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 A M B M C M 作业：图示传动轴，转速作业：图

14、示传动轴，转速n=500r/minn=500r/min，轮，轮B B为主动轮，输入功率为主动轮，输入功率 P PB B=10kW=10kW，轮，轮A A与轮与轮C C均为从动轮，输出功率分别为均为从动轮，输出功率分别为P PA A=4kW=4kW与与P PC C=6kW=6kW 。试计算轴的扭矩，并画扭矩图。试计算轴的扭矩，并画扭矩图。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 解：解： 9549 n P M A A 500 4 9549 mN 4 .76 9549 n P M B B 500 10 9549 mN 191 9549 n P M C C 500 6 9549 mN 6 .

15、114 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 A M B M C M mNM A 4 .76mNM B 191mNM C 6 .114 1 1 T1 x 0:0 1 A x MTM mNMT A 4 .76 1 2 2 T2 x 0 2 C MT mNMT C 6 .114 2 :0 x M T x 76.4Nm 114.6Nm + + - - 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 28 3- -3 纯剪切纯剪切 一、薄壁圆筒一、薄壁圆筒通常指 的圆筒 10 0 r 当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力 偶矩扭矩(torque) e MT 第三章第三章 扭转扭转

16、 m m T Me l Me m m Me r0O 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 29 . 薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律 第三章第三章 扭转扭转 推论：推论： (1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如 同刚性平面一样； (2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的 距离未变。 Me AD B C Me 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 30 横截面上的应力横截面上的应力： (1) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，且圆周上所 有点处的切应力相同； (2) 对于薄壁

17、圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布； (3) 横截面上无正应力。 第三章第三章 扭转扭转 Mem m x r0 t dA 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 31 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式： TrA A dt由 根据应力分布可知 t 0 2A T 引进，上式亦可写作 2 00 rA t 2 000 0 2)2(dr T rr T Ar T A A TArd 0 t ，于是有 第三章第三章 扭转扭转 Mem m x r0 t dA 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 32 以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从 受扭的薄壁

18、圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面 体单元体单元体。 可得： max . . 单元体单元体 切应力互等定理切应力互等定理 由单元体的平衡条件Fx=0 和 Mz=0 知单元体的上、下两个平面 (即杆的径向截面上)必有大小相等、 指向相反的一对力tdxdz并组成其矩 为(tdxdz)dy 力偶。 第三章第三章 扭转扭转 yzxxzy M z dddddd 0 tt 由 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 33 即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线 垂直的切应力t 和t 数值相等，且均指向(或背离)该两个 面的交线切应力互等定理切应力互等定理。 第三章第三章 扭转扭转

19、材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 34 . . 剪切胡克定律剪切胡克定律(Hookes law in shear) (1) 上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了 ，这种 直角改变量称为切应变(shearing strain)。 (2) 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了角，这种 角位移称为相对扭转角。 (3) 在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是 不沿壁厚变化的，故有 ，此处r0为薄壁圆筒的平 均半径。 l r0 第三章第三章 扭转扭转 Me AD B C Me l 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 35 薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t

20、 不超过 材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T ) 与相对扭转角 成线性正比例关系，从而可知t 与 亦成线 性正比关系：tG 这就是材料的剪切胡克定律剪切胡克定律，式中的比例系数G称为 材料的切变模量切变模量(shear modulus)。 钢材的切变模量的约值为：G =80GPa 第三章第三章 扭转扭转 Me AD B C Me 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 36 纯剪切应力状态下的应变能密度纯剪切应力状态下的应变能密度 第三章第三章 扭转扭转 对处于纯剪切应力状态的单元体(图a)，为计算其上的外 力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力t 仅发生在竖直

