流体力学-2-3

1、大气流体力学 大气科学学院，王伟 上节回顾 l作用于流体的力（单位质量和单位面积） l两种力的差异 2、应力张量 取如P50P50图23所示的流体四面体元，分析其受力。 M x y z A B C n n p m n x y z 质量为 按照牛顿第二定律，可得： zzyyxxnn ppppmFm dt Vd M x y z A B C n n p n x y z 说明：应力矢的下标 取其作用面元的外法 向，并且规定为外法 向流体对另一部分流 体的作用应力。 根据作用力与反作用力原理，方程可以写成如下形式： zzyyxxnn ppppmFm dt Vd zzyyxxnn ppppmFm dt V

2、d 取极限时（三阶二阶小量）： 作用于小流体元的应力矢之间的相互关系。 zzyyxxnn pppp 考虑面元间的关系： nznz nyny nxnx nzn nyn nxn ,cos ,cos ,cos zzyyxxnn ppppmFm dt Vd 将其在直角坐标系中展开，则有： zzzyzyxzxnz zyzyyyxyxny zxzyxyxxxnx pnpnpnp pnpnpnp pnpnpnp 于是，上式可以改写为： zzyyxxn pnpnpnp zzyyxxnn pppp 第一种表示形式 zzzyzyxzxnz zyzyyyxyxny zxzyxyxxxnx pnpnpnp pnpnp

3、np pnpnpnp 引进应力张量： zzzyzx yzyyyx xzxyxx ppp ppp ppp P 物理含义？ 应力分量应力分量 Pnpn zyx nnn zzzyzx yzyyyx xzxyxx ppp ppp ppp 对应力分量的下标作如下规定：第一个下标表示面积 元的外法向（且规定应力为外法向流体对另一部分流 体的作用）；第二个下标表示应力所投影的方向。 应力分量的物理含义： 例2-2-1请说明应力、表示的物理含义； 如果已知作用于如图所示的面元上的应力 yx p yy p 0 yx p 0 yx p0 xx p 0 xx p 请在图中用箭头表示它们。 另外，应力矢量也可以表示为

4、： nznynxn pkpjpip （第二种表示形式简单的矢量分解） 以上分析表明： 对于以为外法向面元上的应力矢，可以用与三个 坐标面平行的应力矢进行线性表示（对应第一种表示形 式）；也可以将其表示为沿三个坐标轴的分量形式（对 应第二种表示形式）均可以理解为对该应力进行 不同的分解。 n n p zzyyxxn pnpnpnp 第一种表示形式 法应力、切应力概念的简单介绍 nnnn pnpp npp nnn 通常应力矢量也可以表示为： 切应力法应力 z x y nznynxn pkpjpip x p y p z p zzyyxxn pnpnpnp n n p M nnnn pnpp 任意一平

5、面 综合理解？ 3、应力张量与流体运动状态间的关系 流体应力如何确定？ 流体的应力与流体的运动状态（主要是形变率）之间 有着非常密切的关系。 为流体应力的确定提供了依据。 平板实验 平行平板直线运动：（上板匀速，下板固定） 实验结果表明： h u zx 粘性应力（下标含义与应力相同） 反映了粘性应力与流速分布之间的线性关系 流体：不可压缩、粘性， 开始静止 U h u O z x 其中为反映流体粘性的粘性系数（动力学）或内摩擦 系数；而流体与其他物体的粘性系数则称为外摩擦系数。 牛顿粘性假设 dz du zx 牛顿粘性定律建立了粘性应力与流速分布之间的关系。 P53P53 广义牛顿粘性假设 I

6、VdivpA) 3 2 (2 P 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I 牛顿粘性定律建立了粘性应力与流速分布之间的关系， 但它的不足在于仅仅适用与流体直线运动。 牛顿将以上的粘性应力与形变率的关系推广到任意 粘性流体运动，即广义牛顿粘性假设： 不可压无粘性（理想）流体（或粘性很弱：很小）： 特殊情形 pIA 2P pIP pIpn 不可压流体： 其中 为流体压力，它表明在不考虑流体粘性时，流体 间相互作用的表面力只有流体的压力，它是正法向方向的流 体对另一侧流体的作用力。 p IVdivpA) 3 2 (2 P nn npp nIVdivnA n 3 2 2 nA n 2 说明： 根据广义牛

7、顿粘性假设的应力张量计算得到的 应力包含了流体压力和流体粘性力两部分即： 不可压流体 IVdivpA) 3 2 (2 P 牛顿粘性流体的概念：满足牛顿广义粘性假设的流体。 总结：给定流体的粘性系数和流体运动流速场，根据牛 顿粘性假设，就可以计算得到流体的粘性应力。 IVdivpA) 3 2 (2 P 习题2-2-1已知流体中某点的应力张量为 试求作用于通过该点，方程为的平面上 的法应力和切应力。（P72例例3） aa aa aa 02 02 20 13zyx 解： 法应力和切应力？ 应力？ 应力张量和？n 分解 n 首先需要确定 13zyx 11 1 ,cos 11 3 ,cos 11 1 ,

8、cos z y x nzn nyn nxn x y z n 13zyx Pnpn 计算应力： aa aa aa 02 02 20 zyxn nnnp aa aa aa 02 02 20 11 1 11 3 11 1 n p 11 3 11 7 11 5a k a j a ipn nnnn pnpp npp nnn 切应力法应力 计算法应力和切应力： a kji a k a j a ipnn 11 29 ) 11 1 11 3 11 1 () 11 3 11 7 11 5 ( appp nnnn 11 72 )( 2 2 习题2-2-2粘性流体运动的速度场为： 试确定无辐散所需要满足的条件，并求满足无辐散条件下 流场中各点的粘性应力。 )(nyxmu )(nyxlv 0w 解：确定无辐散所需要满足的条件 0lnm y v x u VD h 求满足无辐散条件下流场中各点的粘性应力 IVdivpA) 3 2 (2 P pIA 2P 粘性应力 A 2 0 0 00 02/ )( 2/ )