材料力学-第二章轴向拉伸和压缩

1、 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 材材 料料 力力 学学 CHPTER 2012. 1 2 材材 料料 力力 学学 CHPTER 2012. 1 2 轴向拉伸和压缩 魏 媛 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 2.1 轴向拉伸和压缩的概念和实例 2.2 轴向拉伸和压缩时的内力和应力 2.3 材料在轴向拉伸和压缩时的力学性质 第二章 轴向拉伸和压缩 2.4 许用应力、安全系数和强度条件 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 2.5 轴向拉伸或压缩时的变形 2

2、.6 轴向拉伸或压缩时的弹性变形能 2.7 拉伸、压缩超静定问题 2.8 应力集中的概念 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 轴向压缩 2.1 轴向拉伸和压缩 的概念和实例 一.实例 轴向拉伸 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 二.外力 外力作用特点: 力通过轴线 变形特点(主要): 沿轴线方向伸长或缩短 受 力 简 图： 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 2.2 轴向拉伸和压缩时 的内力和应力 截面法： 1.截 .取（任取） .代 1、FN 为内力,因过轴线,称轴力 2、轴力FN

3、的符号规定: .平 拉为正、压为负 说 明 F I 0 x FFF N 一.横截面上的内力 FF III FN 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 轴力图 当杆件受多个外力作用时，各段的内力将 发生变化，为了明显地表现出轴力的大小、正 负，引出内力图 取定坐标轴 取定比例尺 标出特征值 轴力图的画法 x FN（单位） 2012.Wei Yuan. All rights reserved. F1 F2 F3 例 1 已知:F1=2.62kNF2=1.3kNF3=1.32kN 解: FN1 F1 F3 FN2 0 1 1 FFN 1 1 FFN 0 3 2 FF

4、N 3 2 FFN压力 试判断危险截面（画轴力图） 1.用截面法求内力 压力 2. 画轴力图: 2.62 1.32 FN(kN) x o 1 1 1 1 2 2 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 二.横截面上的应力 FF A1 1 FF A2 A2A1,F相同,哪个危险？ F1F1 A1 F2F2 A2 A2A1,F2F1, 哪个安全? 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 2.推理: 面平移 4.平衡方程: 1.实验观察: AAAF AA N dd A FN 直线平移 3.假设：平面假设 = C2 = C1, , F F

5、N 公式推导 bb aa F F aa bb F 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 1. 外力作用线必须与杆件轴线重合。 2. 若轴力沿轴线变化，先作轴力图，再求各面 上的应力。 4.公式只在距外力作用点较远 处才适用。 xA xF x N 3.若截面尺寸沿轴线缓慢变化，公式近似为 A(x) x l F 说明 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 圣维南原理: b 加力点附近区域应力分布比较复杂， 公式不适用。当 公式仍适用。 ba 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 例2. 一悬臂吊车

6、，载荷 F=15kN， 当F 移到A点时m8 . 0BC m9 . 1AC 1.求外力 A F FAB FAC 0 y F0sinFFAB sin F FAB得 388. 0 9 . 18 . 0 8 . 0 sin 22 kN7 .38 388. 0 15 AB F 解： A B C F mmd20 x y o 求AB 杆横截面上的应力。 kN7 .38 ABN FF 2.求内力 3.求应力 23 3 )1020( 4 107 .38 MPa123 A FN AB A FAB MPa123 AB 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 三.直杆拉伸和压缩时斜截

7、面上的应力 F F F 斜面上全应力 cos cos cos A F A F A F p 斜面上正应力 斜面上切应力 2sin 2 2 cos 应力分解: F 斜面上内力:FF F p A A F cosp sincossin p 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 讨论 1. ， 是三角函数 2. ， 有极值 3. 符号规定: 4.列表找出max、max x n 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 900 00 0 max max 2 450 2 2 2 00 -450 2 2012.Wei Yuan. All righ

8、ts reserved. 前面计算的是构件所受到的工作载荷 及工作应力,至于构件能否承受这些应 力,要了解材料本身的性质,而了解材料 的最好也是唯一的办法就是试验。 结论 粉笔拉伸、压缩破坏断口是什么样的？ 是什么应力引起的破坏? max发生在横截面 max发生在与轴线成450斜面上 轴向拉压 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 3.3 材料在轴向拉伸 压缩时的力学性质 实验条件: 常温、静载 实验设备: 万能实验机 标准试件:国标 材 料 分 类 塑性材料断裂前发生较大的塑性 变形(如低碳钢) 脆性材料断裂前发生较少的塑性 变形(如铸铁) 实验 2012.