21、平 面内而只有右侧面上的外力t dydz在相应的位移 dx上作功。 . . 剪切应变能剪切应变能 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 37 zyxxyzWddd 2 1 ddd 2 1 dtt 于是，当材料在线弹性范围内工作时(t tp，见图b)，有 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 38 t t 2 1 ddd ddd 2 1 d d d d zyx zyx V W V V v 2 2 22 tG v G v或 单元体内蓄积的应变能dV数值上等于单元体上外力所 作功dW，即dV=dW 。单元体单位体积内的应变能，亦即 纯剪切应力状态下的应变能

22、密度为 由剪切胡克定律t =G，该应变能密度的表达式可写为 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 39 平面假定平面假定 变形协调方程变形协调方程 物性关系物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律 静力学方程静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面 上的内力分量上的内力分量扭矩，但是不能确定横截面扭矩，但是不能确定横截面 上各点切应力的大小。为了确定横截面上各点上各点切应力的大小。为了确定横截面上各点 的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横截的剪应力，在确定了

23、扭矩后，还必须知道横截 面上的切应力是怎样分布的。面上的切应力是怎样分布的。 3- -5 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 强度条件强度条件 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 40 . 横截面上的应力 表面 变形 情况 推断 横截面 的变形 情况 ( (问题的几何方面问题的几何方面) ) 横截面 上应变 的变化 规律 横截面上 应力变化 规律 应力-应变关系 ( (问题的物理方面问题的物理方面) ) 内力与应力的关系 横截面上应力 的计算公式 ( (问题的静力学方面问题的静力学方面) ) 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 若将圆轴用同轴柱面分

24、割成许多半径不若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不 等的圆柱，根据上述结论，在等的圆柱，根据上述结论，在dx长度上，虽长度上，虽 然所有圆柱的两端面均转过相同的角度然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d ， 但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同， 半径越小者剪应变越小。半径越小者剪应变越小。 2. 变形协调方程变形协调方程 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 42 1. 表面变形情况： (a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状 未变，小变形情况下它们的间距也未变； (b) 纵向线倾斜了一个角度 。 平面假设等直圆杆受扭转时横截面

25、如同刚性平面绕杆的 轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。 推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。 (1) 几何方面 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 43 2. 横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律： x EG GG d d tan 即 x d d 第三章第三章 扭转扭转 b b TT O1 O2 d G G D D a adx A E E A O1 D d D G G O2 d/2 dx 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 44 x d d 式中 相对扭转角 沿杆长的变化率，常用 来表 示，对于给定的横截面为常量。 xd

26、d 可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切应变 均相同； 与 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。 第三章第三章 扭转扭转 b b TT O1 O2 d G G D D a adx A E 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 45 x GG d d t (2) 物理方面 由剪切胡克定律 t G 知 第三章第三章 扭转扭转 可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切 应力t 均相同，其值 与 成正比，其方向垂直于半径。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 46 pp I T GI T G t (3) 静力学方面 其中 称为横截面的极惯性矩Ip， 它是横截面的几何性

27、质。 A Ad 2 dTA A t 从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点 处切应力计算公式 p d d GI T x A AId 2 p 以 代入上式得： 第三章第三章 扭转扭转 TA x G A d d d 2 即 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 47 ppp max W T r I T I Tr t p I T t T max t max t d 式中Wp称为扭转截面系数，其单 位为 m3。 横截面周边上各点处 r)的最大 切应力为 第三章第三章 扭转扭转 T max t max t d D 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 48 实心圆截面：

28、32 d2 4 2 0 3 d d 圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp 第三章第三章 扭转扭转 16 2/ 3 p p d d I W A AId 2 p 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 49 思考：思考：对于空心圆截面， ,其原因是什么？ 3 3 p 1 16 a D W 空心圆截面： D d D dD AI D d A a a 其中 4 4 44 2 2 32 p 1 32 32 d2d 第三章第三章 扭转扭转 4 344 p p 1 16 16 2/ a D D dD D I W 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 A AId 2 P x GG d d t

