第5章 静定平面桁架和组合结构

1、桁架优点桁架优点：截面上应力分布均匀，可充分发挥材料的作用。截面上应力分布均匀，可充分发挥材料的作用。 因此，桁架是因此，桁架是大跨度结构大跨度结构中常用的一种结构形式。中常用的一种结构形式。 在桥梁及房屋建筑中得到广泛应用在桥梁及房屋建筑中得到广泛应用。 5.1 概述 桁架桁架：若干直杆构成的，所有杆件的两端均用铰联接。：若干直杆构成的，所有杆件的两端均用铰联接。 静定桁架、超静定桁架静定桁架、超静定桁架 静定平面桁架（无多余约束的平面桁架）静定平面桁架（无多余约束的平面桁架） a)屋架屋架 160m80m 16m b)桥梁桥梁 c)水闸闸门水闸闸门 南京长江大桥江共9墩10孔，每墩高80米

2、，底面积 400多平方米，最高的桥墩从基础到顶部高85米。北 岸第一孔是128米，其余9孔均为160米，桥下可行 万吨巨轮。采用优质合金钢杆件在现场铆接拼装架 设。十分壮观。 5.1.1 桁架计算简图桁架计算简图 1）各结点都是光滑的理想铰。）各结点都是光滑的理想铰。 2）各杆轴线都是直线，且通过结点铰的中心。）各杆轴线都是直线，且通过结点铰的中心。 3）荷载和支座反力都作用在结点上，且通过铰的中心。）荷载和支座反力都作用在结点上，且通过铰的中心。 满足以上假定的桁架，称为满足以上假定的桁架，称为 上弦杆上弦杆 下弦杆下弦杆 结结间长度间长度 跨度跨度l d h 桁高桁高 斜杆斜杆 竖杆竖杆

3、1 2 1 2 FN FN FQ1=0 FQ2=0 理想桁架理想桁架 桁架的组成特点桁架的组成特点 理想桁架是理想桁架是各直杆各直杆在在两端用理想铰相连接两端用理想铰相连接而组成的而组成的 几何不变体系。几何不变体系。 桁架的力学特性桁架的力学特性 理想桁架各杆其内力只有理想桁架各杆其内力只有轴力轴力（拉力或压力）而无弯（拉力或压力）而无弯 矩和剪力。矩和剪力。 上弦杆上弦杆 下弦杆下弦杆 节间长度节间长度 跨度跨度l d h 桁高桁高 斜杆斜杆 竖杆竖杆 1 2 1 2 FN FN FQ1=0 FQ2=0 组成特点组成特点：所有结点都是铰结点。所有结点都是铰结点。 二力杆二力杆 主内力和次内

4、力主内力和次内力 按理想桁架算出的内力（或应力），称按理想桁架算出的内力（或应力），称为主内力为主内力 （或主应力）；由于不符合理想情况而产生的（或主应力）；由于不符合理想情况而产生的附加内力附加内力 （或应力），称为（或应力），称为次内力次内力（或次应力）。（或次应力）。 以承受轴力为主，弯矩和剪力很小可忽略不计。以承受轴力为主，弯矩和剪力很小可忽略不计。 大量的工程实践表明，一般情况下桁架中的主应力占大量的工程实践表明，一般情况下桁架中的主应力占 总的应力的总的应力的80%以上，所以，主应力是桁架中应力的以上，所以，主应力是桁架中应力的 主要部分。也就是说，桁架的内力主要是轴力。主要部分。

5、也就是说，桁架的内力主要是轴力。 5.1.2 平面桁架的分类平面桁架的分类 1、按桁架的几何组成方式分、按桁架的几何组成方式分 1）简单桁架）简单桁架从一个基本铰结三角形或地基上依次从一个基本铰结三角形或地基上依次 增加二元体而组成的桁架。增加二元体而组成的桁架。 a） c） b） 2）联合桁架）联合桁架由几个简单桁架按照两刚片或三刚片由几个简单桁架按照两刚片或三刚片 组成几何不变体系的规则构成的桁架。组成几何不变体系的规则构成的桁架。 3）复杂桁架）复杂桁架不是按上述两种方式组成的其它桁架不是按上述两种方式组成的其它桁架 d ) e） 2、按桁架的外形分、按桁架的外形分 1）平行弦桁架。）平

