东华大学电路分析PPT第8章 相量法

1、第第8 8章章 相量法相量法 2. 2. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 3. 3. 电路定理的相量形式；电路定理的相量形式； l 重点：重点： 1. 1. 正弦量的表示、相位差；正弦量的表示、相位差； l 正弦电流电路正弦电流电路 激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电 流电路或交流电路。流电路或交流电路。 8.1 8.1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念 1. 1. 正弦量正弦量 瞬时值表达式：瞬时值表达式： i(t)=Imcos(w w t+y y) 波形：波形： t i O y y/ /w w T 周期周期T (period)和频率和频率f (fre

2、quency) : 频率频率f ：信号每秒变化的次数。：信号每秒变化的次数。 周期周期T ：信号变化一次所需的时间。：信号变化一次所需的时间。 单位：单位：Hz，赫，赫(兹兹) 单位：单位：s，秒，秒 T f 1 幅值幅值 (amplitude) ( (振幅、振幅、 最大值最大值) )Im ： (2)(2)角频率角频率(angular frequency)w w ： 2. 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素 (3)(3)初相位初相位(initial phase angle) y y ： T f w w 2 2 单位：单位： rad/s ，弧度弧度 / 秒秒 反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量

3、变化幅度的大小。 相位变化的角速度，相位变化的角速度， 反映正弦量变化快慢。反映正弦量变化快慢。 正弦量在正弦量在t=0时刻的相位，反映正弦量的计时起点。时刻的相位，反映正弦量的计时起点。 i(t)=Imcos(w w t+y y)t i O y y/ /w w T Im 2 w wt 对于一个正弦量，如果计时起点不同，初相位是不同的。对于一个正弦量，如果计时起点不同，初相位是不同的。 t i O 通常规定通常规定：| | 。 i(t)=Imcos(w w t+y y) y y = /2 y y = /2 y y =0 例例 已知正弦电流波形如图，已知正弦电流波形如图，w w103rad/s，

4、 （1）写出）写出i(t)表达式；（表达式；（2）求最大值发生的时间）求最大值发生的时间t1 t i 0 100 50 t1 解：解： )10cos(100)( 3 tti cos100500 t 3 由于最大值发生在计时起点之后，取由于最大值发生在计时起点之后，取 3 ) 3 10cos(100)( 3 tti 有最大值有最大值当当 310 1 3 tmst047. 1 10 3 3 1 3. 同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差 (phase difference)。 设设 u(t)=Umcos(w w t+y y u), i(t)=Imcos(w w t+y y i) 信号的相位差用

5、信号的相位差用j j 表示。表示。 j j 0， u超前超前i ，或，或i 落后落后u ，( u 比比 i 先到达最大值先到达最大值) )； j j 0， i 超前超前 u，或或u 滞后滞后i ，( i 比比 u 先到达最大值先到达最大值) )。 等于初相位之差等于初相位之差 规定：规定： |j j | (180)。 j j = (w w t+y y u)- - (w w t+y y i)= y y u- -y y i w w t u, i u i y yuy yi j j O j j 0， 同相：同相： j j = ( 180o ) ，反相：反相： 特殊相位关系：特殊相位关系： w w t

6、u, i u i 0w w t u, i u i 0 j= /2/2，正交：正交： w w t u, i u i 0 相位关系表达：相位关系表达： u 领先领先 i 相位相位 /2/2, 不说不说 u 落落 后后 i 相位相位 3 /2； i 落后落后 u 相位相位 /2/2, 不说不说 i 领领 先先 u 相位相位 3 /2。 例例 计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。 )15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2( 0 2 0 1 tti tti )2 100cos(10)( )43 100cos(10)( )1( 2 1 tti tti )45 2

7、00cos(10)( )30 100cos(10)( )3( 0 2 0 1 ttu ttu )30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4( 0 2 0 1 tti tti 解：解： j j 45)2(43 4/324/5j 000 135)105(30 j j 000 120)150(30 j j )105100cos(10)( 0 2 tti 不能比较相位差不能比较相位差 21 w ww w )150100cos(3)( 0 2 tti 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。号，且在主

