第5单元第30讲 平面向量的应用

1、1 2 3 掌握平面向量在解析几何、三角函 数及数列等方面的综合应用.平面向量 是中学数学知识的一个交汇点，成为多 项内容的媒介，本讲主要梳理平面向量 与三角函数、解析几何、数列的交汇， 突出培养学生运用向量工具综合解决问 题的能力. 4 1. ( ) 解析 22 2 2 1 40 4 1 | 1 4 cos 1 | |2 | 2 3 aababa a a b ab ab a ab 依题意得， 所以 ， ， 所以 ， ， B 5 2.设a、b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)(a-xb) 的图象是一条直线，则必有( )A A.ab B.ab C.|a|=|b| D.|a|b| 因为f(x

2、)=(xa+b)(a-xb) =xa2-x2ab+ab-xb2 =-x2ab+(a2-b2)x+ab， 且f(x)的图象是一条直线,所以ab=0ab. 解析 6 3.设向量a、b、c满足a+b+c=0,且 ab,|a|=|b|=2，则|c|2=( )C A.1 B.2 C.8 D.5 因为ab ab=0, 则由a+b+c=0 c=-(a+b), 所以|c|2=cc=|a|2+2ab+|b|2=8. 解析 7 (2cos2sin )() 2 (01) 4 . a bab 已知向量， ，则向量 与 的夹角为_. 解析 3 2 易错点 没有注意到 与 的取值范围，不 能合理使用诱导公式 2 coss

3、in |2 3 (). 3 222 sin a b ab ， 又，所以，故填 8 5. . _. 解析 易错点 的重心，造成计算量增大，甚至失去解题 方向 6 9 1.向量中“数与形”转化化归思想 向 量 既 有 大 小 ， 又 有 方 向 ， 兼 备 “数”“形”双重特点.向量运算均有相应的 几何性质，因此有关几何性质的问题可通过 向量或其运算转化化归为代数问题分析、探 究. 2.向量的工具性作用 线段的长,直线的夹角,有向线段的分点位 置，图形的平移变换均可用向量形式表示,从 而向量具有工具性作用.可以用向量来研究几 何问题,利用其运算可以研究代数问题. 10 3.向量载体的意义 函数、三

4、角函数、数列、解析几何 问题常常由向量形式给出，即以向量为 载体，通过向量的坐标运算转化化归为 相应的函数、三角函数、数列、解析几 何问题，这就是向量载体的意义.这类问 题情境新颖，处在知识的交汇点，需要 综合应用向量、函数、三角函数、数列、 解析几何知识分析、解决问题. 11 在 直 角 坐 标 平 面 中 ， 已 知 点 P1(1,2),P2(2,22),P3(3,23),Pn(n,2n)，其中n 是正整数.对平面上任一点A0，记A1为A0关 于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称 点，An为An-1关于点Pn的对称点. 题型一 平面向量与函数、数列整合 例1 12 (1)求向量 的

5、坐标； (2)当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹 是函数y=f(x)的图象，其中f(x)是以3为周 期的周期函数，且当x(0,3时， f(x)=lgx，求以曲线C为图象的函数在(1,4 上的解析式； (3)对任意正偶数n,用n表示向量 的坐标. 02 A A 0n A A 13 (1)设点A0(x,y)，A0关于点 P1(1，2)的对称点A1的坐标为 A1(2-x,4-y),A1关于点P2(2，22)的 对称点A2的坐标为A2(2+x,4+y). 所以 =(2,4). 02 A A 解析 14 (2)(方法一) 因为 =(2,4)，所以f(x)的图象由曲线C向 右平移2个单位长度，再向上平

6、移4个单 位长度得到. 因此,曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x) 是以3为周期的周期函数,且当x(-2,1 时，g(x)=lg(x+2)-4. 于是，当x(1,4时，g(x)=lg(x-1)-4. 02 A A 15 (方法二) 设点A0(x,y),A2(x2,y2),于是 x2-x=2 y2-y=4. 若3x26，则0 x2-33, 于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3), 当1x4时，则3x26,y+4=lg(x-1), 所以当x(1,4时，g(x)=lg(x-1)-4. 16 (3) = + + . 因为 =2 ,得 =2( + + ) =2(1,2)+(1,23)+