6、行弦桁架。 2）三角形桁架。）三角形桁架。 3）折弦桁架。）折弦桁架。 4）梯形桁架。）梯形桁架。 a） b） d）e） 3 、按支座反力的性质分、按支座反力的性质分 1）梁式桁架或无推力桁架。）梁式桁架或无推力桁架。 2）拱式桁架或有推力桁架。）拱式桁架或有推力桁架。 f） 5.2静定平面桁架静定平面桁架 计算静定平面桁架各杆轴力的基本方法，计算静定平面桁架各杆轴力的基本方法，隔离体平衡法隔离体平衡法。 根据截取隔离体方式的不同，又区分为根据截取隔离体方式的不同，又区分为结点法结点法、截面法截面法 以及二者的联合应用以及二者的联合应用。 5.2.1 结点法结点法 结点法是截取桁架结点法是截取

7、桁架结点为隔离体结点为隔离体，利用平面汇交力系的，利用平面汇交力系的两两 个平衡条件个平衡条件X=0、 Y=0 ，求解各杆未知轴力的方法。，求解各杆未知轴力的方法。 结点法最适合用于计算结点法最适合用于计算简单桁架简单桁架。 利用结点法，与节点相连的各截断杆，均假设为拉力，利用结点法，与节点相连的各截断杆，均假设为拉力， 若求解结果为若求解结果为正则杆件受拉正则杆件受拉，若为，若为负值则受压负值则受压。 由于平面汇交力系向平面上任意一点的力矩 代数和等于零，故除了投影方程外，亦可以用力 矩方程求解。 不要用联立方程求桁架各杆的轴力。一个方 程求出一个未知轴力。 对于简单桁架，截取结点隔离体的顺

8、序与桁对于简单桁架，截取结点隔离体的顺序与桁 架几何组成顺序相反。架几何组成顺序相反。（逆向） 平衡方程为： 或00XY 00 AB MM 应熟练运用如下比拟关系： y x xy xy xy x xy y y yx x F FN lll ll NFF ll l FF l l FF l N N N Fx Fy lx ly l 80 13 Y 60 4 3 80 13 X 100 4 5 80 13 N 0 1312 XN 60 12 N 40 23 N 60 24 N 4040 6060 8080 40 08040 34 34 Y Y 30 4 3 40 34 X 50 4 5 40 34 N

9、90 06030 35 35 N N -100 60 40 60 -90 50 43 1313 YX 80 _ 60 60 40 60 40 30 + -90 0 -90 20 15 + 7575 80 75 _ 100 用图示桁架为例，来说明结点法的应用。用图示桁架为例，来说明结点法的应用。 15kN15kN15kN 4m4m4m 3m 12 34 5 6 7 F6=120kN F7H=120kN F7V=45kN 1 15kN FN12 FN13 Fx13 Fy13 从最后的节点开始，逆向依次截取各节点求解。从最后的节点开始，逆向依次截取各节点求解。 对于简单桁架，截取结点隔离体的顺序与桁

10、架几何组成对于简单桁架，截取结点隔离体的顺序与桁架几何组成 顺序相反。（逆向）顺序相反。（逆向） 15kN15kN15kN 4m4m4m 3m 12 34 5 6 7 F6=120kN F7H=120kN F7V=45kN 15 15 25 20 1 20 2 15 2020 15 3 15 2515 20 30 40 50 60 46060 0 5 15 20 5030 40 0 45 60 75 120 660 60 45 75 45 120 7120 45 45 120 15kN15kN15kN 4m4m4m 3m 12 34 5 6 7 F6=120kN F7H=120kN F7V=4

11、5kN -20-20-120 20 15 15 2550 40 30 0 60 45 75 -45 6060 - + 另提几点：另提几点： ）杆件轴力可在杆轴线所在的直线上）杆件轴力可在杆轴线所在的直线上任意点分解任意点分解，可，可沿任意沿任意 方向分解方向分解（不一定分解为正交分力，只要满足平行四边形法则（不一定分解为正交分力，只要满足平行四边形法则 即可）；在适当位置分解可使计算简化。即可）；在适当位置分解可使计算简化。 ）结点法不一定只能建立）结点法不一定只能建立X、Y 方向力的方程，方向力的方程，也可建立力也可建立力 矩方程矩方程（实质为（实质为“节点连同截断的杆端节点连同截断的杆端”

12、一起为脱离体，而非一起为脱离体，而非 节点这一个节点这一个“点点”作为脱离体）。作为脱离体）。 利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆 (1)关于零杆的判断关于零杆的判断 在给定荷载作用下，桁架中轴力为零的杆件，称为在给定荷载作用下，桁架中轴力为零的杆件，称为零杆零杆。 2）T型结点型结点：成：成T型汇交的三杆结点无荷载作用，则不型汇交的三杆结点无荷载作用，则不 共线的第三杆（又称单杆）必为零杆，而共线的两杆共线的第三杆（又称单杆）必为零杆，而共线的两杆 内力相等且正负号相同（同为拉力或压力）。内力相等且正负号相同（同为拉力或压力）。 1）L型结点型结

