结构力学课件第五章 桁架

1、 第五章第五章 静定平面桁架静定平面桁架 桁架是由梁演变而来的：桁架是由梁演变而来的： 将梁中性轴附近未被充分利用的材料掏空，将梁中性轴附近未被充分利用的材料掏空， 就得到图所示的梁。就得到图所示的梁。 桁架结构桁架结构 主桁架主桁架 纵梁纵梁 横梁横梁 钢桁架桥钢桁架桥 实际工程中的桁架常引入以下几点假定：实际工程中的桁架常引入以下几点假定： 桁架的结点都是光滑的铰结点。桁架的结点都是光滑的铰结点。 各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。 荷载和支座反力都作用在结点上。荷载和支座反力都作用在结点上。 桁架桁架-直杆铰接体系直杆铰接体系.荷载只在结点作用，荷载只在

2、结点作用， 所有杆均为只有轴力的二力杆所有杆均为只有轴力的二力杆 桁架的计算简图及其名称桁架的计算简图及其名称 由一个基本铰结三角形开始依次增加二元体而组成的桁架。由一个基本铰结三角形开始依次增加二元体而组成的桁架。 由几个简单桁架按几何不变体系的组成规律联合组成的桁架。由几个简单桁架按几何不变体系的组成规律联合组成的桁架。 不按上述两种方式组成的其它形式的桁架。不按上述两种方式组成的其它形式的桁架。 以只有一个结点的隔离体为研究对象，用汇以只有一个结点的隔离体为研究对象，用汇 交力系的平衡方程求解各杆内力的方法交力系的平衡方程求解各杆内力的方法 取隔离体时取隔离体时, ,每个隔离体只包含一个

3、结点。每个隔离体只包含一个结点。 隔离体上的力是平面汇交力系隔离体上的力是平面汇交力系, ,只有两个独立的只有两个独立的 平衡方程可以利用平衡方程可以利用, , 一般应先截取只包含两个未一般应先截取只包含两个未 知轴力杆件的结点知轴力杆件的结点。 对于简单桁架用结点法求解时，对于简单桁架用结点法求解时，按照撤除二元按照撤除二元 体的次序截取结点体的次序截取结点，可求出全部内力，而不需求，可求出全部内力，而不需求 解联立方程。解联立方程。 F FX X F Fy y L Lx Ly FN FN 将斜杆轴力将斜杆轴力 分解为分解为 水平分力水平分力 和竖向分力和竖向分力 ， 如图示斜杆的长度如图示

4、斜杆的长度l 及其投影及其投影 lx和和 ly构成的三角形与轴力构成的三角形与轴力 及其分力构成的三角形相似，因而及其分力构成的三角形相似，因而有比例关系有比例关系 N F x F y F y Nx xy F FF lll 利用这些比例关系，可利用这些比例关系，可 以方便地进行轴力及其以方便地进行轴力及其 分力的推算，而无须使分力的推算，而无须使 用三角函数和角度，对用三角函数和角度，对 建立方程很方便建立方程很方便。 （1）首先由桁架）首先由桁架 的整体平衡条件求的整体平衡条件求 出支座反力。出支座反力。 FAV=45kN FAH=120kN FB=120kN （2）截取各结点）截取各结点

5、解算杆件内力。解算杆件内力。 分析桁架的几何组成：此桁架为简单桁分析桁架的几何组成：此桁架为简单桁 架，由基本三角形架，由基本三角形ABC按二元体规则依按二元体规则依 次装入新结点构成。由最后装入的结点次装入新结点构成。由最后装入的结点 G开始计算。（或由开始计算。（或由A结点开始）结点开始） 取结点取结点G隔离体隔离体 G 15kN FNGF FNGE FYGE FXGE 由由FY=0 可得可得FyGE=15kN（拉）拉） 由比例关系求得由比例关系求得FXGE= 3 4 15 =20kN(拉拉) 及及FNGE=15 3 5 =25kN(拉拉) 再由再由FX=0 可得可得 FNGF=-FxGE