8、值范围比较。 4. 4. 周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大 小工程上采用有效值来表示。小工程上采用有效值来表示。 l 周期电流、电压有效值周期电流、电压有效值(effective value)定义定义 ttiRW T d)( 2 0 TRIW 2 电流有效电流有效 值定义为值定义为 T tti T I 0 2 def d)( 1 有效值也称均方根值有效值也称均方根值 (root-mean-square) 物物 理理 意意 义义 R 直流直流I R 交流交流i 同样，电压有效值定义为

9、：同样，电压有效值定义为： T ttu T U 0 2 def d)( 1 l 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值 设设 i(t)=Imcos(w w t+ ) ttI T I T d ) (cos 1 0 22 m w w Ttt t tt T TT 2 1 2 1 d 2 ) (2cos1 d ) (cos 0 00 2 w w w w m m2 m 707. 0 22 1 I IT I T I ) cos(2) cos()( m tItIti w ww w II2 m 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： UUUU2 2 1 mm 或

10、或 若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为，则其最大值为Um 311V； （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭 牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值 指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时 应按最大值考虑。应按最大值考虑。 （2）测量中用的电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。）测量中用的电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 （3 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。）区分电压、

11、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。 说明说明: VUUVU5372 380 m i 瞬时值；瞬时值；I有效值；有效值；Im最大值。最大值。 l 复数复数A的表示形式的表示形式) 1(j为虚数单位为虚数单位 A b Re Im a0 A=a+jb A b Re Im a0 |A| jbajAeAA j )sin(cos| 8.2 8.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 1. 1. 复数及运算复数及运算 jbaA |AeAA j j eAA| 两种表示法的关系：两种表示法的关系： A=a+jb A=|A|ej =|A| 直角坐标表示直角坐标表示 极坐标表示极坐标表示 a b baA arctg

12、 | 22 或或 A b |A|a sin| cos l 复数运算复数运算 则则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2) (1)(1)加减运算加减运算 采用代数形式采用代数形式 若若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1 A2 Re Im 0 A b Re Im a0 |A| 图解法图解法 (2) (2) 乘除运算乘除运算 采用极坐标形式采用极坐标形式 )( | | e | | e| e| | | 21 2 1 )j( 2 1 2j 2 j 1 22 11 2 1 21 1 A A A A A A A A A A 除法：模相除，除法：模相除，辐辐角相减。角相减。 例例1. 乘法：模相

13、乘，辐角相加。乘法：模相乘，辐角相加。 则则: )( 2121 )( 212121 2121 AA eAAeAeAAA jjj ?2510475 )226. 4063. 9()657. 341. 3(2510475jj 569. 047.12j 61. 248.12 解解 若若 222 | AA 111 | AA 例例2. ? 5 j20 j6)(4 j9)(17 35 220 (3) (3) 旋转因子：旋转因子： 复数复数 ej =cos +jsin =1 A ej 相当于相当于A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度 ， 而模不变，故把而模不变，故把 ej 称为称为旋转因旋转因 子子。 解解

14、2 .126j2 .180 原式原式 04.1462.20 3 .56211. 79 .2724.19 16.70728. 62 .126j2 .180 329. 6j238. 22 .126j2 .180 365 .2255 .132j5 .182 A Re Im 0 A ej jje j 2 sin 2 cos , 2 2 jje j ) 2 sin() 2 cos(, 2 2 1)sin()cos(, je j 故故 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。 几种不同几种不同 值时的旋转因子值时的旋转因子 Re Im 0 I I j I j I 两个正弦量的相加两个正

15、弦量的相加 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值要确定初相位和有效值( (或最大值或最大值) )就行了。因此，就行了。因此， 2. 2. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 正弦量正弦量复数复数 ) cos(2 111 y yw w tIi ) cos(2 222 y yw w tIi 实际是变实际是变 换的思想换的思想 i1 I1I2I3 w ww ww w i1+i2 i3i2 1 2 3 角频率：角频率： 有效值：有效值： 初相位：初相位： i3 w w t i i1 i2 0 l 正弦量的相量表示正弦量的相量表