13、点：成：成L型汇交的两杆结点无荷载作用，型汇交的两杆结点无荷载作用， 则这两杆皆为零杆。则这两杆皆为零杆。 L型结点型结点T型结点型结点 T型结点（推广）型结点（推广） FN1=0 FN2=0 FN3=0(单杆单杆) FN2= FN1 FN1FN1 =FP FN2=0 FP (荷载 荷载) = 1）X型结点：型结点：成成X型汇交的四杆结点无荷载作用，则彼此型汇交的四杆结点无荷载作用，则彼此 共线的杆件的内力两两相等共线的杆件的内力两两相等。 X型结点型结点 FN1FN3 FN2= FN1FN4= FN3 (2)关于等力杆的判断关于等力杆的判断 K型结点型结点Y型结点型结点 FN1 FN1 FN

14、3 FN3 FN2= FN1 FN2= -FN1 FN4 FN3 a a a aa a a a 第三杆第三杆 2）K型结点：型结点：成成K型汇交的四杆结点，其中两杆共线，型汇交的四杆结点，其中两杆共线， 而另外两杆在此直线同侧且交角相等，若结点上无荷载而另外两杆在此直线同侧且交角相等，若结点上无荷载 作用，则不共线的两杆内力大小相等而符号相反。作用，则不共线的两杆内力大小相等而符号相反。 3）Y型结点型结点：成：成Y型汇交的三杆结点，其中两杆分别在型汇交的三杆结点，其中两杆分别在 第三杆的两侧且交角相等，若结点上无与该第三杆轴线第三杆的两侧且交角相等，若结点上无与该第三杆轴线 方向偏斜的荷载作

15、用，则该两杆内力大小相等且符号相方向偏斜的荷载作用，则该两杆内力大小相等且符号相 同。同。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 AB CD AB C 【例】试求图示桁架各杆的轴力。【例】试求图示桁架各杆的轴力。 AB C DEFP 1.5a a a a a 1.5a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 法一：直接用节点法，一个个节点求解，可求但较繁。法一：直接用节点法，一个个节点求解，可求但较繁。 解：解：(1)利用桁架的整体平衡条件，求出支座利用桁架的整体平衡条件，求出支座A、B的反力。的反力。 (2)判断零杆判断零杆 (3)计算其余杆件的轴力计算其余杆件的轴力 AABB

16、CC DDEE E FPFP FP FP 1.5a a a a a 1.5a 4FP /34FP /3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 FNE1 FNE2 FxE2 FyE2 -4 FP /3 -4 FP /3 -4 FP /3 -4 FP /3 5FP /3 5FP /3 5FP /3 5FP /3 法二：先据特殊节点判断零杆，可简化计算法二：先据特殊节点判断零杆，可简化计算 找出桁架中的零杆 0 0 0 0 0 0 0 0 8根 00 0 0 0 0 0 7根 0 0 0 0 0 0 0 9根 0 0 返回 N1=N20 N1=N2 N1N2 N1=N2=0 P P 12 对称结

17、构受对称荷载作用 5.2.2 截面法截面法 截面法是截面法是用一适当截面，用一适当截面，截取桁架一部分（包括两个以截取桁架一部分（包括两个以 上结点）为隔离体，利用平面一般力系的三个平衡条件，上结点）为隔离体，利用平面一般力系的三个平衡条件， 求解所截杆件未知轴力的方法。求解所截杆件未知轴力的方法。 截面法最适用于截面法最适用于联合桁架联合桁架的计算；也适用于简单桁架中少的计算；也适用于简单桁架中少 数指定杆件的内力计算。数指定杆件的内力计算。 在分析桁架内力时，如能在分析桁架内力时，如能选择选择合适的截面、合适的平合适的截面、合适的平 衡方程及其投影轴或矩心衡方程及其投影轴或矩心，并将杆件未

18、知轴力在，并将杆件未知轴力在适当的位适当的位 置进行分解置进行分解，就可以避免解联立方程，做到一个平衡方程就可以避免解联立方程，做到一个平衡方程 求出一个未知轴力，从而使计算工作得以简化求出一个未知轴力，从而使计算工作得以简化（刚体力学（刚体力学 中力可沿作用线移动）中力可沿作用线移动）。 截面选择原则：截面选择原则： 1)尽量切开被求杆件或尽量靠近被求杆件；尽量切开被求杆件或尽量靠近被求杆件； 2) 截断杆件尽量少，最好只有三个（可建三个方程直接求解）截断杆件尽量少，最好只有三个（可建三个方程直接求解） 公理公理2 加减平衡力系公理加减平衡力系公理 在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不

