第30讲 连续系统的状态方程的建立

1、本章导读：本章导读： 输入输入-输出法或端口法：对于单输入输出法或端口法：对于单输入-单输出系统，仅研究系统的单输出系统，仅研究系统的 输出与输入之间的外部特性，不关心系统内部状态的变化过程。输出与输入之间的外部特性，不关心系统内部状态的变化过程。 对多输入对多输入-多输出的复杂系统，不仅要关心系统的输出，还要研多输出的复杂系统，不仅要关心系统的输出，还要研 究系统内部变量的变化规律，才能达到对系统的设计和控制要求。究系统内部变量的变化规律，才能达到对系统的设计和控制要求。 状态变量法又称为内部法，它以描述系统内部特性的状态变量状态变量法又称为内部法，它以描述系统内部特性的状态变量 为分析依据

2、，通过一组状态方程和输出方程，将状态变量和系统为分析依据，通过一组状态方程和输出方程，将状态变量和系统 的输入和输出变量联系起来，进而分析系统的外部特性。的输入和输出变量联系起来，进而分析系统的外部特性。 第6章 连续与离散系统的状态变量分析 本章导读：本章导读： 状态变量分析的优点是：状态变量分析的优点是： （1）能够提供系统内部信息，同时观测并处理多个系统变量，）能够提供系统内部信息，同时观测并处理多个系统变量， 从系统内部研究系统的稳定性；从系统内部研究系统的稳定性； （2）不仅适用于分析单输入）不仅适用于分析单输入-单输出的线性时不变系统，也适单输出的线性时不变系统，也适 用于分析非线

3、性、时变、多输入、多输出系统；用于分析非线性、时变、多输入、多输出系统； （3）状态方程用一阶微分方程组表示，对一阶微分方程组有多）状态方程用一阶微分方程组表示，对一阶微分方程组有多 种求解方法，且便于用计算机编程求解，可以处理更加复杂的系种求解方法，且便于用计算机编程求解，可以处理更加复杂的系 统。统。 第6章 连续与离散系统的状态变量分析 状态变量分析法优点 (1)(1)可以可以提供系统的内部信息提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解，使人们能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。 (2)(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机

4、进行一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行 数值计算；数值计算； (3)(3)便于分析便于分析多输入多输出系统多输入多输出系统； (4)(4)容易推广应用于容易推广应用于时变系统时变系统或或非线性系统非线性系统。 系统的描述 主要研究主要研究单输入单输出单输入单输出系统；系统； 着眼于系统的着眼于系统的外部外部特性；特性； 基本模型为系统函数。基本模型为系统函数。 产生于产生于20世纪世纪50至至60年代；年代； 卡尔曼卡尔曼(R. E. Kalman)引入；引入； 利用状态变量描述系统的利用状态变量描述系统的内部内部特性；特性； 多运用于多运用于多输入多输入多输出多输出系统；系统； 用用n个

5、状态变量的一阶微分（或差分）方个状态变量的一阶微分（或差分）方 程组来描述系统程组来描述系统 。 第6章 主要内容 n6.16.1 连续系统的状态方程的建立连续系统的状态方程的建立 6.2 6.2 连续系统的状态方程的求解方法连续系统的状态方程的求解方法 n6.36.3 离散系统的状态方程的建立和求解离散系统的状态方程的建立和求解 第第 30 讲讲 连续系统的状态方程的建立连续系统的状态方程的建立 状态变量是一组反映系统内部状态变化规律的量 。如x1(t)， x2(t)， xn(t)，它们在t = t0时刻的 数值连同t t0时的输入，可以唯一地确定t t0任 一时刻的状态和其它各个响应。 在

6、电系统中，独立的电容上电压uC(t)和电感电流 iL(t)有资格称为状态变量。 n 状态变量的概念状态变量的概念 n 状态方程与输出方程状态方程与输出方程 0 d d CL2 L uiR t i L 0 d d L 1 CC i R u t u C 图1 即有 )( )( 1 11 d d d d L C 2 1 L C ti tu L R L CCR t it u )(tX A )(tX 则 状态方程)()(ttAXX 例例 对图1，由KCL和KVL，得 列写状态方程的方法：列写状态方程的方法： 选择状态变量； 对连接电容的节点列写KCL方程； 对包含电感的网孔（回路）列写KVL方程； 消去

7、非状态变量，整理为标准形式的状态方程。 ( ),( ) CL utit以为变量列方程： d ( )( )( )( ) d LLC RitLitutf t t 1 ( )( )d t CL utitt C d1 ( )( ) d CL utit tC d11 ( )( )( )( ) d d1 ( )( ) d LLC CL R ititutf t tLLL utit tC 写为写为: ( )f t LR C tuC d1 1( ) ( ) d ( ) 1( )d 00( ) d L L C C R it it tLL f tL ut ut Ct 只要知道只要知道 iL(t), uC(t)的初始

