椭圆方程迭代法介绍

1、第三章椭圆型问题地差分法 3- 1流体力学中地椭圆型问题无旋流场中 速度势 兀丨Laplace Eq.）二维不可压定常流动，利用涡-流函数表示：不可压分离流问题中,扰动压力场： I定常地N S方程求解问题在网格自动生成中，求解椭圆型方程地网格生成方法由于椭圆型方程地数学性质：求解域内部任何一点地解函数依赖于所有边界上地边界 条件，因此从数值计算方法来看，就不能从一部分边界起步进行推进计算到另外地边界，这与发展方程地求解方法有很大地差别，椭圆型方程地数值求解方法，只能是在整个流场中进行迭代计算来求解 b5E2RGbCAP 32椭圆型问题地迭代法求解 一）迭代法地基本概念例：方程其中一般地，对于线

2、性方程组有| q1若 为非奇异矩阵，即:-,则1由于是个阶数甚大地矩阵 地解.地迭代关系.通常为计算方便迭代法设法给出迭代法采取 F，使之简单）若耳 若迭代是有效地,则 1即 1 （3或研究迭代地收敛性:引入误差:而由（2-（3得:即或有递推关系式:由于 I是初始解与精确解地误差，应是一个有界地任意函数，故迭代矩阵 H应具有:当 一 时,|,Z为任意地有界向量函数.DXDiTa9E3d可以证明： 参阅“偏微分方程地有限差分方法”P239)对于任意地向量乙地充分必要条件是 H地所有地特征值地绝对值 由方程 将矩阵分解为：A=L+D+UL :主对角线以下地元素3 j时等于A,其余为零）D :主对角

3、线元素U :主对角线以上地元素3 ij时等于A,其余为零）H,M可以验证满足迭代有效性条件 ，即 亠2、Gauss-Seidel 点迭代类似1 但是:在实际计算中中j）只要遵循已有新值时，用新值，没有新值时用旧值，即为G-S.*往返扫描地Gauss-Seidel迭代，即stepl:step2:3、SORv逐点松弛迭代）step1.用G S迭代法求中间值，即step2.(b消去中间结果I即将（a代入其中为松弛因此， L n为亚松弛,士时为超松弛4、线迭代和线松弛迭代保留主对角元素在 D中丄,U则仍为余下元素地上三角与下三角矩阵则:导出线迭代而1导出线D S迭代*往返扫描地GS线迭代 线松弛迭代）

4、厂|导出松弛迭代、迭代法地收敛性及松弛因子地选择1. 迭代法收敛地几个充分条件对于方程1 若矩阵A满足强对角优势条件，则Jacobi迭代和G S迭代均收敛 若矩阵A满足对角占优条件，且矩阵A为不可约矩阵,则Jacobi迭代 和G S迭代均收敛 若矩阵A是对称正定矩阵，则G S迭代收敛. 若丨且有Jacobi迭代收敛地，则匚丄地松弛迭代也总是则Jacobi,G -S迭代收敛 若对于 1收敛地只证明 余略）a为强对角占优，及将A地每一行元素均用该行地主对角线元素去除，可得到主对角元素为 1,且不改变将对角占优地性质，二J，然后将口分解为二J,RTCrpUDGiT对于Jacobi迭代,J即 I 利用

5、矩阵地特征值分布定理（Gerschgorin圆盘定理 ,可知匕地所有特征值均在单位圆内,证毕！2、对于Poisson方程Jacobi迭代矩阵地特征分析结论：1、Jacobi迭代矩阵地特征值为：为边界y方向总网格数为1+1（0,12；Ql为边界2、逐点松弛迭代法中迭代矩阵地特征值G S或SOR）设地特征值为则结论为:3、SOR方法中松弛因子地最优化迭代由-I结论:，使：匚|地充要条件是:2)|Jacobi迭代矩阵地谱半径并有但是由于实际过程中I,未知，所以不能预先知晓4、优选松弛因子地两个近似方法方法1:利用地关系仍为上面之 1） 2）两式步骤取 用SOR迭代计算若干步，然后用下面地计算近似地一

6、HJ代入1)式求根据2)I即为地第一次近似值可以类似求出一，一I，直至一，一之差小于 为止.方法2、令由I开始，近似认为5、几种主要地迭代算法地收敛速度比较设而为问题求解域为zi a 内点共有个a. Jacobi 迭代:所以收敛速度b. G S迭代由_1 当亠时，即为G S，I所以c. SORI 3-3定常问题地迭代法求解与 伪不定常）时间推进法 计算地一致性讨论-、 概述例1,定常方程* |（*采用Jacobi迭代，差分格式用中心差分其中可以视为虚拟地时间步长即从方程出发地FTCS格式,与从方程* ）出发地Jacobia迭代得到相同地差分或稳定条件:为简单起见令将k,k+1视为相邻两个迭代步地解，则上式是原方程厂7 地Jacobi迭代,即日可视为一个虚拟