19、改变 原力系对刚体的作用。 1-3 静力学公理静力学公理 推理推理1 力的可传性力的可传性 作用在刚体上的力是滑动矢量，力的三要素为大小、方向和大小、方向和作用线作用线 作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚 体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。 1-3 静力学公理静力学公理 F F 推理推理1 力的可传性力的可传性 A F AB B F AB 一、一、 平面一般力系平面一般力系 0X 0Y 0M O y 截面单杆截面单杆：任意隔离体中，除某一杆件外，其它所有待求内力：任意隔离体中，除某一杆件外，其它所有待求内力 的杆件均相交于一点或平行时，则此杆件称为该截面的截面单的杆件均相交于

20、一点或平行时，则此杆件称为该截面的截面单 杆。杆。 截面法截面法 截面单杆的内力可直接根据隔离体矩平衡条件求出。截面单杆的内力可直接根据隔离体矩平衡条件求出。 AB12345 1234 6d d d 3 4 PPP PVA5 . 1 PVB5 . 1 a b c d e (1) a N b N 2 d 3 4 1 12 PP5 . 1 a N b N PVPNY Aa 5 . 00 025 . 1 3 4 0 2 dPdNM b PNb25. 2 【例】求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。【例】求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。 AB12345 1234 6d d d 3 4 PPP PVA

21、5 . 1PVB5 . 1 a b c d e (2) c N c N B 45 4 P P5 . 1 d e PPPYc5 . 05 . 1 PYN cc 625. 0 4 5 AB12345 1234 6d d d 3 4 PPP PVA5 . 1PVB5 . 1 a b c d e d N 4 B 45 P P5 . 1 e X e Y k 2d2d 025 . 122dPddPNd PNd25. 0 0 4 M 0 k M PX e 25. 2 PXN ee 10 4 3 3 10 (3) ed NN ABCD P1 P2 1 2 N1 D ABCD P1 P2 2 1 0NM D N

22、2 2 0NM C P AB RARB R B 。 k P P 。 k P 二、特殊截面二、特殊截面 简单桁架简单桁架一般采用一般采用结点法结点法计算；计算； 联合桁架联合桁架一般采用一般采用截面法截面法计算。计算。 求图示桁架指定杆轴力。求图示桁架指定杆轴力。 解：解： 找出零杆如图示；找出零杆如图示； 0 00 0 0 0 由由D点点 PF PYPYF N Y 3 13 , 0 2 22 1 1 1-1截面以右截面以右 44m 23m5m 1 2 AC DB PP E F C P FNCE PF PFM CEN CENF 3 2 , 046 取取C点为分离体点为分离体 PF CEN 3 2

23、 P FN1 0 C PFPX XFF N CENX 6 5 , 3 2 , 0 11 1 5.2.35.2.3 结点法与截面法的联合应用结点法与截面法的联合应用 2P ll l2l2ll a b AB 求图示桁架指定杆轴力求图示桁架指定杆轴力。 解：解：整体平衡得：整体平衡得： 0, 3 1 , 3 5 ABA HPYPY 5P/3 P/3 x 5P/3 1-1截面以上截面以上 252 0 232 a P XN x c 2-2截面以下截面以下 22 0 23 2 c P XN 1 1 2 2 x 3-3截面以右 PN P NNNX bcba 得：0 2 2 ) 3 ( P/3 Na Nb N

24、c 3 3 Na 5P/3 P/3 Nc 5 3 a P N 得： 3 c P N 得： FP FP a a 截面法 相交型 结点法 a 截面法 相交型 联合法联合法 FP a 2FP b FPFPFPFPFPFPFP 8d 2d a b c d 联合法联合法 FPFP a b FP FP b a 联合法联合法 6L 2L FP/2FP/2FPFPFPFPFP a FN2=-FN1 FN1=-FN2 b 联合法联合法 设计桁架时，应根据不同的情况和要求，选择设计桁架时，应根据不同的情况和要求，选择 适当的桁架形式。要做到这样，就必须明确桁架的适当的桁架形式。要做到这样，就必须明确桁架的 形式对

25、其内力分布和构造的影响，了解各类桁架的形式对其内力分布和构造的影响，了解各类桁架的 应用范围。应用范围。 下图为最为常见的三种桁架：下图为最为常见的三种桁架：三角形桁架、平三角形桁架、平 行弦桁架行弦桁架和和抛物线形桁架抛物线形桁架，在相同的均布荷载，在相同的均布荷载( (作作 用于下弦杆上用于下弦杆上) )各杆的内力如图所示。各杆的内力如图所示。 -15.8 10 10 kN -79.1 10 kN10 kN10 kN10kN 图图(a) 三角形桁架三角形桁架 -63.4 -47.4 757575 15 30 -18.0 a (c) 抛物线形抛物线形 桁架桁架 10 kN10 kN10 kN

