从梯子的倾斜程度谈起(公开课)

1、情 境 引 入 墙外有墙外有 更好玩更好玩 的吗？的吗？ 情 境 导 入 运城市实验中学运城市实验中学 王王 凤凤 情 境 导 入 铅直高铅直高 度度 水平宽度水平宽度 梯子与地梯子与地 面的夹角面的夹角 （倾斜角）（倾斜角） w小丽的问题小丽的问题, ,如图如图: E F A B 2.5m2m 5m 5m A BCD E F 梯子梯子AB和和EF哪个更陡？哪个更陡？ 生活问题数学化 梯子梯子AB更陡更陡 5m 2m 5m 2.5m w小明的问题小明的问题, ,如图如图: 2m 3m D E F2m 5m A BC 梯子梯子AB和和EF哪个更陡？你是怎样判断的？哪个更陡？你是怎样判断的？ 生活

2、问题数学化 2.5m2m 5m 5m A BCD E F 梯子梯子AB更陡更陡 2m 5m A BC2.5m 5m D E F 2m 3m D E F 方法一：观察比方法一：观察比 较，度量比较较，度量比较 2m 5m A BC 方法二：一直角方法二：一直角 边相等，比较另边相等，比较另 一直角边一直角边 梯子梯子AB与与EF哪个更陡一些？你有几种方法？哪个更陡一些？你有几种方法？ 合 作 探 究 方法三：比较两方法三：比较两 直角边的比值直角边的比值 522.5 52.52 AB 522.5 321.5 AB w小颖的问题小颖的问题, ,如图如图: 1.5m 4m A BC 1.3m 3.5

3、m D E F 梯子梯子AB和和EF哪个更陡？哪个更陡？ 比值越大，倾斜角越大，倾斜程度越大比值越大，倾斜角越大，倾斜程度越大 1.54 3.5 2.67 EF 1.3 2.69 自 主 探 究 w小亮的问题小亮的问题, ,如图如图 : : 2m 4m A BC3m 6m D E F 24 6 =2 一样陡一样陡 3=2 自 主 探 究 梯子梯子ABAB和和EFEF哪个更陡？你是怎样判断的哪个更陡？你是怎样判断的？ 比值一样，倾斜角一样，倾斜程度一样比值一样，倾斜角一样，倾斜程度一样 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚 的距离的距离B B1 1

4、 C C1 1 , ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该 怎么办？你有什么锦囊妙计？怎么办？你有什么锦囊妙计？ A AC C1 1 C C2 2 B B2 2 B1 1 勇 于 发 现 C C2 2 B B2 2 A B1 C1 C2 B2 (1)(1)直角三角形直角三角形ABAB1 1C C1 1和直角三角和直角三角 形形ABAB2 2C C2 2有什么关系有什么关系? ? 相似相似 (2) (2) 和和 有什么关系有什么关系? ? 1 11 AC CB 2 22 AC CB 相等相等 勇 于 发 现 B A B1 C1 C2 B2 (3)(3)如果改变如果改变

5、B B2 2在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢? ?由此由此 你能得出什么结论你能得出什么结论? ? C C2 2 B B2 2 C C2 2 B B2 2 C C2 2 B B2 2 结论：仍能得到结论：仍能得到 1 11 AC CB 2 22 AC CB = 深入探究：深入探究：如果如果改变改变AA 的大小的大小, , AA的对边与邻边的比值会随之改变吗的对边与邻边的比值会随之改变吗? ? 即即AA的大小确定的大小确定, , 它的对边与邻边的比它的对边与邻边的比 值是确定的，与直角三角形的大小无关。值是确定的，与直角三角形的大小无关。 AA的大小改变的大小改变, , AA的对边与邻边的比值随

6、之的对边与邻边的比值随之 改变。改变。 勇 于 发 现 邻边 对边 的的 的的 A A tanA=tanA= A B C A的对边 A的邻边 在在RtRtABCABC中，中，锐角锐角A A的的对边对边与与邻边邻边之之比比 叫做叫做A A的正切的正切( (tangenttangent) )，记作，记作tanA.tanA. 正 切 定 义 注意顺序注意顺序：（：（ ）. 邻 对 读？读？tndnt 2 2、tanAtanA中中常省常省去角的符号去角的符号“”“”。但。但BACBAC的正切表示为的正切表示为 : :tanBACtanBAC. .11的正切表示为的正切表示为: :tan1tan1. .

7、 3 3、tanAtanA0 且没有单位且没有单位，它表示一个比值。，它表示一个比值。 4 4、tanAtanA是一个完整的是一个完整的符号符号，不表示，不表示“tan”tan”乘以乘以“A”A”。 1 1、tanAtanA是是在直角三角形在直角三角形中定义的中定义的, ,AA是一个是一个锐角锐角。 5 5、tanAtanA的大小只与的大小只与A A的大小有关的大小有关, ,而与而与直角三角形的边长直角三角形的边长无无 关。关。 A B C A的对边 A的邻边 定义的理解 A AC C B w如图如图, ,梯子梯子ABAB的倾斜程度与的倾斜程度与tanAtanA有关吗有关吗? ? tanAta

