流体力学(热能)第6章 绕流运动

1、第八章第八章 绕流运动绕流运动 绕流运动：绕流运动：流体绕物体的运动。在实际中大量存在这种运动。流体绕物体的运动。在实际中大量存在这种运动。 如飞机在空中飞行、水流经桥墩、船在水中航行、水中悬浮物的升降和粉尘在如飞机在空中飞行、水流经桥墩、船在水中航行、水中悬浮物的升降和粉尘在 空中的沉降、烟囱周围空气流动都是绕流问题。空中的沉降、烟囱周围空气流动都是绕流问题。 解决绕流问题的方法之一是将流场划分两个区：解决绕流问题的方法之一是将流场划分两个区： （1）紧靠固体的边界层，粘性起主要作用。粘性流体边界层理论。解决）紧靠固体的边界层，粘性起主要作用。粘性流体边界层理论。解决 绕流阻力问题。绕流阻力

2、问题。 （2）不受固体阻力影响，粘性不起作用的区间。理想流体势流理论，尤）不受固体阻力影响，粘性不起作用的区间。理想流体势流理论，尤 其是平面无旋势流理论更有实用意义。解决流场的速度和压强分布问题。其是平面无旋势流理论更有实用意义。解决流场的速度和压强分布问题。 本章任务：本章任务： （1）平面无旋势流理论）平面无旋势流理论 （2）附面层的基本概念）附面层的基本概念 实际中无旋流动：实际中无旋流动： 如吸风装置形成的气流，飞机飞过时的气流如吸风装置形成的气流，飞机飞过时的气流 8-1 无旋流动无旋流动 一、速度势一、速度势 1、速度势的定义：、速度势的定义： 如果流体的运动为无旋流，如果流体的

3、运动为无旋流， 则有：则有： = z u y y uz = z u x x uz = x u y y ux 此关系式是使：此关系式是使：（ u x dx + u y dy + u z dz）成成 为某一函数为某一函数 （x，y，z）的全微分的充分且必的全微分的充分且必 需条件，故必有一函数需条件，故必有一函数 （x，y，z），），此函数此函数 即称为即称为速度势或速度势函数速度势或速度势函数。所以无旋流也称。所以无旋流也称 为有势流。为有势流。 对有势流，只要确定了对有势流，只要确定了 速度势速度势 ，即可确定出，即可确定出 u u x x 、 、u u y y 、 、u u z z 的值，

4、的值， 而不必求出而不必求出 u u x x 、 、u u y y 、 、u u z z 的三个函数表达式，从而简的三个函数表达式，从而简 化有势流分析过程。化有势流分析过程。 由此可知，必有：由此可知，必有： dzudyudxud zyx += u x x = u y y = u z z = ； s usuu s = ),cos( udsdsud s = 0),(=zyxd cyxyxd=),(0),( 2 2 2 2 2 2 2 0= + + zyx 2、速度势的性质、速度势的性质 （1）速度势对任意方向的偏导数等于速度在该方向上的分量，即）速度势对任意方向的偏导数等于速度在该方向上的分量

5、，即 （可由方向导数的定义证之，（可由方向导数的定义证之，s代表任意方向）代表任意方向） （2）速度势值的大小沿流线方向增加）速度势值的大小沿流线方向增加 （ds沿流线方向的位移为正。则若知道流线方沿流线方向的位移为正。则若知道流线方 向，即可确定速度势的增值方向）向，即可确定速度势的增值方向） （3）等势线（面）：速度势相等的点连成的线（面）等势线（面）：速度势相等的点连成的线（面） c值不同得不同的等势线。值不同得不同的等势线。 （4）速度势满足拉普拉斯方程（不可压缩流体无旋流动的连续性方程），）速度势满足拉普拉斯方程（不可压缩流体无旋流动的连续性方程）， 2 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 是

6、调和函数是调和函数 P208-29 例题自学例题自学 3、速度势的极坐标形式、速度势的极坐标形式 )528(0 1 ),( 2 2 22 2 = + + = = rrrr r u r ur r 二、流函数二、流函数 是研究流体平面运动的一个很重要的概念，是研究流体平面运动的一个很重要的概念， 是为了用流网法求解平面势流所引入的一个概念。是为了用流网法求解平面势流所引入的一个概念。 平面流动：在流场中某一方向（取平面流动：在流场中某一方向（取z轴）流速为零，而另两方向流速轴）流速为零，而另两方向流速ux、uy与与 上述轴向坐标上述轴向坐标z无关的流动。无关的流动。 1、流函数、流函数（不可压缩、