29、 P d d GI M x x A x MAtd 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 51 现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef (如图)上的应力。 . . 斜截面上的应力斜截面上的应力 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 52 分离体上作用力的平衡方程为 0sinsindcoscosdd , 0 0cossindsincosdd , 0 aataatt aataat a a AAA F AAA F 利用t t ，经整理得 attat aa 2cos,2sin 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案

30、53 由此可知： (1) 单元体的四个侧面(a = 0和 a = 90)上切应力的 绝对值最大； (2) a =-45和a =+45截面上切应力为零，而正应 力的绝对值最大； t t min 45 max 45 ，如图所示。 第三章第三章 扭转扭转 attat aa 2cos,2sin 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 54 至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平面的任意 斜截面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单 元体四个侧面上的切应力相关。因此这种应力状态称为纯纯 剪切应力状态剪切应力状态。 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 0

31、0 t tG ：材料的切变模量：材料的切变模量 单位与单位与 ：拉：拉( (压压) )弹性模量相弹性模量相 同同： 、 、 ： 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 受扭圆轴失效的两种形式：受扭圆轴失效的两种形式： 塑性材料塑性材料：首先发生屈服，在试样表面的横向和纵：首先发生屈服，在试样表面的横向和纵 向出现滑移线，最后沿横截面被剪断。向出现滑移线，最后沿横截面被剪断。 一、扭转失效一、扭转失效 低碳钢试件：低碳钢试件： 沿横截面断开。沿横截面断开。 )( u 屈屈服服极极限限塑塑性性材材料料的的极极限限切切应应力力 s t tt t 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案

32、 脆性材料脆性材料：变形很小，在与轴线约成：变形很小，在与轴线约成45的面上的面上断裂。断裂。 n u t t t t 许许用用切切应应力力 铸铁试件：铸铁试件： 沿与轴线约成沿与轴线约成4545 的螺旋的螺旋 线断开。线断开。 （强度极限）脆性材料的极限切应力 bu tt 对于塑性材料对于塑性材料 t t (0.5一一0.6) 对于脆性材料，对于脆性材料， t t (0.81.0)t 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 58 低碳钢扭转试验开始 第三章第三章 扭转扭转 低碳钢扭转试验结束 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 59 低碳钢扭转破坏断口 第三章第三章 扭转

33、扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 60 铸铁扭转破坏试验过程 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 61 铸铁扭转破坏断口 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 62 思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口 分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？ 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 63 例题例题 实心圆截面轴(图a)和空心圆截面轴(图b) （ ）除横截面不同外，其它均相同。试求两 种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以 及两轴的重

34、量比。 8 . 0/ 22 Dda 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 64 3 1 e 1p e 1p 1 max, 1 16 d M W M W T t 43 2 e 2p e 2p 2 max, 2 1 16 a t D M W M W T 解： 4 3 2 2p 3 1 1p 1 16 , 16 a D W d W 第三章第三章 扭转扭转 194. 1 8 . 01 1 3 4 1 2 d D 由t1,max=t2,max，并将a 0.8代入得 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 65 两轴的重量比即为其横截面面积之比： 512. 08

35、. 01194. 1 1 4 4 22 2 1 22 2 2 1 2 2 2 2 1 2 d D d dD A Aa 空心圆轴的自重比 实心圆轴轻。实际 应用中，尚需考虑 加工等因素。 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 已知：已知：P7.5kW, n=100r/min,最大切应最大切应 力力不得超过不得超过40MPa,空空 心圆轴的内外直径之比心圆轴的内外直径之比 a a = 0.5。二轴长度相同。二轴长度相同。 求求: 实心轴的直径实心轴的直径d1和空心和空心 轴的外直径轴的外直径D2；确定二轴；确定二轴 的重量之比。的重量之比。 材材 料料 力力 学学