9、Wei Yuan. All rights reserved. 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 拉、压实验属破坏性实验 标准试件 拉、压一直到断(破坏) 测量尺寸 选实验机 观察实验过程试件、载荷（指针）、 图的变化 得到 坏的件 数值 图 L 变形图F 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 计算指标 分析结果 数值 破坏形状 原因分析 比较 不同材料相同受力 相同材料不同受力 材料的指标、 破坏形式 了解材料在拉、压时的力学性质 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 一、低碳钢的拉伸 F

10、 L o o 2012.Wei Yuan. All rights reserved. Conventional and true stress-strain diagrams for ductile material (steel) s P o e b yield stress elastic limit proportional limit elastic region yieldingstrain hardening necking elastic behavior plastic behavior ultimate stress fracture stress 2012.Wei Yuan

11、. All rights reserved. 四个阶段 1.弹性阶段 P e 特点: 变形为弹性 oa 直线段内tan E-弹性模量 力学指标: p 比例极限 e 弹性极限 虎克定律E o a b 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 指针摆动，试件表面 出现 划移线。 o 45 2.屈服阶段 s 屈服极限屈服极限 A Fs s 特点: 绝大部分为塑性变形 s c p o e 力学指标: 表达式: 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 3.强化阶段 大部分为塑性变形 特点： 卸载定律-直线规律 冷作硬化现象 力学指标: b 强

12、度极限 A F b b e s p o e b 表达式: 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 4.颈缩阶段 特点：大部分为塑性变形 局部颈缩断口杯状 s p o e b 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 颈缩颈缩破坏破坏 低碳钢的拉伸实验现象低碳钢的拉伸实验现象 What reason is the specimen broken? 什么应力引起的破坏？什么应力引起的破坏？ 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 强度

13、指标 塑性指标 %100 1 l ll 伸长率 %100 1 A AA 断面收缩率 %5为塑材%5为脆材 A F b b A Fs s 屈服极限 强度极限 如何区分塑性材料和脆性材料？ 2012.Wei Yuan. All rights reserved. o fp 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 二、其他塑性材料拉伸时的力学性质 共性：有直线段,塑性变形较大,强度极限较高 不同: 多数塑性材料无明显屈服平台 条件屈服极限0.2： 产生0.2%的塑性变形 所对应的应力。 2 . 0

14、2 . 0 (%) o 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 三、铸铁拉伸 tb 较小。断口沿横截面， 平齐、粗 糙 - 微弯曲线，近 似直线, = E , tb o 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 铸铁拉伸铸铁拉伸 什么应力引起的破坏？什么应力引起的破坏？ 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 四、压缩 1. 低碳钢压缩 与拉伸比较EEE ct sscst 得不到b，压短而不断裂， s 以屈服极限作为破坏依据。 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 2

15、.铸铁压缩 cbtb 断口沿与轴线大致 成450面错开 cb 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 五、材料的塑性和脆性及其相对性 常温、静载下 塑性材料的塑性指标高，强度指标 是屈服极限 bs ， csts b 脆性材料的塑性指标低，强度指标 是强度极限 cbtb 温度发生变化时，材料的性质也会随之发生 改变 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 温度影响温度影响 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 3.4 许用应力、 安全系数和强度条件 一、工作应力 构件受到的 A FN 二、极限应力u

16、 材料不失效（破坏）所能承受的最大应力 塑性材料u= s脆性材料u tb cb 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 三、安全系数与许用应力 脆性材料 n tb t n cb c 四、强度条件 对于等直杆 A F Nmax max 塑性材料 n s 许用应力 n u 安全系数：n 1， 5 . 325 . 22 . 1 bs nn 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 五、强度条件可解决的三类问题： 不安全安全 1.校核:已知外力、截面、材料 2.设计：已知外力、材料,可求 NF 3.确定许可载荷:已知截面 材料,可求 AF

17、2.内力分析（画FN图，得FNmax） 步骤 1. 外力分析 A F Nmax max 3.用 作校核、设计、确载计算。 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 例3 已知：吊杆材料的许用应力， MPa80 铁水包自重为8kN，最多能容30kN重的铁水。试 校核吊杆的强度。 25 1.吊杆外力 kN19 2 830 F 解： 2.吊杆内力 kN19 FFN 3.校核吊杆强度 A FN max 吊杆满足强度条件 6 3 105025 1019 MPa2.15 50 max 2012.Wei Yuan. All rights reserved. b h 例4 连杆A