26、10 kN10 kN 454545 -51.5 -47.5 -45.3 10 10 10 0 0 aa aaaa a 10 kN10 kN 10 kN10 kN10 kN 图图(b) 平行弦桁架平行弦桁架 0 -25 35.4 -15 21.2 -5 7.1 2540 0a -45-40-25 (1)三角形桁架三角形桁架 其弦杆的内力近支座处最大，若各杆采用等截面，则会造其弦杆的内力近支座处最大，若各杆采用等截面，则会造 成材料浪费，若不等截面，则结构拼装有一定的难度。成材料浪费，若不等截面，则结构拼装有一定的难度。 因为因为具有两面斜坡的外形具有两面斜坡的外形，符合普通黏土瓦屋面的要求，符合

27、普通黏土瓦屋面的要求， 。 内力分布不均匀内力分布不均匀 -15.8 10 10 kN -79.1 10 kN10 kN10 kN10kN 图图(a) 三角形桁架三角形桁架 -63.4 -47.4 757575 15 30 -18.0 a 弦杆的内力向跨中增大，若各杆采用等截面，则会造成材弦杆的内力向跨中增大，若各杆采用等截面，则会造成材 料浪费，若不等截面，则结构拼装有一定的难度。料浪费，若不等截面，则结构拼装有一定的难度。 优点：优点：结点构造单一化，腹杆标准化结点构造单一化，腹杆标准化等，等，多应用于轻型桁多应用于轻型桁 架架， 如厂房中如厂房中12m12m以上的吊车梁，桥梁中多用于以上

28、的吊车梁，桥梁中多用于50m50m以下跨度的以下跨度的 梁梁 10 kN10 kN 10 kN10 kN10 kN 图图(b) 平行弦桁架平行弦桁架 0 -25 35.4 -15 21.2 -5 7.1 2540 0a -45-40-25 (3)抛物线形桁架抛物线形桁架 材料使用上最经济材料使用上最经济。但其上弦杆在每一个节间的倾角都不但其上弦杆在每一个节间的倾角都不 同，结点构造复杂，施工不便。同，结点构造复杂，施工不便。 多用于在大跨度的结构中，例如多用于在大跨度的结构中，例如100100150m150m的桥梁，的桥梁，1818 30m30m的屋架的屋架。 (c) 抛物线形抛物线形 桁架桁

29、架 10 kN10 kN10 kN10 kN10 kN 454545 -51.5 -47.5 -45.3 10 10 10 0 0 aa aaaa a 5.45.4 静定组合结构静定组合结构 钢筋混凝土钢筋混凝土 型钢型钢 钢筋混凝土钢筋混凝土 型钢型钢 三铰屋架三铰屋架 下撑式五角形屋架下撑式五角形屋架 由只承受轴力的二力杆（桁式杆）和梁式杆（承受弯矩、剪力由只承受轴力的二力杆（桁式杆）和梁式杆（承受弯矩、剪力 及轴力）及轴力）混合组成的结构混合组成的结构。 0.7m 0.5mAB C DE FG mkNq/1 RA=6 RB=6 15 15 +3.5 mkNq/1 A F C a 2.5

30、15 3.5 15 Y=0 弯矩弯矩,由由F以右以右0.25 m mkNM F 75. 033 2 1 25. 015 剪力与轴力剪力与轴力 aa aa cossin sincos HYN HYQ 996. 0cos0835. 0sinaa 0.75 0.75 M图图( kN.m) 0.75 -3.5 剪力与轴力剪力与轴力 aa aa cossin sincos HYN HYQ 996. 0cos0835. 0sinaa 如截面如截面A kN QA 24. 1 0835. 015996. 05 . 2 kN N A 15.15 996. 0150835. 05 . 2 a 2.5 15 A Y

31、 H 1.24 1.75 1.74 1.25 + _ Q图图 (kN) _ 15.15 14.96 15.17 14.92 N图图 (kN) Q N ：它是无多余约束的几何不变体系它是无多余约束的几何不变体系； 全部反力和内力可由静力平衡方程求得，全部反力和内力可由静力平衡方程求得，解答是解答是 唯一的，有限的唯一的，有限的。称为称为静定结构解答的唯一性定静定结构解答的唯一性定 理理。 静定结构在静力分析中具有如下特征：静定结构在静力分析中具有如下特征： (1)(1)在静定结构中，除荷载外，任何其它外因（如：温度改在静定结构中，除荷载外，任何其它外因（如：温度改 变，支座位移，材料伸缩、制造误