16、示 造一个复函数造一个复函数 )j( e2)( w w t ItA 对对A(t)取实部：取实部： ) cos(2)(RetItAw 对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数 ) j( 2)( ) (c2 t IetAtosIi w w w w A(t)包含了三要素：包含了三要素：I、 、w w ，复常数包含了复常数包含了I I , 。 A(t)还可以写成还可以写成 tt eIItA j j 2ee2)( j 复常数复常数 ) sin(2j) cos(2tItI w w w w 无物理意义无物理意义 是一个正弦量是一个正弦量 有物理意义

17、有物理意义 ) cos(2)(UUtUtu w w ) cos(2)(IItIti w w 称称 为正弦量为正弦量 i(t) 对应对应的相量。的相量。 II 相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值 相量的辐角表示正弦量的初相位相量的辐角表示正弦量的初相位 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系： 已知已知例例1 1试用相量表示试用相量表示i, u . )V6014t311.1cos(3 A)30314cos(4 .141 o o u ti 解解 V60220 A30100 o o U I 在复平面上用向量表示相量的图在复平面上用向量表示相量的图

18、 IItosIti ) (c2)( UUtosUtu ) (c2)(w w 例例2 试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。 解解 A)15314cos(250 ti . 50Hz A,1550 fI 已已知知 l 相量图相量图 U I +1 +j 3. 3. 相量法的应用相量法的应用 (1) (1) 同频率正弦量的加减同频率正弦量的加减 同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。 )2(R) cos(2)( )2(R) cos(2)( j 2 222 j 1 111 t t eUetUtu eUetUtu w w w w w w

19、w w )(2(R)22(R )2(R)2(R)()( )( j 21 j 2 j 1 j 2 j 1 21 ttt tt eUUeeUeUe eUeeUetututu w ww ww w w ww w U 21 UUU 可得其相量关系为：可得其相量关系为： 321321 IIIiii 321321 UUUuuu 因此：因此： 例例 V )60314cos(24)( V )30314cos(26)( o 2 1 ttu ttu 也可借助相量图计算也可借助相量图计算 V604 V 306 o 2 o 1 U U V )9 .41314cos(264. 9)()()( o 21 ttututu 6

20、04306 21 UUU 30 1 U 9 .41 U Re Im 9 .41 30 1 U 60 2 U U 46. 32319. 5jj 46. 619. 7j V 9 .4164. 9 o 60 2 U 首尾相接首尾相接 Re Im 2 . 2 . 正弦量的微分、积分运算正弦量的微分、积分运算 ) cos(2 ii IItIiy yy yw w 2Re 2Re tj tj ejI eI dt d dt di w w w w w w tj tj e j I teIti 2Re d 2Red w w w w w w 微分运算微分运算:积分运算积分运算: 2 y yw ww w i IIj d

21、t di 2 y y w ww w i I j I idt 例例 ) cos(2)( i tItiy yw w 1 )( idt Cdt di LRitu 相量表达式运算：相量表达式运算： Cj I ILjIRU w w w w 相量法的优点：相量法的优点： （1）将时域问题变为复数问题；）将时域问题变为复数问题； （2）将微积分方程的运算变为复数方程运算；）将微积分方程的运算变为复数方程运算； （3）可以将直流电路的分析方法直接用于交流电路；）可以将直流电路的分析方法直接用于交流电路； 已知电流为正弦波，试写出端口电压的相量表达式。已知电流为正弦波，试写出端口电压的相量表达式。 L R i(

22、t) u(t) + - - C 向量法应用原理及场合向量法应用原理及场合 （2） 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 （3） 相量法用于分析线性电路正弦稳态响应。相量法用于分析线性电路正弦稳态响应。 N 线性线性 N 线性线性 w w1 w w2 非非 线性线性 w w 不适用不适用 （1）正弦量）正弦量相量相量 时域时域 频域频域 正弦波形图正弦波形图相量图相量图 8.3 8.3 电路定律的相量形式电路定律的相量形式 1. 1. 电阻元件电阻元件VCR的相量形式的相量形式 时域形式：时域形式： 相量形式：相量形式： uR i RI

23、U II 相量模型相量模型 )cos(2)( i tIti w w )cos(2)()( iR tRItRitu w w uR(t) i(t) R + - - 有效值关系有效值关系 相位关系相位关系 R + - - RU I 相量关系：相量关系： UR=RI u= i )cos(2 uR tU w w 时域模型时域模型 IRU R 瞬时功率：瞬时功率：iup RR 波形图及相量图：波形图及相量图： i w w t O uR pRR U I u= i URI 瞬时功率以瞬时功率以2w w交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率 ) (cos22 i 2 tIU