8、nA的值越大的值越大, ,梯子梯子ABAB越陡越陡. . 梯子梯子ABAB越陡，越陡，tanAtanA的值越大。的值越大。 即 学 即 用 1、鉴宝专家是真是假： (1).如图 (1)( ). AC BC A tan A B C A B C 7m 10m (1) (2) (2).如图 (2)( ). BC AC A tan (3).如图 (2)( ). AB BC A tan (4).如图 (2)( ). 7 10 tanB (5).如图 (2)( ). mA7 . 0tan (6).如图 (2) ( ). 7.0tan7.0tan ,7.0tan AA A 或 初 试 牛 刀 错错 错错 错

9、错 错错 错错 对对 2 2、如图，在、如图，在ACBACB中，中，C = 90C = 90， tanA = tanA = ；tanB = tanB = ； 若若AC = 4AC = 4，BC = 3BC = 3，则，则tanA = tanA = ；tanB =tanB = ； BC AC A B C 再 试 牛 刀 AC BC 3 4 4 3 发现： tanAtanB =_ 1 3.3.如图如图, C=90, C=90CDAB.CDAB. 4.4.在上图中在上图中, ,若若BD=6,CD=12.BD=6,CD=12.求求tanAtanA的值的值. . A C BD .tanB ( ) ( )

10、 ( ) ( ) ( ) ( ) 达 标 检 测 ACAC BCBC CDCD BDBD ADAD CDCD tanA 2 1 正切通常也用来描述山坡的坡度正切通常也用来描述山坡的坡度. . A B D 坡度越大，坡面越陡。坡度越大，坡面越陡。 6060米米 100100米米 tan A= = 0.6A= = 0.6 100 60 A C B C w坡面与水平面的夹角坡面与水平面的夹角()()称为称为坡角坡角, , w坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度坡度i i( (或坡比或坡比),),即即坡坡 度等于坡角的正切度等于坡角的正切. . 有一山坡在水平方向上每前

11、进有一山坡在水平方向上每前进100m就升高就升高 60m,那么山坡的那么山坡的坡度坡度i(即即tanA)就是就是 老师提示 某人沿一斜坡的底端某人沿一斜坡的底端B B走了走了1010米到达点米到达点A A，此时点，此时点A A 到地面到地面BCBC的垂直高度的垂直高度ACAC为为6 6米，则斜坡米，则斜坡ABAB的坡度为的坡度为 多少？多少？ B A C 分析分析: : 坡度坡度 tanBtanB RtRtABC:ABC: BC AC 勾股定理求勾股定理求:BC:BC 6m 10m 实 际 应 用 例例1 1、图中表示甲、乙两个手扶电梯，哪个手、图中表示甲、乙两个手扶电梯，哪个手 扶电梯比较陡

12、？扶电梯比较陡？ 5m 13m C B A 6m 8mEF D w解:甲梯中, w乙梯中, . 52 2 12 5 13 5 tan A A . 6 48 3 tanE E wtanEtanAtanEtanA,乙梯更陡. 甲梯甲梯 乙梯乙梯 例 题 赏 析 1 1、如图、如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的对边和邻边同时的对边和邻边同时 扩大扩大100100倍倍,tanA,tanA的值（的值（ ） wA.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小100100倍倍 wC.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定 2 2、已知、已知A,BA,B为锐角为锐角 w(1)(1)

13、若若A=B,A=B,则则tanAtanA tanB;tanB; w(2)(2)若若tanAtanAtanB,tanB,则则A A B.B. A B C C = 达 标 检 测 3 3、如图、如图,BD,BD是是ABCABC的角平分线的角平分线, ,你能判断你能判断ABCABC是是 什么三角形什么三角形? ?你能根据图中所给数据求出你能根据图中所给数据求出tanCtanC吗吗? ? A B C 4 D 1.5 达标检测 4 4、如图、如图, ,某人从山脚下的点某人从山脚下的点A A走了走了200m200m后到达后到达 山顶的点山顶的点B.B.已知山顶已知山顶B B到山脚下的垂直距离是到山脚下的垂

14、直距离是 55m,55m,求山坡的坡度求山坡的坡度( (结果精确到结果精确到0.001m).0.001m). A B C 达 标 检 测 解：在解：在RtABC中中,AB=200 BC=55 所以山的坡度为：所以山的坡度为： 286.0 36975 55 AC BC 答：山的坡度约为答：山的坡度约为.m 1.正切的定义: A B C A的对边 A的邻边 w在RtABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做A的 正切,记作tanA,即 的邻边 的对边 A A tanA=tanA= 2.正切的用途: 用以描述梯子、山坡等的倾斜 程度坡度（又称坡比） .tan AC BC i 课 堂 小 结 通过这节课的学习，你有什么收获？ 1.正切的定义: A B C A的对边 A的邻边 w在RtABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做A的 正切,记作tanA,即 的邻边 的对边 A A tanA=tanA= 2.正切的用途: 用以描述梯子、山坡等的倾斜 程度坡度（又称坡比） .tan AC BC i 课 堂 小 结 通过这节课的学习，你有什么收获？ 7 7、 如图，如图，RtRtABCABC是一是一 防洪堤坝迎水坡的横截面图，防洪堤坝迎水坡的横截面图， 斜坡斜坡ABAB的长为的长为12 m12 m，它的坡，它的坡 角为角为4545，为了提高该堤坝，为了提高该堤坝 的防洪能力，现将背