32、差等）均不会产生任何变，支座位移，材料伸缩、制造误差等）均不会产生任何 反力和内力。反力和内力。 无荷载作用时，零反力和零内力必能满足全部的静力平衡无荷载作用时，零反力和零内力必能满足全部的静力平衡 条件。根据静定结构解答的唯一性可知，条件。根据静定结构解答的唯一性可知，除荷载外，任何除荷载外，任何 其它外因均不会产生任何反力和内力。其它外因均不会产生任何反力和内力。 t1(0 t1 t2) t2 B (2)(2)平衡力系的影响平衡力系的影响 当平衡力系所组成的荷载作用于静定结构的某一几何不变的当平衡力系所组成的荷载作用于静定结构的某一几何不变的 部分时，只有该部分受力，其余部分的反力和内力均

33、为零。部分时，只有该部分受力，其余部分的反力和内力均为零。 Fp Fp 2Fp FpFp (3)(3)荷载等效变换的影响荷载等效变换的影响 对作用于静定结构某一几何不变对作用于静定结构某一几何不变 部分上的荷载进行等效变换时，只有该部分的内力发生变部分上的荷载进行等效变换时，只有该部分的内力发生变 化，其余部分的反力和内力均保持不变。化，其余部分的反力和内力均保持不变。 FpFp Fp (4)(4)结构的构件截面尺寸材料性质及应变规律的影响结构的构件截面尺寸材料性质及应变规律的影响 静定结构的反力和内力不随构件的截面尺寸、材料的静定结构的反力和内力不随构件的截面尺寸、材料的 性质及应变规律的变

34、化而改变。性质及应变规律的变化而改变。 因为静定结构的反力和内力是由静力平衡方程求出来因为静定结构的反力和内力是由静力平衡方程求出来 的，而静力平衡方程中不包含上述因素的参数。的，而静力平衡方程中不包含上述因素的参数。 静力等效荷载静力等效荷载：具有同一合力的各种荷载。具有同一合力的各种荷载。 荷载等效变换荷载等效变换：将一种荷载变换为另一种与其静力等效的荷将一种荷载变换为另一种与其静力等效的荷 载过程。载过程。 四、对称桁架的计算（上章刚架也可利用对称性）四、对称桁架的计算（上章刚架也可利用对称性） 对于静定桁架，若对于静定桁架，若几何形状几何形状、支承形式支承形式和和内部联结内部联结都关于

35、某一都关于某一 轴线对称，则称此桁架为轴线对称，则称此桁架为对称桁架对称桁架。 FP FP 对称结构对称结构: 对于静定结构，对于静定结构，几何形状几何形状、支承条件支承条件和和内部联内部联 结结均对某轴对称的结构均对某轴对称的结构. . FPFP PP 对称荷载对称荷载 PP 反对称荷载反对称荷载 所谓所谓对称荷载对称荷载，是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿，是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿 对称轴对折后，其作用线重合且方向相同的荷载；对称轴对折后，其作用线重合且方向相同的荷载； 而而反对称荷载反对称荷载，则是指位于对称轴两边大小相等、若将结构，则是指位于对称轴两边大小相等、若将结

36、构 沿对称轴对折后，其作用线重合但方向相反的荷载。沿对称轴对折后，其作用线重合但方向相反的荷载。 1、对称桁架的基本特性、对称桁架的基本特性 (1)在在对称荷载对称荷载作用下，对称杆件的内力是对称的，作用下，对称杆件的内力是对称的， 即大小相等，且拉压一致。即大小相等，且拉压一致。 (2)在在反对称荷载反对称荷载作用下，对称杆件的内力是反对称的，作用下，对称杆件的内力是反对称的， 即大小相等，但拉压相反。即大小相等，但拉压相反。 (3)在在任意荷载任意荷载作用下，可将荷载分解为对称荷载与反对作用下，可将荷载分解为对称荷载与反对 称荷载两组，分别计算出内力后再叠加。称荷载两组，分别计算出内力后再

37、叠加。 【例】试用比较简捷的方法计算图【例】试用比较简捷的方法计算图5-21a所示桁架各杆的轴力。所示桁架各杆的轴力。 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2 2FP 3FP/2FP/2 3 2/2 P F aaaa a FP/2 3FP/2 2/2 P F 2/2 P F 2/2 P F -FP 解：利用对称性分析该桁架。首先，将对称桁架上作用的一解：利用对称性分析该桁架。首先，将对称桁架上作用的一 般荷载分解为对称荷载和反对称荷载两种情况，分别计算，般荷载分解为对称荷载和反对称荷载两种情况，分别计算， 如图示。然后将各对应杆的轴力叠加如图示。然后将各对应杆的轴力叠加 。计算过程从略。计