7、均质流体的平面流动）（不可压缩、均质流体的平面流动） 不可压缩流体平面流动连续性方程：不可压缩流体平面流动连续性方程： 0= + y u x u y x 定义函数定义函数 = = x u y u yx y x : ),(函数函数),(yx称为流函数。称为流函数。 不可压缩连续流体的平面流动必存在流函数不可压缩连续流体的平面流动必存在流函数 。 不管是无旋、有旋，理想、实际流体，都存在流函数，所以不管是无旋、有旋，理想、实际流体，都存在流函数，所以 流函数更具普遍性，是研究平面流的一个重要工具。流函数更具普遍性，是研究平面流的一个重要工具。 ),(yx 0=dxudyud yx c= 0 2 2

8、 2 2 = + yx n x s1 s2 2 1 u y 2、流函数的性质、流函数的性质 （1）流函数等值线）流函数等值线由流函数相等的点连成的曲线。由流函数相等的点连成的曲线。 性质：性质：同一流线上的流函数值相等。同一流线上的流函数值相等。 流函数线就是流线。流函数线就是流线。 令令 ，一个常数对应一条流线。，一个常数对应一条流线。 （2）流函数值沿流线）流函数值沿流线s方向逆时针旋转方向逆时针旋转90 后 后 的方向的方向n增加。增加。 (证明略）证明略） （3）平面势流的）平面势流的 是调和函数，满足拉普拉斯方程。是调和函数，满足拉普拉斯方程。 即：即： 3、注、注：只要只要 ，即存

9、在流函数。（流体连续，动是平面流动），即存在流函数。（流体连续，动是平面流动） 只要只要 ，即存在速度势函数。（无旋流），即存在速度势函数。（无旋流） x u y u y x = 0= + y u x u y x 三、流函数与速度势的关系三、流函数与速度势的关系 1、流函数与速度势为共轭函数。即：、流函数与速度势为共轭函数。即： 2、流函数与势函数正交（流线与等势线垂直）。、流函数与势函数正交（流线与等势线垂直）。 四、流网四、流网 由等势线和等流函数线构成的正交的网格，即流网。由等势线和等流函数线构成的正交的网格，即流网。 1、性质：、性质： （1）等势线与等流函数线正交，即流线与等势线正交

10、；）等势线与等流函数线正交，即流线与等势线正交； （2）相邻两流线的流函数值之差，是此两流线间的单宽流量，即）相邻两流线的流函数值之差，是此两流线间的单宽流量，即 或或 xy u yx u y x = = = = 柯西-黎 曼条件 ddq=12 =q 证明：在证明：在 、 上取上取a、b两点，两点， 从从a到到b取取dx、dy，流速分别为，流速分别为ux、uy， 则则 ，（由，（由a到到b，dx为负值）为负值） 或或 1 + 1 dxudyudq yx = ddq = 12 =q 1 + 1 +2 1 a b c u x uy dy dx x y (3)流网中每一网格的边长之比（流网中每一网格

11、的边长之比（dn/dm）等于）等于 与与的增值之比的增值之比(d /d)。 即：即： d /d = dn/dm 证明：设证明：设dn为两等势线间网格边长，则在为两等势线间网格边长，则在x、y方向投影。（几何关系证明）方向投影。（几何关系证明） 又又dn是流速的方向，所以是流速的方向，所以 则则 设设dm为两流线间的网格边长，则为两流线间的网格边长，则 由于由于 则则 若：若： ，则为正方形网格。，则为正方形网格。 sincosdndydndx= sin cos uu uu y x = = udnudndyudxud yx =+=+=)sin(cos 22 cos sin dmdy dmdx =

12、 = udmudmd dxudyud yx =+= = )sin(cos 22 dm dn d d = dd= y + 1 + 1 1 dmdn 1 x (4)流网可以显示流速的分布情况流网可以显示流速的分布情况 任两相邻流线间的任两相邻流线间的 相同，也即单宽流量相同，也即单宽流量 是一常数是一常数 任何网格中的流速任何网格中的流速 在流网里可直接量得在流网里可直接量得 已知一点流速，可由上式算出各点流速值，还可以看出流线愈密集，流速已知一点流速，可由上式算出各点流速值，还可以看出流线愈密集，流速 愈大，反之亦然。愈大，反之亦然。 （5）流体中压强分布可以通过流网和理想流体能量方程求得，）流

