第八知识块平面解析几何初步、圆锥曲线与方程(第1课时-第5课时) (1)

1、第第1 1课时课时 直线的斜率、直线的方直线的斜率、直线的方 程程 1理解直线倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式理解直线倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 2掌握直线方程的几种形式，体会斜截式与一次函数的关系掌握直线方程的几种形式，体会斜截式与一次函数的关系 第八知识块第八知识块 平面解析几何平面解析几何 初步、圆锥曲线与方程初步、圆锥曲线与方程 【命题预测】【命题预测】 在高考中主要考查基本概念和求在不同条件下的直线方程，此类题大在高考中主要考查基本概念和求在不同条件下的直线方程，此类题大 都属中、低档题，以选择题和填空题的形式出现，每年必考，直线的都属中、低

2、档题，以选择题和填空题的形式出现，每年必考，直线的 倾斜角确定直线的方向，斜率是倾斜角倾斜角确定直线的方向，斜率是倾斜角的正切值，对直线斜率的考的正切值，对直线斜率的考 查也包含了对倾斜角及其取值范围的考查，主要从求直线的斜率、求查也包含了对倾斜角及其取值范围的考查，主要从求直线的斜率、求 直线方程以及直线方程的综合应用三方面进行考查直线方程以及直线方程的综合应用三方面进行考查 【应试对策】【应试对策】 1直线的倾斜角与斜率都是表示直线方向的几何量，研究斜率的变化要与直线的倾斜角与斜率都是表示直线方向的几何量，研究斜率的变化要与 倾斜角的变化结合起来考虑，因为倾斜角的范围是倾斜角的变化结合起来

3、考虑，因为倾斜角的范围是00， ) )，它不是正切函，它不是正切函 数的单调区间，往往要进行分段讨论数的单调区间，往往要进行分段讨论 2由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求 直线方程时，由于所给的条件和采用的直线形式所限，可能会产生遗漏的直线方程时，由于所给的条件和采用的直线形式所限，可能会产生遗漏的 情况，尤其在选择点斜式、斜截式时，要注意斜率不存在的情况情况，尤其在选择点斜式、斜截式时，要注意斜率不存在的情况 【知识拓展】【知识拓展】 求直线的斜率及倾斜角的范围求直线的斜率及倾斜角的范围 (1)斜率斜率

4、k k是一个实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都是一个实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都 存在斜率倾斜角为存在斜率倾斜角为90的直线无斜率的直线无斜率 (2)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k ktan 是单调函数，是单调函数， 当当 由由0增大到增大到 时，时，k k由由0增大到增大到；当；当 时，时，k k也是也是 关于关于的单调函数，当的单调函数，当在此区间内由在此区间内由 增大到增大到()时，时，k k由由趋近于趋近于 0(k k0)，当然解决此类问题时，也可采用数形结合思想，借助图形直观

5、地作出判，当然解决此类问题时，也可采用数形结合思想，借助图形直观地作出判 断断 1直线的斜率与倾斜角直线的斜率与倾斜角 (1)直线的斜率直线的斜率 已知两点已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果如果x1x2，那么直线那么直线PQ的斜率的斜率 k k (x1x2 )。 斜率斜率 不存在不存在 (2)直线的倾斜角直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，对于一条与在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着轴所在的直线绕着 交点按交点按 方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角 对于

6、平行于对于平行于x轴或与轴或与x轴重合的直线，规定其倾斜角为轴重合的直线，规定其倾斜角为 . 逆时针逆时针 0 2直线方程的五种形式直线方程的五种形式 名称名称方程方程适用范围适用范围 点斜式点斜式不含直线不含直线xx0 斜截式斜截式不含垂直于不含垂直于x轴的直线轴的直线 两点式两点式 不含直线不含直线xx1(x1x2)和直线和直线yy1(y1y2) 截距式截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式一般式AxByC0平面直角坐标系内的直线都适用平面直角坐标系内的直线都适用 yy0k k(xx0) yk kxb (A2B20) 探究：探究：过两点过两点P1(x1