38、算过程从略。 1 1 2 2 3 3 4 45 5 2 2FP 3FP/2FP/2 3 2/2 P F aaaa a FP/23FP/2 2/2 P F 2/2 P F 2/2 P F -FP FPFP FP FP FP FP FPFP FPFP -FP-FP - 12 3 45 1 FP/2FP/2 FP/2-FP/2 FPFP 2/2 P F 2/2 P F FP/2 FP/2 FP/2 FP/2 -+ 2 3 45 = + 【例例】用对称性计算图示桁架杆件】用对称性计算图示桁架杆件a的轴力。的轴力。 = FP FP FP/2FP/2 a ll l l 1 2 3 4 5 6 7 += 解

39、：解： (1)将荷载与支座反力一起分解为对称荷载和反对称将荷载与支座反力一起分解为对称荷载和反对称 荷载，如图所示。荷载，如图所示。 (2)求在对称荷载作用下杆件求在对称荷载作用下杆件a的轴力的轴力FNa1： FNa1 = -FP。 FP FP FP/2FP/2 a ll l l 1 23 4 5 6 7 1 2 3 4 567 FP/2 FP/2 FP/2 FP/2 00 FP/2 FP/2 FP/2 FP/2 -FP + FP/2FP/2 1 1 2 23 34 4 5 56 6 7 7 FP/2 FP/2 FP/2 FP/2 (3)求在反对称荷载作用下杆件求在反对称荷载作用下杆件a的轴力

40、的轴力FNa2： FNa2 = 0 (4)将对称荷载作用与反对称荷载作用下杆件将对称荷载作用与反对称荷载作用下杆件a的轴力叠的轴力叠 加，即可得出图示杆件的轴力为加，即可得出图示杆件的轴力为 FNa = FNa1 + FNa2 = (-FP) + 0 = -FP + FP FP FP/2FP/2 a ll l l 1 23 4 5 6 7 1 2 3 4 567 FP/2 FP/2 FP/2 FP/2 00 FP/2 FP/2 FP/2 FP/2 -FP + = FP/2FP/2 1 1 2 23 34 4 5 56 6 7 7 FP/2 FP/2 FP/2 FP/2 2、利用对称性判定桁架零

41、杆、利用对称性判定桁架零杆 1）在对称荷载作用下，位于）在对称荷载作用下，位于对对 称轴处的自身对称的称轴处的自身对称的K型结点型结点， 若节点无外力作用，则两斜杆均若节点无外力作用，则两斜杆均 为零杆。为零杆。 2）在反对称荷载作用下，与对称轴垂直相交的横杆或与对称）在反对称荷载作用下，与对称轴垂直相交的横杆或与对称 轴线重合的竖杆轴线重合的竖杆(都为自身对称的杆件都为自身对称的杆件)其轴力均为零。其轴力均为零。 自身对自身对 称的称的Y型结点型结点，若节点无外力作用，则两斜杆均为零杆。，若节点无外力作用，则两斜杆均为零杆。 FP/2FP/2 1 1 2 23 34 4 5 56 6 7 7

42、 FP/2 FP/2 FP/2 FP/2 FPFP FP FP FPFP FPFP FPFP -FP-FP - 12 3 45 1 FP/2FP/2 FP/2-FP/2 FPFP 2/2 P F 2/2 P F FP/2 FP/2 FP/2 FP/2 -+ 2 3 45 【例】试求图示桁架指定杆件【例】试求图示桁架指定杆件a、b的轴力。的轴力。 1 2 34 56 78 9 10 FP FP FP FP 2FP2FP a b a aaaaa a a 1、选择适当的截面，以便于计算要求的内力、选择适当的截面，以便于计算要求的内力 方法一：方法一：求图示桁架指定杆件求图示桁架指定杆件a、b的轴力。

43、的轴力。 1 2 34 56 78 9 10 FP FP FP FP 2FP2FP a b a aaaaa a a PPPP FNaNaFaFaFM NN NM 3 5 03220 2 3 4 0 1 78782 2334 458 、 可求节点、 可求、 提示提示: 截面尽量剖开所截面尽量剖开所 求杆件。当此时所求杆求杆件。当此时所求杆 件的内力不好求出时，件的内力不好求出时， 剖开相临杆件，剖开相临杆件，转化成转化成 先求相邻近的与其有关先求相邻近的与其有关 系的杆件系的杆件，看其能否求，看其能否求 出（转移杆法）；出（转移杆法）； 解：取解：取-截面左边（或右边）部分为隔离体。可由一个平截

44、面左边（或右边）部分为隔离体。可由一个平 衡方程解出一个未知力。衡方程解出一个未知力。 由由 ，可得，可得 0 2 M0322 2,79 7,9PP aNdFaFaF a ? ) 3 4 ( 9 , 79 , 7 怎样求那么 XXpa FFFN 123456 78 9 10 FPFPFPFP 2FP2FP a b a aaaaa a a 方法二：方法二： 03322 X 7,9PP aNaFaFaF a FN2,9 FN9,10 1 2 7 10 2FP FP a b FP FNa FNb FN8,10 F7,9 F7,9X F7,9Y 8 在在7节点分解节点分解FN79得：得： F79对节点