36、 电电 子子 教教 案案 首先根据轴所传递的功率首先根据轴所传递的功率 计算作用在轴上的扭矩计算作用在轴上的扭矩 75 954995497162N m 100 . . x P MT n m ax1 3 11 16 40M P a xx P MM Wd t 3 1 6 16 7162 0045m=45mm 40 10 . .d 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 max2 34 2 2 16 40MPa 1 xx P MM WD t a 3 2 46 16 716 2 0 046m=46mm 1-40 10 . .D a 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 解：确定实心轴

37、与空心轴的重量之比解：确定实心轴与空心轴的重量之比 空心轴空心轴 D246 mm d223 mm 实心轴实心轴 d1=45 mm 在长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横在长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横 截面面积之比：截面面积之比： 28. 1 5 . 01 1 1046 1045 1 2 2 3 3 22 2 2 1 2 1 aD d A A 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材 料的切变模量分别为料的切变模量分别为G1和和G2，且，且G12G2。圆轴尺。圆轴尺 寸如图所示。寸如图所示。 圆轴受扭

38、时，里、外层之间无相对滑动。关圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关 于横截面上的剪应力分布，有图中（于横截面上的剪应力分布，有图中（A）、（、（B）、 （C）、（、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是所示的四种结论，请判断哪一种是 正确的？正确的？ 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动， 这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。 根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭 后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相后依然保持平

39、面，即其直径保持为直线，但要相 当于原来的位置转过一角度。当于原来的位置转过一角度。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 因此，在里、外层交界处二者具有相同因此，在里、外层交界处二者具有相同 的剪应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹的剪应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹 性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量 （G12G2），所以内层在二者交界处的剪应力，所以内层在二者交界处的剪应力 一定大于外层在二者交界处的剪应力。据此，一定大于外层在二者交界处的剪应力。据此， 答案答案（A）和和（B）都是不正确的。都是不正确的。 材材 料料 力力 学

40、学 电电 子子 教教 案案 在答案（在答案（D D）中，外层在二者交界处）中，外层在二者交界处 的剪应力等于零，这也是不正确的，因为外的剪应力等于零，这也是不正确的，因为外 层在二者交界处的剪应变不为零，根据剪切层在二者交界处的剪应变不为零，根据剪切 胡克定律，剪应力也不可能等于零。胡克定律，剪应力也不可能等于零。 根据以上分析，正确答案是（根据以上分析，正确答案是（C C）。）。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 74 与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭 转时安全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的最转时安全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的

41、最 大剪应力大剪应力t tmax max限制在一定的数值以下，即： 限制在一定的数值以下，即： ,max max p x M W tt 这一关系式称为受扭圆轴的这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则强度设计准则，或，或 称圆轴扭转的强度条件。称圆轴扭转的强度条件。 . 强度条件强度条件 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 75 max tt 此处t为材料的许用切应力。对于等直圆 轴亦即 p max t W T 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿 斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的 拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可 以切应力和许用切应力来表达强度条件。 第三章第三

42、章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 76 ,max max p x M W tt t t 为许用剪应为许用剪应 力；力； t t max max 是指圆轴所有横截面上最大剪应力 是指圆轴所有横截面上最大剪应力 中的最大者，对于等截面圆轴，最大剪应力发生在中的最大者，对于等截面圆轴，最大剪应力发生在 扭矩最大的横截面上的边缘各点；扭矩最大的横截面上的边缘各点； 对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一 定发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩定发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩M Mx x和和 相应扭转截面模量相应扭转截面模量

43、W WP P的数值综合考虑才能确定。的数值综合考虑才能确定。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 77 对于等截面圆轴：对于等截面圆轴： max max t tt t P W T 强度计算的三类问题：强度计算的三类问题： 校核强度：校核强度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：计算许可载荷： max t t P W T max t t T WP max t t P WT .)1( 16 , 16 4 3 3 空心空心 实心实心 a a D d WP 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 78 例题例题 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直 径d