7、，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？的直线是否一定可用两点式方程表示？ 提示：提示：不一定不一定(1)若若x1x2且且y1y2，直线垂直，直线垂直x轴，方程为轴，方程为xx1. (2)若若x1x2，且，且y1y2，直线垂直于，直线垂直于y轴，方程为轴，方程为yy1. (3)若若x1x2且且y1y2，直线方程可用两点式表示，直线方程可用两点式表示 1已知直线已知直线l的倾斜角为的倾斜角为，且，且00， 0.即即A、B、C同号同号 答案：答案：A、B、C同号同号 4已知直线已知直线 l 的方程为的方程为3x5y4，则，则 l 在在y轴上的截距为轴上的截距为_ 解析：解析：

8、解法一解法一：将直线方程将直线方程3x5y4变形为直线方程的斜截式，即变形为直线方程的斜截式，即y x ， l在在y轴上的截距为轴上的截距为 . 解法二解法二： 令令x0代入直线代入直线l方程，得方程，得y ，l在在y轴上的截距为轴上的截距为 . 答案：答案： 5直线直线 yax1与直线与直线 y x2平行，则平行，则a_. 解析：解析：由由a 得得a1或或2. 答案：答案：1或或2 1直线的倾斜角与斜率的关系直线的倾斜角与斜率的关系 倾斜角倾斜角0 斜斜 率率 取值取值0(0，)不存在不存在(，0) 增减性增减性递增递增递增递增 2. 斜率公式：斜率公式：k k 与两点顺序无关与两点顺序无关

9、 3利用斜率证明三点共线的方法：利用斜率证明三点共线的方法： 已知已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若，若x1x2x3或或k kABk kAC，则有，则有A、 B、C三点共线三点共线 【例【例1】 已知直线已知直线l经过经过A(2,1)、B(1，m2)(mR)两点，那么直线两点，那么直线l的倾斜角的的倾斜角的 取值范围是取值范围是_ 思路点拨：思路点拨：求出求出l的斜率的斜率k k，根据，根据k的范围确定倾斜角的范围的范围确定倾斜角的范围 解析：解析：l的斜率的斜率k k 1m2，mR，k k1.当当0k k1时，时， 倾斜角的范围是倾斜角的范围是 ，当，当k k0，倾

10、斜角的范围是，倾斜角的范围是 ， l倾斜角的范围是倾斜角的范围是 答案：答案： 变式变式1：若直线若直线l的斜率的斜率k k的变化范围是的变化范围是1， ，则它的倾斜角的变化范围则它的倾斜角的变化范围 是是 _ 解析：解析：当当1k k0时，倾斜角的范围是时，倾斜角的范围是 ， 当当0k k 时，时， 倾斜角的范围是倾斜角的范围是 . 答案：答案： 1求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条 件基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线件基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线 的

11、基本量的基本量 用待定系数法求直线方程的步骤：用待定系数法求直线方程的步骤：(1)设所求直线方程的某种形式设所求直线方程的某种形式(2)由条由条 件建立所求参数的方程件建立所求参数的方程(组组)(3)解这个方程解这个方程(组组)求参数求参数(4)把所求的参数值把所求的参数值 代入所设直线方程代入所设直线方程 2求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形 式准确写出直线方程要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与式准确写出直线方程要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与 不存在加以讨论在用截距式

12、时，应先判断截距是否为不存在加以讨论在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分若不确定，则需分 类讨论类讨论 【例【例2】 直线直线l经过点经过点P(3,2)且与且与x、y轴的正半轴分别交于轴的正半轴分别交于A、B两点两点，OAB 的面积为的面积为12，求直线求直线l的方程的方程 思路点拨：思路点拨：题中题中OAB的面积与截距有关，自然联想到直线方程的截距式的面积与截距有关，自然联想到直线方程的截距式 解：解法一解：解法一 ：设直线设直线l的方程为的方程为 1(a0，b0)A(a , 0)，B(0，b)， .解解 得得 .所求的直线方程为所求的直线方程为 1， 即即2x3y120.