45、对节点2的力矩如何求？的力矩如何求？法法1、 ; 5)2( ; 2 2 2 1 22 9 , 710, 99 , aaaL a LLO PPXP O FFFFF L L F 3 1 5 1 5 3 1 ; 5 3 1 9 ,79 , 49 ,7 ,7 9 ,7 9 ,7 方向沿 123456 78 9 10 FPFPFPFP 2FP2FP a b a aaaaa a a 节点节点3为为X形节点，所以形节点，所以N39=FP。 。对于节点 对于节点9：将：将FN79在在4,9方方 向分解各力；向分解各力； 2 7 10 9 34 O P9 , 49 , 39 , 49 ,7 22 ,7 2 2

46、; 2 3 ) 2 2 () 5( FFFa a aL O 方向沿方向沿 代入上页式子可得代入上页式子可得FNa 8 5 再由再由 ，可得，可得 0 8 M 033 3 2 342 NP PPP aFaF aFaFaF b （拉力） PN 3 2 FF b 123456 78 9 10 FPFPFPFP 2FP2FP a b a aaaaa a a 1 2 7 10 8 2FP FP a b FP FNa FNb FN8,10 FN2,9 FN9,10 PPY FFF 3 2 5 2 5 3 1 9 ,7 提示提示: 当很多杆件在同一直线当很多杆件在同一直线 上时上时，若剖开这些杆件，因，若剖

47、开这些杆件，因 此些杆的未知轴力都在同一此些杆的未知轴力都在同一 条直线上，对其直线上一点条直线上，对其直线上一点 求矩时，则方程中不含这些求矩时，则方程中不含这些 杆的未知力。杆的未知力。 解：取解：取-截面左边（或右边）部分为隔离体。可由一截面左边（或右边）部分为隔离体。可由一 个平衡方程解出一个未知力。个平衡方程解出一个未知力。 由由 ，可得，可得 0 2 M0322 79,2 7,9PP aNdFaFaF a 123456 78 9 10 FPFPFPFP 2FP2FP a b a aaaaa a a 1 2 7 10 8 2FP FP a b FP FNa FNb FN8,10 FN

48、2,9 FN9,10 F7,9 F79对节点对节点2的力矩如何求？的力矩如何求？法法2： 123456 78 9 10 FPFPFPFP 2FP2FP a b a aaaaa a a 节点节点3为为X形节点，所以形节点，所以N39=FP。 。对于节点 对于节点9：将：将N79在在3,9方方 向分解各力；向分解各力； P9379 X9FFF Y 点点， 型节节点为 2 7 10 9 3 4 N79Y N79X FP FPFPFP2FP 对节点对节点2求矩，求矩，F79Y力臂为力臂为a, F79x力臂为力臂为0,进而可求进而可求FNa。 对节点对节点8求矩，求矩，F79Y力臂为力臂为2a, F79

49、x力臂为力臂为0,进而可求进而可求FNb。 8 5 提示提示: 当求一个斜杆对某一点的力矩时，将此力在当求一个斜杆对某一点的力矩时，将此力在合适的合适的 位置分解位置分解并考虑并考虑在合适的方向上分解。在合适的方向上分解。 a 3d 3d A E B C PP 【例例】：求桁架中：求桁架中a杆件的轴力。杆件的轴力。 a 3d 3d A E B C PP 法一法一:节点法（如何求？）节点法（如何求？） a 3d 3d A E B C PP 法二法二:截面法（截面法（1、转移杆法）、转移杆法） a B 3d 3d A E B C Ya Xa P 3 5 YN aa 2 5 3 2 PYadYdPM

50、 aA 032 A C E P Na PP 法二法二:截面法（截面法（2、同一直线上杆较多时）、同一直线上杆较多时） 2、选择适当的平衡方程，使每个方程中只含一个未知力、选择适当的平衡方程，使每个方程中只含一个未知力 FPFPFPFPFPFPFP FPFP FAy FAy FAy FAy FBy FBy a a A B C C C A B A C x y FNa FNa 0 0 (矩心矩心) 截面单杆截面单杆1 截面单杆截面单杆2 【例】试求图示桁架指定杆件【例】试求图示桁架指定杆件1、2、3的轴力。的轴力。 解：截取截面解：截取截面-左边部分为隔离体，只需注意选择适左边部分为隔离体，只需注意选择适 当矩心，分别列写出相应的