任意角的三角函数(定义域和函数值)

1、2021/3/10讲解：XX1 几个特殊角的三角函数值 2 3 2 2 0 000 0 0 00 1 111 1 不不存存在在不不存存在在 0 3 4 6 2 2 2 2 1 1 2 3 2 3 3 3 2 1 2 3 2021/3/10讲解：XX2 2021/3/10讲解：XX3 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点， 点点 与原点的距离与原点的距离 ),( yxP 0 22 yxrP 那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 r y r y sin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即 r x r x cos 叫做叫做 的正切，即的正切，即 x y 0t

2、anx x y 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的在角的 终边上的位置无关终边上的位置无关. P 定义推广：定义推广： 回顾 2021/3/10讲解：XX4 三角函数三角函数定义域定义域 由于角的集合以实数集之间可以建 立一一对应关系，三角函数可以看成以 实数为自变量的函数。 在弧度制下，正弦、余弦、正切函 数的定义域定义域如下： , 2 kkZ sinyx cosyx tanyx R R 探探 究究 2021/3/10讲解：XX5 2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号 y x o sin y x o cos y x o t

3、an +（ ）（ ） （ ）（ ） （ ） （ ）（ ）（ ）（ ） （ ） （ ） + - +- - + +- + - 2021/3/10讲解：XX6 32sin ,cos ,tan.yx、已知角 的终边在直线上，求角 的的值 1解： 当角 的终边在第一象限时， 22 1,2125在角 的终边上取点，则r= 22 5152 sin,cos,tan2 55155 2当角 的终边在第三象限时， 22 1, 2125r 在角 的终边上取点，则 22 5152 sin,cos,tan2 55155 2021/3/10讲解：XX7 例例3 求证：当下列不等式组成立时求证：当下列不等式组成立时，角角 为

4、第三为第三 象限角象限角.反之也对反之也对. 0tan 0sin 证明：证明： 因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上； 0sin 又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于 第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因为因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限. 于是角于是角 为第三象限角为第三象限角. 反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明. 2021/3/10讲解：XX8 例例4 确定下列三角函数

5、值的符号：确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3） （4） 解：解： 250costan( 672 ) 4 sin （1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos （2）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 . 4 0 4 sin tan3 2021/3/10讲解：XX9 如果两个角的终边相同，那么这两个角的如果两个角的终边相同，那么这两个角的 同一三角函数值有何关系？同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等终边相同的角的同一三角函数值相等 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为利用公式一，可以把求任意角的三角函数

6、值，转化为 求求 角的三角函数值角的三角函数值 .360020到或到 ？ tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( k k k 其中其中 zk 诱导公式一：诱导公式一： 2021/3/10讲解：XX10 例例4 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3） （4） 解：解： 250costan( 672 ) 4 sin （3）因为）因为 = ， 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ； )672tan(48tan)360248tan( 0)672tan(48 练习练习 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号 5 16 cos )

7、 3 4 sin( ) 8 17 tan( tan3 （4）因为）因为 ， 而而 的终边在的终边在x轴上，轴上， 所以所以 . tan3tan(2 )tan tan30 2021/3/10讲解：XX11 例例5 求下列三角函数值：求下列三角函数值： （1） （2） 4 9 cos ) 6 11 tan( 解：（解：（1） 2 2 4 cos)2 4 cos( 4 9 cos 练习练习 求下列三角函数值求下列三角函数值 3 19 tan ) 4 31 tan( 31 3 3 6 tan 6 tan)2 6 tan() 6 11 tan( （2） 2021/3/10讲解：XX12 117119 cossintan 363 练习：求值 117119 cossintan 363 解： cos4sin12tan 6 363 cossintan 363 11 313 22 2021/3/10讲解：XX13 1. 内容总结：内容总结： 三角函数的概念三角函数的概念. 三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. 诱导公式一诱导公式一. 运用了定义法、公式法、数形结合法解题运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 化化归的思想，数形结合的思想归的思想，数形结合的思想. 归纳