13、解法二解法二 ：设直线设直线l l 的方程为的方程为y2k k(x3)(k k0)，令，令y0，得直线，得直线l在在x轴上的截轴上的截 距距a3 ，令，令x0，得直线，得直线l在在y轴上的截距轴上的截距b23k k. (3 )(23k k)24.解得解得k k . 所求直线方程为所求直线方程为y2 (x3)，即，即2x3y120. 变式变式2：一一条直线条直线l过点过点P(1,4)，分别交，分别交x轴，轴，y轴的正半轴于轴的正半轴于A，B两点，两点， O为原点，求为原点，求AOB的面积最小时直线的面积最小时直线l的方程的方程 解：解：设设l： (a，b0)因为点因为点P(1,4)在在l上，所以

14、上，所以 . 由由 . 所以所以S AOB ab8. 当当 ，即，即a2，b8时取等号故时取等号故4xy80为所求为所求 【例【例3】 求经过点求经过点A(5,2)，且在且在x轴上的截距等于在轴上的截距等于在y轴上截距的轴上截距的2倍的直线倍的直线 方程方程 思路点拨：思路点拨：注意分两种情形讨论注意分两种情形讨论 解：解：(1)当横截距、纵截距都是零时，设所求的直线方程为当横截距、纵截距都是零时，设所求的直线方程为yk kx， 将将(5,2) 代入代入yk kx中，中， 得得k k ，此时，直线方程为，此时，直线方程为y x，即，即2x5y0. (2)当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方

15、程为当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为 ， 将将(5,2)代入所设方程，解得代入所设方程，解得a ，此时，直线方程为，此时，直线方程为x2y10. 综上所述，所求直线方程为综上所述，所求直线方程为x2y10或或2x5y0. 变式变式3：求经过点求经过点(2，1)，倾斜角为直线倾斜角为直线4x3y40的倾斜角一半的直的倾斜角一半的直 线方程线方程 解：解：设所求直线的倾斜角为设所求直线的倾斜角为，则直线，则直线4x3y40的倾斜角为的倾斜角为2. tan 2 ， ， 解得解得tan 2或或tan . 02， 0 ，tan 0，即，即tan 2. 所求直线方程为所求直线方程为y12(x2

16、)，即，即2xy50. 利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算一利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算一 般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截 距或两点选择截距式或两点式距或两点选择截距式或两点式 另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长， 常选用截距式或点斜式常选用截距式或点斜式 【例【例4】如图，过点如图，过点P(2,1)作直线作直线l，分别交分别交x、y轴正半轴于轴正半

17、轴于A、B两点两点 (1)当当AOB的面积最小时，求直线的面积最小时，求直线l的方程的方程； (2)当当|PA|PB|取最小值时，求直线取最小值时，求直线l的方程的方程 思路点拨：思路点拨：求直线方程时，要善于根据已知条件，选取适当的形式由于求直线方程时，要善于根据已知条件，选取适当的形式由于 本题中给出了一点，且直线与本题中给出了一点，且直线与x、y轴在正方向上分别相交，故有如下常见思路：轴在正方向上分别相交，故有如下常见思路： 点斜式：设点斜式：设l的方程为的方程为y1k k(x2)，分别求出，分别求出A、B的坐标，根据题目要的坐标，根据题目要 求建立目标函数，求出最小值并确立最值成立的条

18、件；求建立目标函数，求出最小值并确立最值成立的条件； 截距式：设截距式：设l的方程为的方程为 ，将点，将点(2,1)代入得出代入得出a与与b的关系，建立目的关系，建立目 标函数，求最小值及最值成立的条件标函数，求最小值及最值成立的条件 根据题意，设出一个角，建立目标函数，利用三角函数的有关知识解决根据题意，设出一个角，建立目标函数，利用三角函数的有关知识解决 (2)设直线设直线l：y1k k(x2)(k k0)，分别令，分别令y0，x0，得，得A ， B(0,12k k) 由由|PA|PB| 4. 当且仅当当且仅当k k2 ，即，即k k1时，时，|PA|PB|取最小值取最小值 又又k k0，