6、=-20kN(压）压） 25 -20-20 +15 15 20 30 40 50 +60+60 0 75 60 45 -120 -45 然后依次取结点然后依次取结点F、E、D、C计算。计算。 $ A B C DE F G 15kN 15kN 15kN 4m4m4m 3m F 20kN FNFE=+15kN 15kN FNFC=-20kN E +15kN +20kN +15kNFYEC=-30kN FXEC=-40kN FNED=+60kN FAV=45kN FAH=120kN FB=120kN 25 -20-20 +15 15 20 30 40 50 +60+60 0 75 60 45 -12

7、0 -45 A B C DE F G 15kN 15kN 15kN 4m4m4m 3m 到结点到结点B时，只有一个未知力时，只有一个未知力FNBA， 最后到结点最后到结点A时，轴力均已求出，时，轴力均已求出， 故以此二结点的平衡条件进行校核。故以此二结点的平衡条件进行校核。 当遇到一个结点上未知力均为斜向时，为简化计算：当遇到一个结点上未知力均为斜向时，为简化计算： (1)改变投影轴的方向改变投影轴的方向 A FN2 FN1 x 由由FX=0 可首先求出可首先求出FN1 (2)改用力矩式平衡方程改用力矩式平衡方程 由由MC=0一次求出一次求出 h Fd Fx 1 B C FY1 FX1 F r

8、 将力将力FN1在在B点分解为点分解为FX1、 、FY1 A B C d ba h F 计算中的技巧计算中的技巧 （1）L形结点：无载二杆结点，两杆内力均为零。形结点：无载二杆结点，两杆内力均为零。 FN1=0 FN2=0 图图a La L形结点形结点 图图b Tb T形结点形结点 FN1 FN3=0 FN2= FN1 （2）T形结点：三杆结点无外荷载作用时，如其中两形结点：三杆结点无外荷载作用时，如其中两 杆在一条直线上，则共线的两杆内力性质相同，而第杆在一条直线上，则共线的两杆内力性质相同，而第 三杆内力为零。三杆内力为零。 结点平衡特殊情况的简化计算结点平衡特殊情况的简化计算 （3） X

9、形结点：四杆结形结点：四杆结 点无外荷载作用时，如其点无外荷载作用时，如其 中两杆在一条直线上，另中两杆在一条直线上，另 外两杆在另一条直线上，外两杆在另一条直线上， 则同一直线上的两杆内力则同一直线上的两杆内力 大小相等且符号相同。大小相等且符号相同。 图图c Xc X形结点形结点 FN2= FN1 FN1FN3 FN4= FN3 （4） K形结点：四杆结形结点：四杆结 点，其中两杆在一条直线点，其中两杆在一条直线 上，另外两杆在此直线同上，另外两杆在此直线同 侧且交角相等，无外荷载侧且交角相等，无外荷载 作用时，则非共线两杆内作用时，则非共线两杆内 力大小相等而符号相反。力大小相等而符号相

10、反。 图图d Kd K形结点形结点 FN2 FN1 FN1 FN3=-FN4 FN4=- FN3 FP/2 FP/2 FP FP FP 判断结构中的零杆判断结构中的零杆 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 判断结构中的零杆判断结构中的零杆 判断桁架中的零杆判断桁架中的零杆 0 0 0 0 0 0 0 0 8根根 00 0 0 0 0 0 7根根 0 0 0 0 0 0 0 9根根 0 0 （1 1）结点法适用于简单桁架，从最后装）结点法适用于简单桁架，从最后装 上的结点开始计算。上的结点开始计算。 （2 2）每次所取结点的未知

11、力不能多于两个。）每次所取结点的未知力不能多于两个。 （3 3）计算前先判断零杆。）计算前先判断零杆。 （1）力矩法）力矩法 设支座反力已求出。设支座反力已求出。 FAFB 求求EF、ED、CD三杆三杆 的内力。的内力。 作截面作截面-， 取左部分取左部分 为隔离体。为隔离体。 由由ME=0 有有 FAdF1dF20FNCDh=0 得得 h FdFdF F A NCD 0 21 h M F E NCD 0 （拉）（拉） H M F D xEF 0 （拉）（拉） 得得 FNEF FNED FNCD FXEF add FXED FYED FYEF FA 可以证明：简支桁架在竖向荷载作用下，可以证明