44、2=100 mm。扭转力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用切应力t 80 MPa。试校核该轴的强 度。 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 79 BC段内 MPa3 .71Pa103 .71 m10100 16 mN1014 6 3 3 3 2p 2 max, 2 W T t AB段内 MPa8 .64Pa108 .64 m10120 16 mN1022 6 3 3 3 1p 1 max, 1 W T t 解：解：1. 绘扭矩图 2. 求每段轴的横截面上 的最大切应力 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学

45、学 电电 子子 教教 案案 80 3. 校核强度 需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应 力集中现象，在以上计算中对此并未考核。 t2,max t1,max，但有 t2,maxt = 80MPa，故 该轴满足强度条件。 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 l l (a) (b) d d2 D2 t t T WP 3 16 d 3 16 t t T d 3 6 3 1050 )105 . 1(16 m0535. 0 mm5 .53 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 l l (a) (b) d d2 D2 t t T WP )1( 16 43

46、 2 a a D 3 4 2 )1( 16 t ta a T D 3 64 3 )1050)(9 . 01( )105 . 1(16 m0763. 0 mm3 .76 22 9 . 0Dd mm3 .769 . 0 mm7 .68 。，取取mm68mm76 22 dD 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 l l (a) (b) d d2 D2 。，取取mm68mm76 22 dD 实心实心 空心空心 W W glA glA 实心实心 空心空心 实心实心 空心空心 A A 4/ 4/ )( 2 2 2 2 2 d dD 2 2 2 2 2 d dD 2 22 54 6876 395.

47、 0 %5 .39 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 84 P P1 1=14kW, =14kW, P P2 2= = P P3 3= = P P1 1/2=7 kW/2=7 kW n n1 1= =n n2 2= 120r/min= 120r/min 360r/minr/min 12 36 120 3 1 13 z z nn 解：解：1 1、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转速 2 2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩 例题例题 3 求求: :各各轴轴横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力； 并校核各轴强度。并校核各轴强度。 已知：已知：输入功率输入功率P P1 114k

48、W,14kW,P P2 2= = P P3 3= =P P1 1/2/2，n n1 1= =n n2 2=120r/min,=120r/min, z z1 1=36,z=36,z3 3=12;=12;d d1 1=70mm, =70mm, d d 2 2=50mm, =50mm, d d3 3=35mm.=35mm. t t=3 30 0MPaMPa。. . T T1 1=M=M1 1=1114 N m=1114 N m T T2 2=M=M2 2=557 N m=557 N m T T3 3=M=M3 3=185.7 N m=185.7 N m 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案

49、 85 1 max 3-9 1 16 1114 EPa16.54MPa 7010 t T W t 2 max 3-9 2 16 557 HPa22.69MPa 5010 t T W t 3 max 3-9 3 16 185.7 CPa21.98MPa 3510 t T W t 3 3、计算各轴的横截面上的、计算各轴的横截面上的 最大切应力；最大切应力；校核各轴校核各轴 强度强度 3 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 86 3-5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形刚度条件刚度条件 . 扭转时的变形扭转时的变形 等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相 对角位移) 来

50、度量。 第三章第三章 扭转扭转 Me AD B C Me 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 87 当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切 变模量G为常量时有 p GI Tl 由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭 转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的 相对扭转角为 p d d GI T x l l x GI T 0 p dd 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 88 对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面 的相对扭转角为： P x M l GI 对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯 状圆轴，轴两端面的相对

51、扭转角为： 1 n xi i i Pi Ml GI 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 89 解：解： 1. 各段轴的横截面上的扭矩： mN637 ,mN955 21 TT 例题例题 图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 Nm， M2 = 955 Nm，M3 = 637 Nm，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm， d = 70 mm ，钢的切变模量G = 80 GPa。试求横截面C相对 于B的扭转角CB(这里相对扭转角的下角标的注法与书上 不同，以下亦如此)。 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 90 rad1069. 1

