分块矩阵在行列式计算中的应用

1、南 阳 理 工 学 院 本科生毕业设计（论文）学院（部）： 数理学院 专 业： 数学与应用数学 学 生： 童家祎 指导 教师： 宋苏罗 完成日期 2013 年 5 月南阳理工学院本科生毕业设计（论文）分块矩阵在行列式计算中的应用the application of block matrix in computing determinant总计：毕业设计（论文）25页表 格： 0 个插 图： 0 幅分块矩阵在行列式计算中的应用南 阳 理 工 学 院 本 科 毕 业 设 计（论文）分块矩阵在行列式计算中的应用the application of block matrix in computing

2、determinant学 院 （系）： 数理学院 专 业： 数学与应用数学 学 生 姓 名： 童家祎 学 号： 101109071 指 导 教 师（职称）： 宋苏罗（教授） 评 阅 教 师： 完 成 日 期： 2013.5 南阳理工学院nanyang institute of technology分块矩阵在行列式计算中的应用分块矩阵在行列式计算中的应用数学与应用数学 童家祎摘 要分块矩阵是矩阵理论中的一个重要内容，在高等代数中有着很重要的应用矩阵分块的思想来源于对矩阵运算复杂度和储存思想的考虑，矩阵分块能降低矩阵的阶数，使矩阵条理更清晰并简化运算本文从研究行列式以及分块矩阵的基本性质入手，在查

3、阅了大量文献的基础上，给出了与行列式计算有关的分块矩阵相关定理将分块矩阵降阶的思想应用在行列式计算过程中，推导出了借助分块矩阵进行行列式计算的多种方法，最后通过具体的例子对比说明，很多时候借助分块矩阵计算行列式比用行列式的常规方法计算更简单、直观、清晰关键词分块矩阵；行列式；初等变换the application of block matrix in computing determinantmathematics and applied mathematics major tong jia-yiabstract: block matrix is an important content of

4、 matrix theory, which has a significant usage in advanced algebra. the idea of block matrix comes from the consideration of the memory storage and the complexity of matrix manipulation. block matrix can reduce the exponent number of matrix to make the consecution of matrix clearer and the operation

5、of matrix easier. this article starts with basic properties of matrix, and gives some main conclusions of block matrix on the basis of accessing a lot of literature. and then, we use the reduction thoughts of block matrix in process of determinant calculation to derive multiple methods of determinan

6、t calculation with the block matrix. at last, we use object lessons to compare, shows that computing the determinant by means of block matrix is often more simple, intuitive and clear than conventional methods of determinant calculation. key words: determinant; block matrix; elementary transformatio

7、n目 录0 引言.11 分块矩阵的概念.11.1 分块矩阵的定义.1 1.2 分块矩阵的运算.2 1.3 特殊的分块矩阵.42 分块矩阵的初等变换.53 分块矩阵的相关定理及其证明.64 利用分块矩阵计算行列式.10 4.1 利用定理1计算行列式.10 4.2 利用定理2计算行列式.11 4.3 利用定理3计算行列式.13 4.4 利用定理4计算行列式.18 4.5 利用定理5计算行列式.194.6 利用定理6计算行列式.21结束语.23参考文献.24致谢.25分块矩阵在行列式计算中的应用0 引言矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象矩阵的概

8、念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生 行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化本文在广泛

9、阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势1 分块矩阵的概念1.1 分块矩阵的定义有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理这就是所谓的矩阵的分块把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵这是处理级数较高的矩阵时常用的方法定义1 设是矩阵，将的行分割为段，每段分别包含行，将的列分割为段，每段包含列，则，就

10、称为分块矩阵，其中是矩阵（）注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数 例如，对矩阵分块，其中，1.2 分块矩阵的运算进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待加法运算 设和为同型矩阵（行数和列数分别相等），若用相同的分块方法，即，其中、是矩阵，且，则与可直接相加，即数乘运算 设分块矩阵，为任意数，则分块矩阵与的数乘为乘法运算 一般地说，设，将矩阵、分块，其中每个是小矩阵，每个是小矩阵，于是有，其中是矩阵，应该注意，在进行乘法运算求乘积时，对矩阵、分块要求，矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有分块矩阵是一类特殊的

11、矩阵，它的乘法同样不适合交换律根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：(1) 进行加法运算时，对应子块的结构需相同；(2) 进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数；(3) 进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便而对于乘法，在矩阵与矩阵相乘时，对的一个分块方式，可以有几种分块方式都可与相乘，同样对的一个分块方式，也是如此但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义例如，已知，我们把分块为，其