13、体中压强分布可以通过流网和理想流体能量方程求得，若一点的压强若一点的压强 为已知，根据下式：为已知，根据下式： 可求得其他各点的压强，因此，可通过流网求解恒定平面势流问题可求得其他各点的压强，因此，可通过流网求解恒定平面势流问题。 1 2 2 1 dm dm u u = d dm dm dq u = 1 2 2 1 dm dm u u = g uu zz ppp 2 2 1 2 2 12 21 += = dq 恒定平面势流的控制方程是拉普拉斯方程，由于拉氏方程在各种具体边恒定平面势流的控制方程是拉普拉斯方程，由于拉氏方程在各种具体边 界条件下的积分不易求解，因此，工程上常采用简捷易行的流网法求

14、解势流界条件下的积分不易求解，因此，工程上常采用简捷易行的流网法求解势流 问题，以得到流场的流速分布和压强分布。在特定的边界条件下，拉氏方程问题，以得到流场的流速分布和压强分布。在特定的边界条件下，拉氏方程 有唯一解，故针对一种特定的边界，也只能绘出一种流网。此外，同一流网有唯一解，故针对一种特定的边界，也只能绘出一种流网。此外，同一流网 还适用于不同流量，也就是同一流网可应用于所有几何上相似的流动，因此还适用于不同流量，也就是同一流网可应用于所有几何上相似的流动，因此 ，用流网分析恒定平面势流是很方便的。，用流网分析恒定平面势流是很方便的。 2、流网绘图、流网绘图 根据流网性质，即可绘制流网

15、，以求得流场的速度分布、压强分布。根据流网性质，即可绘制流网，以求得流场的速度分布、压强分布。 3、说明、说明 （1）流网可解决恒定平面势流问题，是在一定条件下，拉普拉斯方程的一）流网可解决恒定平面势流问题，是在一定条件下，拉普拉斯方程的一 种图解法。种图解法。 恒定平面势流中流网上的任意两点都满足伯努利方程。恒定平面势流中流网上的任意两点都满足伯努利方程。 （2）复变函数求解拉普拉斯方程。）复变函数求解拉普拉斯方程。 8-3 几种简单的平面无旋流动几种简单的平面无旋流动 一、均匀直线流动一、均匀直线流动 势函数势函数 流函数根据：流函数根据： 当流动平行于当流动平行于y轴轴， ，则，则 当流

16、动平行于当流动平行于x轴轴， ，则，则 buau yx = , +=+= +=+= byaxbdyadx bdyadxdyudxud yx bxay bdxadydxudyud yx = = 0= x u bxby= 0= y u ayax= 变为极坐标方程，变为极坐标方程， 二、源流和汇流二、源流和汇流 sin,cosryrx= = = sin cos ar ar 0 2 = u r Q ur r 源流源流：设在水平的无限平面内，流体从：设在水平的无限平面内，流体从 某一点某一点o沿径向直线均匀地向各方流出，沿径向直线均匀地向各方流出， 如图，这种流动称源流，点如图，这种流动称源流，点o称源

17、点。如称源点。如 泉眼向外流出，就是源流的近似。泉眼向外流出，就是源流的近似。 汇流汇流：流体沿径向直线均匀地向某一点：流体沿径向直线均匀地向某一点o 流入，称汇流，点流入，称汇流，点o称汇点。如：地下水称汇点。如：地下水 向井中的流动可作为汇流。向井中的流动可作为汇流。 源流源流 = += = = x yQ yx Q Q r Q arctan 2 ln 2 2 ln 2 22 汇流汇流 = += = = x yQ yx Q Q r Q arctan 2 ln 2 2 ln 2 22 极坐标系中，流速分量与流函数、势函数的关 系为： u r u r u r u r r r = = = = ,

18、, r c u= 0= r u = = 2 ln 2 r rurdu2 2 0 = r o 三、环流三、环流 1、流速、流速 （c为常数）为常数） 2、流、势函数、流、势函数 3、流线、等势线、流线、等势线 环流强度环流强度 ：沿某一流线写出的速度环量。：沿某一流线写出的速度环量。 因此环流速度为：因此环流速度为： 四、直角内的流动四、直角内的流动 （了解）（了解） 推广至一般角度，推广至一般角度， P217例例8-4自学自学 = = = rr u ur 2 0 = = = = 2sin 2cos 2 )( 2 2 22 ar ar axy yxa = = sin cos ar ar k k

19、+= += 21 21 21 21 yyy xxx uuu uuu += += 8-4 势流叠加势流叠加 一、势流的叠加性一、势流的叠加性 1、含义、含义：势流的一个很重要的特性。：势流的一个很重要的特性。 几个简单势流叠加组合成较为复杂的复合势流（几个简单势流叠加组合成较为复杂的复合势流（， ），），即即 且满足拉普拉斯方程。且满足拉普拉斯方程。 2、意义、意义： 解决势流问题在数学上就是寻求满足拉普拉斯方程和给定边界条件解决势流问题在数学上就是寻求满足拉普拉斯方程和给定边界条件 的速度势函数的速度势函数或流函数或流函数 。当流动情况较复杂时（如绕圆柱的流动）直接求。当流动情况较复杂时（如绕