8、状态及输入的初始状态及输入 f(t)即可完全确定即可完全确定 电路的全部行为。电路的全部行为。 输出方程输出方程: )( )( 10)( tu ti ty C L 此方法称为此方法称为状态变量或状态空间分析法状态变量或状态空间分析法； 为为状态变量状态变量。 )(),(tuti CL 写为矩阵形式：写为矩阵形式： d11 ( )( )( )( ) d d1 ( )( ) d LLC CL R ititutf t tLLL utit tC 将将 ( )( ) C y tut 名词定义 状态：状态：状态可理解为状态可理解为事物的某种特征事物的某种特征。状态发生变化意味着事。状态发生变化意味着事 物

9、有了发展和变化，所以状态是划分事物发展阶段的依据。物有了发展和变化，所以状态是划分事物发展阶段的依据。系统系统 的状态的状态就是指系统的过去、现在和将来的状况。就是指系统的过去、现在和将来的状况。 状态向量：状态向量：n 个状态变量组成的列向量形式个状态变量组成的列向量形式 ( )x t 12 ( )( )( )( )x T n txtxtxt 状态与起始状态：状态与起始状态：状态变量在某一时刻状态变量在某一时刻t0的值就是的值就是系统在时系统在时 刻刻t0的的状态状态： 010200 ()()()()x T n txtxtxt 状态变量在状态变量在0-时刻的值称为时刻的值称为系统的系统的起始

10、状态起始状态。即。即: 12 (0 )(0 )(0 )(0 )x T n xxx 状态变量：状态变量：能够表示系统状态的变量。表示动态系统的能够表示系统状态的变量。表示动态系统的一组一组最最 少少变量变量（被称为状态变量），只要知道（被称为状态变量），只要知道 t=t0 时这组变量和时这组变量和 t t0 时的输入，那么就能完全确定系统在时的输入，那么就能完全确定系统在 t t0 任何时间的行为。任何时间的行为。 )(tx 状态空间：状态空间：状态向量状态向量 所在的空间。所在的空间。 状态方程：状态方程：表示系统表示系统与与之间关之间关 系的方程。系的方程。 对对n阶系统，状态方程是由阶系统

11、，状态方程是由n个一阶微分方程（差个一阶微分方程（差 分方程）组成的分方程）组成的方程组方程组。 输出方程：输出方程：表示系统表示系统与与和和之间关之间关 系的方程。系的方程。 d1 1( ) ( ) d ( ) 1( )d 00( ) d L L C C R it it tLL f tL ut ut Ct ( ) ( )010( ) ( ) L C it y tf t ut 例如：例如： 例如：例如： 即：以即：以n个状态变量为坐标轴而构成的个状态变量为坐标轴而构成的n维空间维空间 对于一个有对于一个有m个输入个输入，k个输出个输出的的n阶线阶线 性微分方程性微分方程所描述的系统，可以用所描

12、述的系统，可以用一组一阶一组一阶 微分方程（状态方程）微分方程（状态方程）和和一组代数方程（输一组代数方程（输 出方程）出方程）加以描述，即加以描述，即: mnmnn m m nnnnn n n n f f f bbb bbb bbb x x x aaa aaa aaa x x x 2 1 21 22221 11211 2 1 21 22221 11211 2 1 mkmkk m m nknkk n n k f f f ddd ddd ddd x x x ccc ccc ccc y y y 2 1 21 22221 11211 2 1 21 22221 11211 2 1 xAx+ Bf yC

13、x+ Df 电路图建立法电路图建立法 n(1) 选取电路中所有电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。 n(2) 利用KCL写出每一个电容的电流与其他状态变量和输入量之间的关系式。 n(3) 利用KVL写出每一个电感的电压与其他状态变量和输入量之间的关系式。 n(4) 若第(2)步和第(3)步所得到的KCL和KVL方程中含有非状态变量，则应利用 适当的节点KCL方程和回路KVL方程将非状态变量消去。 n(5) 将第(2)步和第(3)步（或第(4)步）所得到的关系式整理成标准形式, 即 得到电路的状态方程。 n(6) 由KCL和KVL写出状态变量和输入量与输出量之间的关系，即得到电路的输 出方程