52、 m1070 32 Pa1080 m10500mN637 3 4 39 3 P 2 GI lT AC CA 3. 横截面C相对于B的扭转角： rad1017. 0rad1069. 1rad1052. 1 333 CAABCB rad1052. 1 m1070 32 Pa1080 m10300mN955 3 4 39 3 P 1 GI lT AB AB 2. 各段轴的两个端面间的相对扭转角： 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 91 在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映 圆轴扭转变形的程度，因而更多采用单位长度扭转 角表示圆轴的扭转变形，单位长度扭转角即扭

53、转角 的变化率。单位长度相对扭转角为： l p GI T . . 刚度条件刚度条件 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 92 max p max GI T 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 93 式中的许可单位长度扭转角的常用单位是()/m。此时， 等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为： 对于精密机器的轴0.150.30 ()/m； 对于一般的传动轴2 ()/m。 第三章第三章 扭转扭转 max 180 p max GI T 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 94 p GI T p G T I p GIT p max GI T 材材 料料 力力 学学 电电

54、子子 教教 案案 95 max T Wt t 例例 某传动轴所承受的扭矩某传动轴所承受的扭矩T=200NmT=200Nm，轴的直径轴的直径d=40mmd=40mm，材材 料的料的 =40MPa=40MPa，剪切弹性模量剪切弹性模量G=80GPaG=80GPa，许可单位长度转许可单位长度转 角角 / /=1 =1 / /m m。试校核轴的强度和刚度。试校核轴的强度和刚度。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 96 解解: 1. 按强度条件求所需外直径D 有由因 , 16 15 16 1 16 p max max 3 4 3 p tta W TDD W m10109 Pa1040 16

55、 15 mN1056. 916 16 15 16 3 6 3 max 3 3 t T D 例题例题 由45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a = 0.5 。已知材料的许用切应力t = 40 MPa，切变模量G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax = 9.56 kNm， 轴的许可单位长度扭转角=0.3 ()/m。试选择轴的直径。 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 97 2. 按刚度条件求所需外直径D 有由因 180 , 16 15 32 1 32 p max 4 4 4 p a GI TDD I m105 .125 m/ )(3 .

56、 0 1 180 16 15 Pa1080 mN1056. 932 1 180 16 15 32 3 9 3 max 4 4 G T D mm75.62d 3. 空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度条件 控制)，内直径则根据a = d/D = 0.5知 第三章第三章 扭转扭转 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 98 例例 传动轴的转速为传动轴的转速为n=500r/min，主动轮，主动轮A 输入功率输入功率 P1=400kW，从动轮，从动轮C，B 分别输出功率分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。 已知已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)试确

57、定试确定AC 段的直径段的直径d1 和和BC 段的直径段的直径d2； (2)若若AC 和和BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? 1e M A B C 2e M 3e M 1 d 2 d 1 11 9549 e P TM n mN7640 500 400 9549 231 240 4580N m 400 e TMT 解：解： 1.1.外力偶矩外力偶矩 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 99 2.2.扭矩图扭矩图 mm2 .82m102 .82 1070 764016 16 3 3

58、 6 3 1 t T d 按刚度条件按刚度条件 mm4 .86m104 .86 11080 180764032 18032 3 4 29 4 2 1 G T d 3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件 mN7640 mN4580 mm4 .86 1 d 1e M A B C 2e M 3e M 1 d 2 d t t 3 1 max 16 d T 18032 4 1 max dG T 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 100 按刚度条件按刚度条件 4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件 1e M A B C 2e M 3e M 1 d 2 d mN7640 mN4580 mm3 .69m103 .69 1070 458016 16 3 3 6 3 2 t T d mm76m1076 11080 180458032 18032 3 4 29 4 2 2 G T d mm76 2 d 5.5.选同一直径时选同一直径时 mm4 .86 1 dd 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 101 6.6.将将主动轮安装在主动轮安装在 两从动轮之间两从动轮之间 1e M A B C 2e M 3e