20、圆柱的流动）直接求 出势函数出势函数比较困难，但我们前节所讨论的简单势流作适当组合就可得到复杂比较困难，但我们前节所讨论的简单势流作适当组合就可得到复杂 的实际流动。将各种简单势函数或流函数叠加起来就得到新的势流的势函数和的实际流动。将各种简单势函数或流函数叠加起来就得到新的势流的势函数和 流函数。这样利用势流叠加原理可以解决复杂的实际流动。流函数。这样利用势流叠加原理可以解决复杂的实际流动。 二、势流叠加举例二、势流叠加举例 1、均匀直线中的源流，半无限体的绕流、均匀直线中的源流，半无限体的绕流 （1）流函数）流函数 2 sin 0 Q rv+= （2）分析流动）分析流动 （3）驻点、轮廓线

21、）驻点、轮廓线 so 0 vu r = = 2 Q = 2 Q s x s s x) 2 ( r Q ur = 0 0 2 0 2 v Q x x Q v s s = = 驻点驻点 、 ，源流，源流 22 sin) 2 ( 0 0 QQ v Q v=+= 22 sin 0 QQ rv=+= ) 2 , 2 , 0( 0 0 v Q y Q yvr= 驻点的流函数值：驻点的流函数值： 轮廓线方程：轮廓线方程： 0 2v Q y = 物体的轮廓以物体的轮廓以 为渐近线。为渐近线。 此绕流物体为半无限体（有头无尾）。此绕流物体为半无限体（有头无尾）。 二、匀速直线绕流中的等强源汇流（了解）二、匀速直

22、线绕流中的等强源汇流（了解） 驻点：驻点： 处，处， 全物体轮廓线。全物体轮廓线。 三、偶极流，圆柱绕流（偶极流与匀速直线流的组合）三、偶极流，圆柱绕流（偶极流与匀速直线流的组合） 1、偶极流、偶极流 )arctg(arctg 2 0 ax y ax yQ yv + += 2 1 , 0=xy 0= 2 1 r1 a r2 r ),(rp 源点 汇点 r M 2 sin = 流函数： 流线： 2 22 4 1 ) 2 1 ( cc yx=+ r M rv 2 sin sin 0 = 物体轮廓线： r=R的零流线 2 0 0 2 0 2 sin sin RvM R M Rv = = sin)(

23、2 0 r R rv= cos)( 2 2 0 r R rv r ur= = sin)( 2 2 0 r R rv r u+= = 2、圆柱绕流、圆柱绕流 偶极流与匀速直线流可组合成有实际意义的圆柱绕流。偶极流与匀速直线流可组合成有实际意义的圆柱绕流。 （1）流函数）流函数 （2）速度）速度 0= 0= r u sin2 0 v r u= = （3）轮廓线（）轮廓线（ ） 说明：说明：以上结论是理想流体的圆柱绕流，与实际流体的圆柱绕流的实验以上结论是理想流体的圆柱绕流，与实际流体的圆柱绕流的实验 结果是不一致的。主要是由于实际流体粘性作用，上下游圆柱表面上的结果是不一致的。主要是由于实际流体粘

24、性作用，上下游圆柱表面上的 压强分布不对称，发生边界层分离。（见压强分布不对称，发生边界层分离。（见8-10节内容）节内容） 讨论：讨论：1圆柱表面流速分布沿圆周的切线方向，圆周圆柱表面流速分布沿圆周的切线方向，圆周 r=R 为一流线。为一流线。 2 ， 驻点。驻点。 3 ， 最大速度点。最大速度点。 4 ，柱体表面流速等于匀速直线流速点。，柱体表面流速等于匀速直线流速点。 00= uur时，或 0 2 2 vu= 时， 0 6 vu= 时， 四、源环流（自学）四、源环流（自学） 8-5（略）略） 8-6 绕流运动与附面层基本概念绕流运动与附面层基本概念 摩擦阻力：摩擦阻力： 形状阻力：形状阻