19、k k1，这时，这时l的方程是的方程是xy30. 变式变式4：(经典题经典题)为了绿化城市，拟在矩形区域为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪内建一个矩形草坪(如图如图)， 另外另外EFA内部有一文物保护区不能占用内部有一文物保护区不能占用，经测量经测量AB100 m，BC80 m， AE30 m，AF20 m，应如何设计才能使草坪面积最大应如何设计才能使草坪面积最大？ 解：解：如图所示建立直角坐标系，则如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0，20) 线段线段EF的方程为的方程为 1(0 x30) 在线段在线段EF上取点上取点P(m，n)， 作作PQBC于点于点Q， PR

20、CD于点于点R，设矩形设矩形PQCR的面积为的面积为S， 则则S|PQ|PR|(100m)(80n)又又 1(0m30) n20(1 )S(100m) (m5)2 (0m30) 当当m5时，时，S有最大值，这时有最大值，这时 5 1. 所以当矩形草坪的两边在所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点上，且这个顶点 分分EF成成5 1时，草坪面积最大时，草坪面积最大 【规律方法总结规律方法总结】 1要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式： k k ，该公式与两点顺序无关，已

21、知两点坐标，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1x2)时，根时，根 据该公式可求出经过两点的直线的斜率当据该公式可求出经过两点的直线的斜率当x1x2，y1y2时，直线的时，直线的 斜率不存在，此时直线的倾斜角为斜率不存在，此时直线的倾斜角为90. 2直线方程的三类、五种形式，要合理选用直线方程的三类、五种形式，要合理选用 要深刻理要深刻理 解每种直线方程形式的适用范围，此时多涉及分类讨论的思想，如点斜式及解每种直线方程形式的适用范围，此时多涉及分类讨论的思想，如点斜式及 斜截式的使用条件是直线斜率必须存在；两点式使用条件是直线既不与斜截式的使用条件是直线斜率必须存在；两点式使用条件是直线既

22、不与x轴轴 垂直，也不与垂直，也不与y轴垂直；截距式使用条件是两截距都存在，且均不为零轴垂直；截距式使用条件是两截距都存在，且均不为零 3求直线的方程时，要认清题目的条件，选择合适的方程类型；另外，也可采求直线的方程时，要认清题目的条件，选择合适的方程类型；另外，也可采 用待定系数法或以方程的定义求解；最后，要把直线方程化成一般式用待定系数法或以方程的定义求解；最后，要把直线方程化成一般式 4判断两直线平行、垂直时，要注意斜率不存在时的解判断两直线平行、垂直时，要注意斜率不存在时的解. 【例【例5】 已知直线已知直线2xsin 2y50， 则该直线的倾斜角的变化范围是则该直线的倾斜角的变化范围

23、是_ 【错因分析错因分析】 解答本题容易出现的错误是认为直线斜率解答本题容易出现的错误是认为直线斜率k ktan 在在0，)上是单调函数当上是单调函数当 已知直线斜率已知直线斜率k的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，一定要正确利用正切的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，一定要正确利用正切 函数的单调性正切函数函数的单调性正切函数k ktan 在在0，)上并不是单调函数，因此当上并不是单调函数，因此当k k的取的取 值连续时，直线倾斜角的取值范围有时却是断开的，如本题就是值连续时，直线倾斜角的取值范围有时却是断开的，如本题就是 【答题模板答题模板】 解：解：由题意，得直线由题意，得直线2xsin 2y50的斜率为的斜率为k ksin . 又又1sin 1， 所以所以1k k1. 当当1k k0时，倾斜角的变化范围是时，倾斜角的变化范围是 ； 当当0k k1时，倾斜角的变化范围是时，倾