12、中为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，可以分块为、或，我们可以看到第一种分法中有单位块，而，对于乘法运算显然更加简便，即设是一个分块矩阵，那么它的转置为分块矩阵的转置应遵守如下规则：(1) 的每一块都看成元素，对转置；(2) 对的每一块都转置1.3 特殊的分块矩阵 形式如的矩阵，其中是矩阵，通常称为准对角矩阵准对角矩阵具有如下性质：(1) 设 ，则有；(2) 可逆可逆，且；(3) 对于两个有相同分块的准对角矩阵，如果它们相应的分块是同级的，那么显然有，它们还是准对角矩阵2 分块矩阵的初等变换与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种：(1) 互换分块矩阵二个块行（列）的位置；(2)

13、 用一个可逆矩阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行（列）；(3) 将分块矩阵某一块行（列）的（矩阵）倍加到另一块行（列）定义2 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵现将某个单位矩阵如下进行分块，对它进行两行（列）对换；矩阵的某行（列）乘以行列可逆阵；某一行（列）乘以矩阵加到另一行（列）上，就可得到如下三种分块初等矩阵：(1) 分块初等对换阵；(2) 分块初等倍乘阵，；(3) 分块初等倍加阵，与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵，只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换：(1) ；(2) ；(3) 同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果我们通

14、过验证，当用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵能得到矩阵间的等式，从而有利于计算矩阵行列式的值3 分块矩阵的相关定理及其证明定义3 在一个级行列式中任意选定行列位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个级行列式，称为行列式的一个级子式当时，在中划去这行列后余下的元素按照原来的次序组成的级行列式称为级子式的余子式引理（拉普拉斯定理）设在行列式中任意取定了个行由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式定理1 设是阶方阵，是

15、阶矩阵，是阶矩阵，则证明 利用拉普拉斯定理，只要将行列式按后行展开，在其所有的阶子式中，除外至少包含一列零向量，因此它们的值为零而的余子式为，且位于整个矩阵的第行，第列，即可得类似地行列式的形式为时，由行列式的转置值不变，因此仍有通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式换成又会有怎样的结论，它的值等于吗？ 定理2 设、均为阶方阵，则证明 将拉普拉斯定理应用于上式的后行， 在其所有阶子式中，除外至少包含一列零向量，因此它们的值为零而的余子式为，且位于整个矩阵的第行， 第列，因此，其中，即定理3 是分块阶矩阵，其中为阶方阵，为阶阵，为阶阵，为阶方阵(1) 若可逆，则；(2) 若可逆，则证明 (1

16、) 当时，有两边取行列式可得(2) 当时，有两边取行列式可得= 将定理3中条件特殊化，可得到如下推论推论1 设、分别是，矩阵，则有(1) ；(2) 证明 (1) 只需在定理3中令，即有(2) 只需在定理3中令，即有推论2 设、分别是，则有证明 只需在定理3中令，则有定理4 设、都是阶方阵，则(1) 当且时，； (2) 当且时，；(3) 当且时，；(4) 当且时，证明 由、均为阶方阵，当且时，利用定理3得，即，(2)、(3)、(4)类似可得定理5 设、都是阶方阵，则有证明 根据分块矩阵性质有定理6 设为阶可逆方阵，与均为维列向量，则证明 因 ， (1) ， (2)(1)式、(2)式两边各取行列式

17、，又，从而有4 利用分块矩阵计算行列式在行列式计算的过程中，若是该行列式的结构符合上述定理条件的要求，就可按照该定理进行矩阵分块，利用定理的结论计算行列式其中的关键是如何对行列式进行分块，什么样的行列式能进行分块我们在运用分块矩阵计算行列式时，要仔细观察行列式的结构，先确定运用哪个公式来进行计算，再对行列式进行相应的分块在计算的过程中，也可能遇到可以运用分块矩阵计算的行列式，因此不仅要牢记公式，也要学会灵活运用4.1 利用定理1计算行列式能够利用定理1求解的行列式的类型为或，下面给出具体例子例1 计算行列式解 方法1（利用定理1）对行列式分块，其中，根据定理1，有方法2（化三角形法）将行列式化

18、为上三角形方法3（降阶法）显然方法1更简单，利用定理1计算例1极大简化了计算4.2 利用定理2计算行列式对于可以利用定理2计算的行列式，其结构特点是型下面是利用定理2计算行列式的具体例子例2 计算行列式解 方法1（利用定理2）利用定理2结论，对行列式分块，其中，因此方法2（降阶法）方法3（定义法）这是一个六阶行列式，在展开式中应有项，但是由于其有很多零元素，所以不等于零的项就大大减少了，展开式中一般形式是，显然，如果，那么这一项就为零，因此只考虑的那些项；同理，只考虑的那些项，而由于第五行只有非零元素和，所以只考虑，同理有，根据定义即可计算，即从上面的例子我们看到，将方法2、3与方法1比较，方