25、力： 一、附面层的形成及其性质一、附面层的形成及其性质 以平板绕流为例进行分析以平板绕流为例进行分析 1、附面层的界限、附面层的界限 2、附面层厚度和流态沿流向的发展、附面层厚度和流态沿流向的发展 0 u 0 u 0 u k x l 层流附 面层 紊流附 面层 层流 底层 0 99. 0uux= 一般取一般取5105 3、附面层把流场划分为区域：附面层把流场划分为区域： 势流区和附面层。势流区和附面层。 “压力穿过边界层不变压力穿过边界层不变”的特性，两分区的主要衔接条件。的特性，两分区的主要衔接条件。 二、管流附面层二、管流附面层 附面层的概念对管流同样有效。附面层的概念对管流同样有效。 1

26、、管流的发展附面层厚度、管流的发展附面层厚度 等于管半径等于管半径 后形成充分的管流。后形成充分的管流。 2、入口段长度、入口段长度 从入口到充分发展的管流的长度。从入口到充分发展的管流的长度。 试验分析：试验分析： 层流：层流： 紊流：紊流： 说明：实验室内进行管路阻力试验时，需避开入口段的影响。说明：实验室内进行管路阻力试验时，需避开入口段的影响。 （因为入口段的流动情况不同于正常的层流或紊流即均匀流）（因为入口段的流动情况不同于正常的层流或紊流即均匀流） 50 10)0 . 55 . 3(= v xu R k exk 0 r E x dRx eE 028. 0= dxE50= E x 附

27、面层 8-7 附面层动量方程附面层动量方程 8-8 8-9 附面层的计算（略）附面层的计算（略） 绕流物体的阻力作用，主要表现在附面层内流速的降低，引起动量的变化。绕流物体的阻力作用，主要表现在附面层内流速的降低，引起动量的变化。 附面层动量方程表示阻力和附面层动量变化的关系。（摩擦阻力）附面层动量方程表示阻力和附面层动量变化的关系。（摩擦阻力） 3、形状阻力：形状阻力：附面层发生分离，产生旋涡形成的阻力叫形状阻力附面层发生分离，产生旋涡形成的阻力叫形状阻力 （局部阻力）。（局部阻力）。 比较：附面层内流速变化引起摩擦阻力（沿程阻力），流线形物体就是为比较：附面层内流速变化引起摩擦阻力（沿程阻

28、力），流线形物体就是为 了推后分离点，缩小旋涡区，从而减小形状阻力（如飞机）。了推后分离点，缩小旋涡区，从而减小形状阻力（如飞机）。 2、产生原因产生原因：减速增压与物面阻滞作用的综合结果。：减速增压与物面阻滞作用的综合结果。 1、分析、分析 反向压差作用和粘滞力使反向压差作用和粘滞力使u减小为零之后，靠近壁面流体回流较远，减小为零之后，靠近壁面流体回流较远， 继续向前流动，就形成了旋涡。旋涡的出现使附面层与壁面脱离，这种继续向前流动，就形成了旋涡。旋涡的出现使附面层与壁面脱离，这种 现象称现象称附面层分离附面层分离。S点称为分离点。点称为分离点。 一、曲面附面层的分离现象一、曲面附面层的分离

29、现象 当流体绕曲面体流动时，沿附面层外边界上的速度和压强都不是常数。当流体绕曲面体流动时，沿附面层外边界上的速度和压强都不是常数。 以绕圆柱流为例，分析圆柱一侧流动。以绕圆柱流为例，分析圆柱一侧流动。 8-10 曲面附面层的分离现象曲面附面层的分离现象 2 2 0 u ACD d = 8-11 绕流阻力和升力绕流阻力和升力 一、绕流阻力一、绕流阻力 1、计算公式、计算公式 式中：式中： D ：绕流阻力：绕流阻力 Cd：无因次的阻力系数：无因次的阻力系数 A：物体的投影面积：物体的投影面积 u0：未受干扰时的来流速度：未受干扰时的来流速度 ：流体的密度流体的密度 2、绕流阻力系数、绕流阻力系数Cd分析分析 = = e d R C duD 24 3 0 斯托克斯公式斯托克斯公式 （圆球的斯托克斯阻力公式）（圆球的斯托克斯阻力公式） 应用条件：应用条件： Re1 应用：计算空气中微小尘埃或雾珠运动时阻力和静水中应用：计算空气中微小尘埃或雾珠运动时阻力和静水中 泥沙颗粒的沉降速度。泥沙颗粒的沉降速度。 圆球的斯托克斯阻力公式圆球的斯托克斯阻力公式 设匀速直线运动设匀速直线运动Re1 Cd与与Re关系，图关系，图8-30 绕流物体的开头与绕流物体的开头与Cd的变化规律有关。的变化规律有关。 4、悬浮速度：是指颗粒所受的绕流阻