24、 R ) (2cos1 i tIU R 同同 相相 位位 时域形式：时域形式： i(t) uL(t) L + - - 相量形式：相量形式： ) cos(2)( i tIti w w 相量模型相量模型 jw w L + - - LU I 相量关系：相量关系： 2. 2. 电感元件电感元件VCR的相量形式的相量形式 2 w w iL i LIU II 时域模型时域模型 ) sin(2 d )(d )( iL tIL t ti Ltu w ww w ) 2 cos( 2 i tILw ww w ) cos(2 uL tU w w UL=w w L I 有效值关系有效值关系 u= i +90相位关系相

25、位关系 IjX ILjU L L w w 感抗的物理意义：感抗的物理意义： (1) (1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2) (2) 感抗和频率成正比；感抗和频率成正比； w w XL 相量表达式相量表达式: XL=w w L=2 fL，称为感抗，单位为称为感抗，单位为 ( (欧姆欧姆) ) BL=1/w w L =1/2 fL，感纳，单位为感纳，单位为S (S (西门子西门子) ) 感抗和感纳感抗和感纳: ,ILjIjXU L w w ; , , ; , 0 ),(0 开路开路 短路短路直流直流 w w w w L L X X U Lj U L jUjBI L w w w w

26、11 功率：功率： ) (2sin ) sin()cos( m iL iimLLL tIU ttIUiup w w w ww w w w t i O uL pL 2 瞬时功率以瞬时功率以2w w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消 L U I i 波形图及相量图：波形图及相量图： 电压超前电电压超前电 流流900 时域形式：时域形式： 相量形式：相量形式： )cos(2)( u tUtu w w 相量模型相量模型 相量关系：相量关系： 3. 3. 电容元件电容元件VCR的相量形式的相量形式 )2 ( w w u C u CUI UU iC(t) u(t)C

27、+ - - 时域模型时域模型 U C I Cjw w 1 + - - ) 2 cos(2 u tCUw ww w ) sin(2 d )(d )( uC tCU t tu Cti w ww w ) cos(2 iC tI w w IC=w w C U 有效值关系有效值关系 i= u +90相位关系相位关系 CC C IjX I Cj U 1 w w XC=1/w w C， 称为容抗，单位为称为容抗，单位为 ( (欧姆欧姆) ) B B C = w w C， 称为容纳，单位为称为容纳，单位为 S S (西门子西门子) 容抗和频率成反比；容抗和频率成反比； w0， |XC| 直流开路直流开路( (

28、隔直隔直) ) w w ，|XC|0 0 高频短路高频短路( (旁路作用旁路作用) )w w |XC| 容抗与容纳：容抗与容纳： 相量表达式相量表达式: UCjUjBI I C jIjXU C C w w w w 1 功率：功率： )(2sin )sin()cos(2 uC uuC CC tUI ttUI uip w w t iC O u pC 2 瞬时功率以瞬时功率以2w w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消 U C I u 波形图及相量图：波形图及相量图： 电流超前电电流超前电 压压900 4. 4. 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 0)

29、(ti 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行 计算。因此，在正弦电流电路中，计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和和KVL可用相应可用相应 的相量形式表示：的相量形式表示： 上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表 示时仍满足示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量；而任一回路所有支路正弦电压用相量 表示时仍满足表示时仍满足KVL。 02Re)( 21 tj eIIti w w 0I 0)(tu 0U )5(Cj I U C C w w 例例1 1试判断下列表达式的正、误：试判断下列表达式的正、误： Liju )1(w w 0 05 cos5 )2( tiw w m CUjI )3( m w w L L I U X L )4( L ILjU )6( L w w dt di Cu )7( m U m m I U I U Cjw w 1 L U I 例例2 2 A1A2 A0 Z1Z2 U 已知电流表读数：已知电流表读数：A18A A2 6A C jXZRZ 21 , 1 ）（若若A0? 为为何何参参数数）（ 21 , 2 ZRZ A0I0max=?