19、法2解题步骤更多更复杂，而方法3比较抽象，要有很好的观察力，显然利用分块矩阵来解题时，行列式的结构很清楚明了，解题过程也更简单4.3 利用定理3计算行列式下面是利用定理3计算行列式的例子例3 计算阶行列式，其中解 方法1（利用定理3）对行列式分块，令，其中，、均为阶方阵，得可逆因为，所以方法2（降阶法）方法3（化三角形法）利用行列式的性质，将化为上三角形，即从上面例子可以看到，行列式是一个高阶抽象行列式，比较上面三种方法，显然方法1更为简单，而且在利用定理3将行列式进行分块之后，该行列式的结构便十分清晰，计算过程也很简单明例4 计算行列式，其中解 方法1（利用定理3）对该行列式先加边，再将加边

20、后的行列式的第1行乘加到其余各行，得，令，由于，且可逆，从而方法2（化三角形法）先对行列式加边处理，再利用行列式的性质，将化为三角形 从上面的例子我们可以看到，在利用公式计算行列式时，并不一定在最开始时就进行分块有时候，我们可以先对行列式进行变换，再使用公式计算行列式同时，我们也认识到行列式的计算是十分灵活的，如上面的方法1就将加边法和定理3结合起来使用，所以在计算行列式时要学会灵活运用知识方法2中运用矩阵的初等变换将行列式化成三角形，计算过程比较繁琐且容易出错但是在什么样的情况下利用定理3求行列式值比较简便，还有待进一步讨论，下面将给出一类特殊的行列式的例子例5 求形如的阶（为偶数）反对称行

21、列式的值解 将按如下分块，其中，因为，所以可逆又有，所以从此例可以推广，形如()的阶（为偶数）的反对称矩阵，其行列式的值为上面总结了定理3在一类特殊行列式上的应用，当遇到这类问题时可直接使用上述结论当然，在其他某些数字行列式的计算上也可直接运用定理3，也可先经过行列式的某些变换使其数字更简单结构更明了，再使用定理3来计算4.4 利用定理4计算行列式定理3虽给出了计算行列式的一种方法，但计算过程相对繁琐，计算中涉及到多次求逆和矩阵相乘，同时也不易记忆而定理4可以说是定理3的推论，在实际应用中定理4更常用下面将给出相关例子例6 计算例3所给的阶行列式解 a、c如例3所给，而且，则有注意：（1）这里

22、并不需要这个条件；（2）在用定理4计算高阶行列式时，和有一个是阶单位矩阵或是阶数量矩阵时，那么计算方法会更简便例7 计算行列式解 方法1（利用定理4）对进行分块，其中，显然可逆且，故，所以方法2（化三角形法)利用行列式的性质，将行列式化为三角形方法3（降阶法) =我们可以看到利用定理4计算例2的过程比利用定理3和其他方法计算时更简单4.5 利用定理5计算行列式对于能用定理5求解的行列式，我们往往很容易看出来，而且分块也很简单下面给出具体例子例8 计算行列式的值解 方法1（利用定理5)将对行列式进行分块，其中，则由定理5可得方法2（降解法)将行列式按第一行展开，可得方法3（列归一法)将行列式的第

23、2、3、4列都加到第1列 此题看似简单，但若是计算方法不佳，计算起来也不会轻松比较上面三种方法，可以看到，利用定理5计算此题极大的简化了计算过程4.6 利用定理6计算行列式在利用定理6计算阶行列式时，要根据具体情况，把原来行列式的元素组成的矩阵分成两部分，其中一部分是阶可逆矩阵，该矩阵一般为对角矩阵，那么其行列式和逆矩阵比较容易求出；另一部分是维列向量和组成的乘积这种分法是利用定理6计算阶行列式的难点，需要有较强的观察力下面列举两个具体例子加以说明例9 计算行列式解 方法1（利用定理6)令，则 ，而且，又由于，并且，从而由定理4知，方法2（利用方阵特征值与行列式的关系)令矩阵，则显然，的个特征值为，的特征值为，故的特征值为，由方阵特征值与对应行列式的关系知方法3（化三角形法)例10 计算行列式()解 当时，；当时，设，由此可得，再因，且，由定理6可得容易看出，运用定理6计算行列式也有一定的规律可循，计算这类行列式时一定要弄清它的结构，对行列式进行合理分块，这样计算过程会得到很大简化结束语本文通过对分块矩阵性质及相关结论的研究，给出了部分运用分块矩阵计算行列式的方法从上文的一些结论和给出的例子可以看出，分块矩阵在行列式计算中的应用很多，而且利用分块矩阵计算行列式，可以有效的简化计算在实际运用的过程中，要根据行列式的结构特点，选择合适的方法，并对行列式合理的分块，将使该方法得到