7、(1,2n-1) =2( , )=(n, ). 0n A A 02 A A 24 A A 2nn AA 222kk AA 212kk AA 0n A A 12 PP 34 PP 1nn P P 2 n 2(21) 3 n 4(21) 3 n 17 评析 本题是向量与函数、数列的交汇， 涉及的知识点较多，比如：对称、周期函 数、图象平移、首尾相接的向量之和、等 比数列求和以及中位线，等等，这是一道 融函数意识和数列意识于一起的好题 18 变式1(sinsin ) (coscos )sin2 AB BACAB CABCabc m nm n 已知向量， ，且 、 、 分别为的三边 、 、 所对的角

8、sinsin 1 n2si C ACB数 求角 的大小； 若，成等差列，且 19 解析 sin cossin cossin ,0 sinsinsin . sin2sin2sin 1 cos 1 . 32 ABBAAB ABCABCC ABC C C C CC C 对 为 ， 于， 所以，所以 又因，所以， 所以，故 m n m n m n sinsinsin 2sinsinsi 2 n2. ACB CABcab 数由，成等差列， 得，所以 20 222 2 222 cos1836. 2cos 3 43 33666. abCab cababC abb cccc a 即，即 由余弦定理 ， 所以，

9、则，所以 21 设a=(1+cos,sin),b=(1-cos,sin), c=(1,0)，其中(0,),(,2),a与c的夹角 为1,b与c的夹角为2,且1-2= ,求sin 的值. 6 4 题型二 平面向量与三角函数知识整合 例2 22 a=(2cos2 ,2sin cos ) =2cos (cos ,sin ), b=(2sin2 ,2sin cos ) =2sin (sin ,cos ), 因为(0,),(,2), 所以 (0, ), ( ,), 故|a|=2cos ,|b|=2sin , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解析 23 cos1=

10、= =cos ,所以1= ； cos2= = =sin =cos( - ), 因为0 - ,所以2= - ,又1-2= , 所以 - + = ，故 =- , 所以sin =sin(- )=- . | a c ac 2 2cos 2 2cos 2 2 2 2 2 b c |b | |c| 2 2cos 2 2cos 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 6 2 3 4 6 1 2 24 评析 本题是向量与三角函数结合的综合题， 关键是利用数量积，将 、 转换成 、 ， 求得结果 1 2 25 变式2 (sincos ) (6sincos7sin2cos ) ( ). 1 2 ( ) 6 3

11、23 2 f f ABCABC abcfAABC bca a b a b 已知向量， ，设函数 求函数的最大值； 在锐角三角形中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 的面积为 ，求的值 26 解析 m 2 ax 2 ( ) sin (6sincos )cos (7sin2cos ) 6sin2cos8sin cos 4(1cos2 )4sin22 4 2sin( ( )4 22 2)2 4 . 1 f f ， 所以 a b 14 2sin(2)26 4 2 sin(2) 42 0 2 2fAA A A 由可得， 因为， 27 222 2 2 3 22. 444444 12 sin36 2.

12、 24 23 2 2cos 2 22 2 2 (23 2)12 226 210 2 0.1 ABC AAA SbcAbcbc bc abcbcA bcbc a bc 所以， 因为，所以 又， 所以 ， 所以 28 (1)如图，OMAB，点P在射线OM、 线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内 (不含边界),且 =x +y ,则实数对 (x,y)可以是( ) OP OA OB A.( , ) B.(- , ) C.(- , ) D.(- , ) 1 4 3 4 2 3 2 3 1 4 3 4 1 5 1 5 C 题型三 平面向量与解析几何、平面几何整合 例3 29 (2)已知非零向量 与 满足

13、( + ) =0,且 = , 则ABC为( ) AB AC | AC AC | AB AB BC | AB AB | AC AC 1 2 A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 D 30 (1)(方法一) 特别地，设ABO是 正三角形.因为满足选项A 的点P在线段AB上，故排 除A；由于OM是BOC的平分线,所以满足 选项B的点P恰好在射线OM上,也不合要求; 对于选项D来说,作 =- , = ，并 以OC与OD为邻边作平行四边形OCPD(如图 所示)，则点P满足 =- + . OC OB OA 1 5 OD 7 5 OP OA 1 5 OB 7 5 解