12、：简支桁架在竖向荷载作用下， 下弦杆受拉力，上弦杆受压力。下弦杆受拉力，上弦杆受压力。 由由MO=0 有有 FAa+F1a+F2(a+d)+FYED(a+2d)=0 da daFaFaF Fy A ED 2 )( 21 由由MD=0 有有 FA2dF12dF2d+FXEFH=0 H M H dFdFdF F DA XEF 0 21 22 （压）（压） FNEF FNED FNCD FXEF add FXED FYED FYEF FA FNEF FNED FNCD FXEF a d d FXED FYED FYEF FA （2 2）投影法）投影法 求求DGDG杆内力杆内力 作作截面，截面， 取左

13、部分为隔取左部分为隔 离体。离体。 h M F E NCD 0 FxDG FyDG 由由Fy=0 有有 FAF1F2F3+ FyDG=0 FyDG=FNDGsin =(FAF1F2F3) 上式括号内之值恰等于相应上式括号内之值恰等于相应 简支梁上简支梁上DGDG段的剪力，故此法段的剪力，故此法 又称为又称为剪力法剪力法。 FA (1) (1) 用截面法求内力时，一般截断的用截面法求内力时，一般截断的 杆件一次不能多于三个杆件一次不能多于三个( (特殊情况例外特殊情况例外) )。 (2) (2) 对于简单桁架，求全部杆件内力对于简单桁架，求全部杆件内力 时，时， 应用结点法；若只求个别杆件内力，

14、应用结点法；若只求个别杆件内力， 用截面法。用截面法。 (3) (3) 对于联合桁架，先用截面法对于联合桁架，先用截面法将联将联 合杆件的内力求出合杆件的内力求出，然后再对各简单桁架，然后再对各简单桁架 进行分析。进行分析。 几点结论几点结论 截面单杆截面单杆 截面法取出的隔离体，不截面法取出的隔离体，不 管其上有几个轴力，如果某杆的轴管其上有几个轴力，如果某杆的轴 力可以通过列一个平衡方程求得，力可以通过列一个平衡方程求得， 则此杆称为则此杆称为截面单杆截面单杆。 可能的截面单杆通常有相交型和平可能的截面单杆通常有相交型和平 行型两种形式。行型两种形式。 截面法中的特殊情况： FPFPFPF

15、PFP FP 所作截面截断三根以所作截面截断三根以 上的杆件，如除了杆上的杆件，如除了杆 a外，其余各杆均交外，其余各杆均交 于一点于一点O，则对则对O点点 列矩方程可求出杆列矩方程可求出杆a 轴力轴力。 截截 面面 单单 杆杆 平行情况平行情况FP FP 所作截面截断三根以上的杆件，如除了杆所作截面截断三根以上的杆件，如除了杆b b外，外， 其余各杆均互相平行，则由投影方程可求出杆其余各杆均互相平行，则由投影方程可求出杆b b 轴力。轴力。 截截 面面 单单 杆杆 作作K-K截面：截面： M8=0，求求FN5-13；进而可求其它杆内力。进而可求其它杆内力。 K K 用结点法计算出用结点法计算

16、出1、2、3结点后，无论向结点结点后，无论向结点 4或结点或结点5均无法继续运算。均无法继续运算。 联合桁架举例一联合桁架举例一 求出支座反力后作封闭截面求出支座反力后作封闭截面K，以其内部或外部为研以其内部或外部为研 究对象，可求出究对象，可求出FNAD、FNBE、FNCF，进而可求出其它各进而可求出其它各 杆之内力。杆之内力。 K 联合桁架举例二联合桁架举例二 求出支座反力后作截面求出支座反力后作截面K-K，以其左半部或右半部以其左半部或右半部 为研究对象，利用为研究对象，利用 C=0，可求出可求出FNAB，进而可求出其进而可求出其 它各杆之内力。它各杆之内力。 K K 联合桁架举例三联合