18、B接近水平，镦压力MN78. 3F 横截面为矩形 MPa90试设计截面尺寸。 4 . 1 b h F F 解： 2. 求轴力FN 3. 由强度条件 A F Nmax max A B 工件工件锤头锤头 1. 求杆AB的外力 MN78. 3F MN78. 3 FFN N F A 22 cm4204 . 1 4 . 1 bbhA bh cm3 .24 cm3 .17 h b 2 cm420 6 6 1090 1078. 3 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 030sin0 030cos0 0 0 FFF FFF ABy ABACx 解：1.求杆AC和杆AB的外力

19、 例5 木杆AC钢杆AB MPa7 1 载荷在A处时，求许可吊重F 。 2 1 cm100A 2 2 cm6A MPa160 2 00 30tan , 30sin F F F F ACAB 解解得得： ABNACN FFFF ABAC 2. 杆AB、AC 的轴力 A B C F 30 x y o A F FAB FAC 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 3. 由强度条件 A F Nmax max 得 1 0 11 30tanAF 同理可得 kN48 2 F 许可吊重 kN5 .40F 1 A FNAC AC 1 0 1 1 30tan AC A F A F

20、 A B C F 30 kN5 .4010100 3 3 107 46 1 F 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 3.5 轴向拉伸和 压缩时的变形 一.纵向变形和横向变形 主要变形-纵向变形 l l lll 1 纵向应变 2012.Wei Yuan. All rights reserved. bbb 1 b b 次要变形-横向变形 泊松比(横向变形系数) 横向应变 试验表明:在线弹性范围内 b 1 b 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 二. 虎克定律 当 时C EA lF l E ll N EA-抗拉(压)刚度 虎克定

21、律的两种表达式： E EA lF l N 由实验知: p E E Hookes law p o 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 说明 2.当FN(x), A(x)沿轴线变化时，取微段dx 后 再积分 l N xEA xxF l )( d)( A(x) x l F 1.当FN , EA 沿轴线为分段常数时 n i ii ii N AE lF l 1 1 l 2 l F2 F1 3 l 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 例6 已知: 求: B u max 解: 1.求各段内力 iB lu mm024. 004. 002.

22、 0036. 0 321 lll mm024. 0 B u kN305020 1 N F kN20 2 N FkN20 3 N F i l有正负 ll l F Fmm100mm120kN20kN50 32121 2.求uB GPa200mm250mm500 2 3 2 21 E A AA 1 l 2 l F2 F1 3 l 30 20 FN(kN) x 11 1 1 1 AE lF l N 49 3 1050010200 1012030 mm036. 0 同理 mm02. 0 2 lmm04. 0 3 l 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 1 1 1 l

23、l 同理 4 3 4 2 100 . 4100 . 2 4 max 100 . 4 无量纲 i ii i EA F E 或或 i i i l l 3.求max 1 l 2 l F2 F1 3 l 4 3 5 100 . 3 10120 106 . 3 2012.Wei Yuan. All rights reserved. The rigid bar BDE is supported by two links AB and CD. Link AB is made of aluminum (E = 70 GPa) and has a cross-sectional area of 500 mm2.

24、 Link CD is made of steel (E = 200 GPa) and has a cross-sectional area of (600 mm2). For the 30-kN force shown, determine the deflection a) of B, b) of D, and c) of E. SOLUTION: Apply a free-body analysis to the bar BDE to find the forces exerted by links AB and DC. Evaluate the deformation of links

25、 AB and DC or the displacements of B and D. Work out the geometry to find the deflection at E given the deflections at B and D. 2012.Wei Yuan. All rights reserved. Displacement of B: m10514 Pa1070m10500 m3 . 0N1060 6 926- 3 AE PL B mm 514. 0 B Displacement of D: m10300 Pa10200m10600 m4 . 0N1090 6 92

26、6- 3 AE PL D mm 300. 0 D Free body: Bar BDE ncompressio kN60 m2 . 0m4 . 0kN300 0 tensionkN90 m2 . 0m6 . 0kN300 0 AB AB D CD CD B F F M F F M SOLUTION: 2012.Wei Yuan. All rights reserved. Displacement of E: mm 7 .73 mm 200 mm 0.300 mm 514. 0 x x x HD BH DD BB mm 928. 1 E mm 928. 1 mm 7 .73 mm7 .73400

27、 mm 300. 0 E E HD HE DD EE 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 例7 已知: EAlF, 求: max l 解: 内力计算gAxFxFN)( F )(xFN 应力计算 A xF x N )( )( A F N max max 变形计算 l N EA xxF l d)( 注意内力为x 的函数 gl A F A gAlF E l g EA Fl x EA gAxF l 2 d )( 2 0 x FN F F+gAx F x 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 例8 已知:FEdl,求: A cos2