14、析 31 由于|BD|=2|OC|=2|PD|，取BD的中点E, 连接PE,易知PEAB,从而点P在阴影区域外, 所以选项D也不符合题意,故选C. (方法二)易知x0，如图 所示延长AO至C使 =x ， 再过点C作OB的平行线与 OM、AB的延长线分别交于 P1、P2， OC OA 32 则点P一定在线段P1P2上(不含两端点). 过点P1、P、P2分别作OA的平行线交 OB及延长线于E、F、D， 则y= . 由COP1OAB 得 = = =-x, 同理 =-x，所以OD=(-x+1)OB, 即 =1-x，故y(-x,1-x)，所以答 案选C. OF OB OF OB 1 CP OB OC A

15、O BD OB OD OB 33 (2)(方法一)根据四个选择项的特点，本题可 采用验证法来处理，不妨先验证等边三角 形，刚好适合题意，则可同时排除其他三 个选择项，故答案必选D. (方法二)由于 + 所在直线穿过ABC 的内心,则由( + ) =0知,| |=| | (等腰三角形的三线合一定理)； 又 = ,所以A= ,即ABC为等边 三角形，故选D. AB AC | AC AC | AB AB BC | AB AB | AC AC | AB AB | AC AC 1 23 34 (1)方法一与方法二都运用了特 殊化的思想，不同的是前者侧重于用 排除法，而后者侧重于运算；方法二 虽然在本题的

16、处理中显得有点繁锁， 但若背景换成填空题，则这种方法就 显得很重要了. 评析 35 (2)方法一抓住了该题选择项的特点而 采用了验证法，是处理本题的巧妙方法； 方法二要求学生能领会一些向量表达式与 三角形某个“心”的关系,如 + 所在 直线一定通过ABC的内心； + 所在直 线过BC边的中点，从而一定通过ABC的 重心； + 所在直线一定通过 ABC的垂心等. AB AC | AB AB | AC AC | cos AB ABB | cos AC ACC 36 变式变式3 1 a2 28. () 0,32 xy xyxy xy M xyC CABAB Rij ij bijab 设 ， ， 为直

17、角坐标平面内 轴 轴正方向上的单位向量，若， ，且 求动点， 的轨迹的方程； 设曲线 上两点 、 ，满足直线过点， 若 OAPBAB则为试矩形，求的方程. 37 解析 12 ()(02)0,21M xyFF令， ， 22 1 16 . 12 yx 方所轨迹为求程 1122 3( 2 )() OABAB ABykxA xyB xy 由条件可知不共线，故直线 的斜率存在 设方程为， 38 22 3418210kxkx ， 1212 22 1212 2 2 1212 2 1821 , 3434 33 3648 39. 34 k xxx x kk y ykxkx k k x xk xx k ， OAP

18、BOAOB为为因矩形，所以， 1212 55 3 4 0. 4 x xy ykyx 所以，得所直线方程为求 39 已知双曲线x2-y2=2的右焦点为F， 过点F的动直线与双曲线相交于A、B 两点，点C的坐标为（1，0），证 明： 为常数.CA CB 由条件，知F(2,0).设A(x1,y1),B(x2,y2). 当AB与x轴垂直时，可知点A、B 坐标分别 为(2, ）、(2,- ), 此时 =(1, ）(1,- )=-1. 22 CA CB 22 证明 40 当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程是y=k(x- 2)(k1), 代入x2-y2=2，有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0, 则x1、x2是上述方程的两个实根， 所以x1+x2= ，x1x2= . 于是 =(x1-1)(x2-1)+y1y2 =(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2) =(k2+1)x1x2-(2k2+1)(x1+x2)+4k2+1 = - +4k2+1 =-4k2-2+4k2+1=-1.综上所述, 为常数-1. 2 2 4 1 k k 2 2 42 1 k k CA CB 22 2 (1)(42) 1 kk k 22 2 4(21) 1 kk k CA CB 41 1.由于向量具有“数”“形”双重身 份，加之向量的工具性作用，向量经常与 函数