17、桁架举例三 5-4 5-4 截面法和结点法的联截面法和结点法的联 合应用合应用 结点法、截面法是计算桁架的两种基本方法。结点法、截面法是计算桁架的两种基本方法。 计算简单桁架时计算简单桁架时 ，两种方法均很简单；而，两种方法均很简单；而 计算联合桁架时，需要联合应用。计算联合桁架时，需要联合应用。 例例51 桁架中桁架中a杆和杆和b杆的内力。杆的内力。 解：解：（1）求）求a杆的内力杆的内力 作作截面，截面， 并取并取 左部为隔离体，有四左部为隔离体，有四 个未知力尚不能求解。个未知力尚不能求解。 为此，可取其它隔离为此，可取其它隔离 体，求出其一或其中体，求出其一或其中 两个之间的关系。两个

18、之间的关系。 取取K点为隔离体点为隔离体 K FNa FNc 有有 FNa=FNc 或或 Fya=Fyc 再由再由截面截面 据据Fy=0 有有 3F FF+ F Fya ya F Fy yc=0 即即 2 F +2+2F Fya ya=0 =0F Fya ya= = 2 F 由比例关系得由比例关系得F FNa Na= = 4 F （压）（压） FNa求得后，求得后， 再由再由MC=0 即可求得即可求得FNb(略）。略）。 求求FNb还有其他还有其他 更简捷的方法更简捷的方法 吗？吗？ a b c 3P3P Fya Fyc a b c 3P3P Fya Fyc 作截面作截面- 由左半部分由左半部

19、分Md=0， 得得 3884 8 2 63 Nb F FF FF 更简捷 55 各式桁架比较各式桁架比较 不同形式的桁架，其内力分布情况及适用场合亦不同形式的桁架，其内力分布情况及适用场合亦 各不同，设计时应根据具体要求选用。为此，下各不同，设计时应根据具体要求选用。为此，下 面就常用的三种桁架加以比较。面就常用的三种桁架加以比较。 内力分布不均匀，弦杆内力向跨中递增。构造内力分布不均匀，弦杆内力向跨中递增。构造 上各类杆长度相同，结点处各杆交角相同，便于上各类杆长度相同，结点处各杆交角相同，便于 标准化。因制作施工较为方便，铁路桥常采用。标准化。因制作施工较为方便，铁路桥常采用。 1.1.平

20、行弦桁架：平行弦桁架： F F 12 5 3 5 4 平行弦桁架 内力分布均匀，在材料使用上经济。但构造内力分布均匀，在材料使用上经济。但构造 上复杂。大跨度桥梁上复杂。大跨度桥梁(100150(100150m)m)及大跨度屋及大跨度屋 架架(18-30(18-30m)m)中常采用。中常采用。 2. 2. 抛物线形桁架：抛物线形桁架： 抛物线形桁架 内力分布不均匀，弦杆内力两端大，两端内力分布不均匀，弦杆内力两端大，两端 结点夹角甚小，构造复杂。因两斜面符合屋顶结点夹角甚小，构造复杂。因两斜面符合屋顶 要求，在屋架中常采用。要求，在屋架中常采用。 3. 3. 三角形桁架：三角形桁架： 三角形桁架三角形桁架 56 组合结构计算组合结构计算 1. 组合结构的概念：组合结构的概念： 由链杆（受轴向力）和梁式杆（受弯杆件）混合由链杆（受轴向力）和梁式杆（受弯杆件）混合 组成的结构。链杆组成的结构。链杆是只承受轴力的是只承受轴力的二力杆二力杆，梁式梁式 杆杆同时承受弯矩、剪力、轴力。组合结构可以认同时承受弯矩、剪力、轴力。组合结构可以认 为是为是