14、。 例例 ti1 ti2 写出下图所示电路的状态方程和输出方程。写出下图所示电路的状态方程和输出方程。 te 1H1 F2 tuC tiL1 tiL2 H1 1 tu 选电感电流选电感电流 和电容两端电压和电容两端电压 作为作为 状态变量状态变量 12 ( ),( ) LL itit( ) C ut 解：解： 对结点对结点A列结点电流方程：列结点电流方程：12 d ( )( )2( ) d LLC ititut t 对包含电容的回路对包含电容的回路 列回路电压方程：列回路电压方程：12 ( ),( )itit 11 d ( )( )( )( ) d LLC e tititut t 22 d (

15、 )( )( ) d CLL utitit t A 12 d11 ( )( )( ) d22 CLL utitit t 整理：整理： 11 d ( )( )( )( ) d LLC ititute t t 22 d ( )( )( ) d LCL itutit t f x x x x x x 0 1 0 101 011 2 1 2 1 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 100 x x x y 写成矩写成矩 阵形式：阵形式： 输出方程输出方程为：为： 123 12 ( )( )( ) CLL xxx utitit 分别用 ， ，表示 ， ( )( ) yf u te t 分别用 ， 表示

16、， （状态方程状态方程） 例例1 用流图的串联结构形式建立状态方程。用流图的串联结构形式建立状态方程。 32 4 ( ) 6116 s H s sss 把把 作因式分解作因式分解 32 4 ( ) 6116 s H s sss 141 ( ) 123 s H s sss 解：解： 由模拟图（包括框图和流图）建立状态方程比电路图法更由模拟图（包括框图和流图）建立状态方程比电路图法更 直观、更简单。其一般步骤如下：直观、更简单。其一般步骤如下： 选取选取积分器的输出积分器的输出（或（或微分器的输入微分器的输入）作为状态变量。）作为状态变量。 围绕围绕加法器加法器列出列出状态方程状态方程和和输出方程

17、输出方程。 模拟图建立法模拟图建立法 画成流图形式画成流图形式 选积分器输出为状态变量选积分器输出为状态变量 ( )f t( )y t s1s1s1 111 1 1 123 4 1 1232123 223 33 34(2)32 2 ( ) xxxxxxxx xxx xxf t 1 xy f x x x x x x 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 3 3 2 1 3 2 1 001 3 2 1 x x x y 或或 x1 x2x3 1 x 2 x3 x 例例2 32 4 ( ) 6116 s H s sss 将将H(s) 作部分分式展开，得到作部分分式展开，得到 用流图的并联结构形式

18、建立状态方程。用流图的并联结构形式建立状态方程。 32 44 ( ) 6116123 ss H s ssssss 3 2 1 2 2 1 23 sss 解：解： 这样，系统的流图形式为：这样，系统的流图形式为： 取积分器的取积分器的 输出为状态变输出为状态变 量，则有量，则有: : 1 1 2 2 3 3 3 2 22 1 3 2 xxf xxf xxf 123 yxxx 1 1 2 2 3 3 3 1 0 0 2 0 2 02 0 0 31 2 x x xxf x x 1 2 3 111 x yx x x1 x2 x3 1x 2x 3x 数学模型或系统函数建立法数学模型或系统函数建立法 p2

19、77【例题例题10.3-5】已知系统函数为已知系统函数为 01 2 2 3 01 )( asasas bsb sH 试建立该系统的状态方程和输出方程。试建立该系统的状态方程和输出方程。 【解解】 x1x2x3 fxaxaxax xx xx 3221103 32 21 2110 xbxby f x x x aaa x x x 1 0 0 100 010 3 2 1 210 3 2 1 3 2 1 10 0 x x x bby 可得：可得： 直接模拟直接模拟1 直接模拟直接模拟2 F(s)Y(s) -a0 -a2 1 s 1 s 1 s 1 -a1 b1 b01x1x2x3 fbxax fbxxa

20、x xxax 0103 13112 2121 1 xy f b b x x x a a a x x x 0 1 3 2 1 0 1 2 3 2 10 00 10 01 3 2 1 001 x x x y 并联模拟并联模拟 3 3 2 2 1 1 sss sH)( 321 , 为相异单根。为相异单根。 x1 x2 x3 fxx fxx fxx 333 222 111 332211 xxxy f x x x x x x 1 1 1 00 00 00 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 221 x x x y 结论：结论： （1）一个系统可以有不同形式的）一个系统可以有不同形式的状态方程状态方程和和输出方输出方 程程，即状态方程和输出方程，即状态方程和输出方程不唯一不唯一。 （2）给定系统函数）给定系统函数 01 1 1 01 1 1 )( asasas bsbsbsb sH n n n m m m m 则可以有如下三种形式的状态方