28、21 F FF 4.位移分析 cos 2 l A 注意: 小变形条件的应用 解: 1.求外力 3.计算变形 EA lF ll N 1 21 2 l F1F2 F 2.求内力 2121 FFFF NN 2 cos2EA Fl F A 12 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 3.6 轴向拉伸和压缩 时的弹性变形能 一、变形能的概念和功能原理 做功W 变形能U 不计其他能量损失 U=W 功能原理 杆件变形 l F 外力 o l 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 二、轴向拉压杆的变形能及比能 lFFWU 2 1 2 1 对线弹

29、性体： F F l l 外力作用点位移 o l l F l EA lF U N 2 2 故 比能 E u 22 1 2 EA lF l N 利用功能原理可求力的作用点位移 2012.Wei Yuan. All rights reserved. B FBC F FBD 例9 BD为无缝钢管,外径90cm,壁厚2.5mm, lBC=3m , E=30GPa 。BC是两条钢索，面积为 2 mm82.171 kN30F 求： B 解： o 45 o 75 B D C F GPa177 1 E 1. 求外力 075cos45cos0 075sin45sin0 00 00 FFFF FFF BCBDy B

30、CBDx 2. 求内力 FNBC 、 FNBD 解得: FBC=1.41F FBD=1.93F FNBC=1.41F FNBD=1.93F 2012.Wei Yuan. All rights reserved. BDBC UUW B FW 2 1 F EA lF AE lF BDBDBCBC B 2 11 2 o 45 o 75 B D C F 4. 求 W 5. 由 W =U 解得 3. 求 UBC 和 UBD 11 2 2AE lF U BCN BC BC A1=2171.82mm2 EA lF U BDN BD BD 2 2 2012.Wei Yuan. All rights reser

31、ved. 3.7 拉伸和压缩 超静定问题 一、超静定的概念 超静定:未知力数 独立平衡方程数 称超静定问题结构称超静定结构 F l1 l2 P P 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 二、超静定问题的解法(步骤) 1.判定次数 超静定次数=全部未知力数- 有效静力平衡方程数 14263n 224n 2.列出静力平衡方程(外力内力） F l1 l2 112n l1 F l2 F1 F2 FFF 21 P P 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 3.补充方程 补充方程数 = 静不定的次数. 几何方程 物理方程 4.联立平衡方程

32、和补充方程即可求出全部 未知力。 F l1l2 21 ll EA lF l EA lF l 22 2 11 1 l1 F l2 F1 F 2 补充方程 EA lF EA lF 2211 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 例10 已知： 解：1.一次超静定 2.平衡方程： 求求: :各杆内力各杆内力 0coscos0 0sinsin0 213 21 FFFFF FFF NNNy NNx 4.物理方程： 33212121 AEEEAAll 3.几何方程： 213 coslll 33 3 3 22 2 2 11 1 1 321 AE lF l AE lF l A

33、E lF l NNN F A 1 3 2 F A FN1 FN3 FN2 1 l A 3 l 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 补充方程： cos cos 11 1 33 3 13 AE lF AE lF NN 5.联立求解平+补 解得： 11 33 3 2 cos2 cos 21 AE AE F FF NN 3 33 11 cos21 3 AE AE F FN 0coscos 0sinsin 213 21 FFFF FF NNN NN 213 coslll 33 3 3 22 2 2 11 1 1 321 AE lF l AE lF l AE lF l

34、NNN F A 1 3 2 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 1.超静定结构的特点 超静定结构的内力与该杆的刚度及各杆的 刚度有关, 超静定结构的内力与材料有关， 这是与静定结构的最大差别。 内力与自身的刚度成正比,这使力按刚度 来合理分配,这也是超静定结构的最大特点 合理分配载荷。 讨论 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 2.变形分析中要画出变形图 变形的可能性 （变形位置不任意,但又不唯一) 变形的一般性 (不能用特殊位置,要有条件） 变形与受力的一致性 2012.Wei Yuan. All rights rese

35、rved. 例11 AB为刚体，杆1、2、3的长 度l、EA均相等。求：三杆轴力。 解：解： 2. 平衡方程 020 00 21 321 aFaFM FFFFF NNB NNNy 3. 几何方程 231 2 lll 4. 物理方程 22 2 33 3 11 1 231 2 AE lF AE lF AE lF NNN 1. 此结构为一次超静定 解(a) (b)得 6 5 36 321 F , F F , F F F NNN AiE lF l i iNi i 123 l aa F ACB F FN1FN2FN3 由上两式，得 (a) (b) 1 2 3 aa 1 l 2 l 3 l B C A B CA 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 三、装配应力 1.什么叫装配应力？ 在超静定中,由于制造误差,使结构 在未受力之前就使结构中存在的应力(初应力)