概率问题解法探讨

1、概率问题求解方法浙江宁波东方外国语学校栗建洲 315500注：此文发表于新高考2004.3 期概率是对随机现象规律渲绎的研究，由于随机现象具有普遍性,使得概率有着广泛的应用。高中新教材实验修订本第二册（下）概率部分重点介绍了等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率（包括贝努利实验）。本节内容其关键是要让学生正确理解概率发生的条件，并掌握一些基本的概率“模型”。下面结合教学的实际例谈概率问题的几种解法。一、公式法概率部分有四个主要的公式（1）等可能事件发生的概率P（ A ） = m（ 2）互斥事n件有一个发生的概率P（ A+B ）= P（A ）+ P（B）（ 3）

2、相互独立事件同时发生的概率 P（AB）= P（A）P（B）（ 4）贝努利公式 P( nk )C nk Pkn k(1 P)，应用这些公式的关键在于正确理解公式成立的条件。例 1：猎人在距100 米处射击一野兔， 其命中率为1 ，如果第一次射击未中， 则猎人进2行第二次射击，但距离为 150 米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为 200 米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。解：记三次射击为事件A、B、 C 其中 P（ A） =1由 1K2= P（A）=K 5000210025000250001 P（B）=29P（C）=28150200命中野兔的

3、概率为：P（A）+P（ AB）+ P（ A B C）=95144二、组合分析法对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数。1例 2：设有 n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住（n N） ,求下列事件的概率（ 1）指定的 n 个房间各有一个人住（ 2）恰好有 n 个房间，其中各住一人解：每个人有 N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式共有 Nn种，它们是等可能的，（ 1）指定 n 个房间各有一个人住记作事件A ：可能的总数为n！则 P（ A ）= n!N n（ 2）恰好有 n 个房间其中各住一人记作事件B，则这 n

4、个房间从 N 个房间中任选共有 C Nn个 , 由（ 1）可知： P（ B ） = C Nnn!N n三、间接法某些概率问题，正面求解，不是很容易，特别当问题中出现至多（至少）等条件时，可采用间接方法转化为“对立事件”来求解例 3：已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2（ 1）假定有 5 门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。（ 2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9 以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？解：（ 1）设敌机被第 k门高炮击中的事件为A k（ k=1 、2、3、4、5）那么 5 门高炮都未击中敌机的事件为 A1 A2A A4 A35 A i 是相互独

5、立事件 敌机击被击中的概率为：P（A1A2A3A4A5）= P（ A1 ）P（ A2 ）P （ A3 ）P（ A4 ）P（ A5 ）= (1 0.2)5= (4)5 P=1(4)555(2)设至少需要 n 门高炮使敌机有 0.9 以上的概率被击中，则：1 ( 4) n 0.9解得： n 10.35 n N + 至少需要 11 门高炮才能有0.9 以上的概率击中敌机。2四、转化法当依据题意所表述的形式难于思考时，可将该问题转化成一个熟悉的“概率模型”，从而求得其解。例 4：某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根火柴，每次用火柴时，他在两盒中任取一盒并从中任取出一根，求他发现用完一盒时，另一盒还有r

6、根（ 1 r n）的概率。解：由题意数学家共用了2n r 根火柴，其中n 根取自一盒， n r 根取自另一盒，于是此问题可等价转化为： “2n r 个不同的球，放入两个盒子，求甲盒放n 个，乙盒放 n r的概率”，记作事件 A ，因每个球放入两个盒子共有2 种放法 2n r 个球的所有等可能结果为 22nr，甲盒放入 n 个球的可能结果为 C 2nn r P（A）= C2nn12n r2nr)2nrC 2 n r (2五、枚举法对于带有开放性的概率问题，首先要弄清题意，恰当理解陈述问题的材料，联想所学的概率模型、分类讨论，然后表述解决问题的方案。例 5：基本系统是由四个整流二极管（串、并）联而

7、成，已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作） ，若要求系统的可靠度0.85 ，请你设计二极管的联结方式。解：设系统可靠性为P（ 1）若全并联，则 P = 1 0.2 4=0.9984 0.85（ 2）若两个两个串联后再并联，则P =(1 0.8 2) 2 = 0.8704 0.85（ 3）两个两个并联后再串联，则P=(10.2 2) 2 = 0.9216 0.85（ 4）三个串联与第四个并联，则10.2 （ 10.8 3） = 0.9024 0.85设计如下3六、几何法有些事件发生的结果满足某一代数关系式，则事件发生的概率可依据几何意义来求：例 6：甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面， 并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即刻离去，求两人会面的概率。解：设 x、 y 分别为甲乙两人到达约会地点的时间，若两个人能会面，则| xy | 15如 图：则（ x、 y）的所有可能结果是边长为60 的正方形60内的所有点的