振动分析基础四五章课

1、振动分析基础振动分析基础 主讲：毕世华 教授 北京理工大学宇航学院 第四章第四章 单自由度线性系统非定常响应单自由度线性系统非定常响应 4.1 引言引言 我们研究了系统对定常激励的响应，即简谐函数和可以展成Fourier级数的周期函数。 由于阻尼的作用，系统响应中的自由振动部分会迅速衰减，因此需要考虑的主要是 定常响应。 2 1 突发性的冲击作用。 变化任意的持久作用； 非定常激励的分类 4.2 脉冲响应法与时域分析脉冲响应法与时域分析 脉冲响应函数脉冲响应函数：系统在单位冲量作用下的瞬态响应。 。时，有所以当由于静止状态的假设， ，称为脉冲响应函数。产生的瞬态响应时作用的单位力冲量所 系统，

2、对应于在：原来处于静止状态的 力冲量可表示为： 的量纲。具有主意： 数。若令：是在原点连续的任意函其中 函数的定义如下：单位冲量 0)(0 )( 0 )3 . 2 . 4( )()( )( )2 . 2 . 4( 1)()( 1)()( ) 1 . 2 . 4( )0()()()()( 1 0 0 0 0 tht th t tItf Tt dttdtt tt dtttdttt 脉冲响应函数脉冲响应函数 )4 . 2 . 4( 0 0 0sin 1 )( )18. 5 . 2( 1 )0()( 0 0 )0( )( 1)()( )( 0)0()0( )( )( 1 . 2 . 4 0 0 0 0

3、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t tqte mq th m xbkxdt cxcdxdtxcxmxmxmddtxm bdttdtkxxcxm a xx atkxxcxm pt ， ， 考式对亚临界阻尼情形，参 式可得：将以上结果代入 别为：上式左端各项的积分分 式积分可得：对 初始条件为： 表示为：系统的运动微分方程可 脉冲响应函数。在亚临界阻尼情形下的试求单自由度线性系统例 )int ( )5 . 2 . 4( )()()( )()()( )()( )()( 0 egralnconvolutio dfthtx tfdfthdx dftf thtxt t 积积分这一

4、形式的积分称为卷 总响应为：根据叠加原理，系统对响应为： 之和。系统对于它的看做一系列冲量微元我们可以把任意力 么系统的响应将是：作用一个单位冲量，那不难理解如果在 )(tf 0 t d 图图4.2.1 任意力的分解任意力的分解 (3.2.11) )cos(cos 1 )cos(cos 1 1 11 )cos(cos 2 )(cos)(cos 2 )(sin)(sin 2 )(sincos)( )sin()sin( 2 1 cossin cos)(, 0 )6 . 2 . 4( )(sin)( 1 )( )(1 . 2 . 4 2 0 22 0 0 t 0 0 0 0 0 0 0 )( 0 最

5、后两项。结果等同于 主意使用关系式： 在上式中，令下面来研究一个特例： 振动和强迫振动。它包括扰力引起的自由 的响应为：对应于任意力的系统在零初始条件下对于例 ptt X ptt mp F pp ptt mp F p ptp p ptp mp F dptpptp mp F dtp mp F tx tFtf dtqef mq tx tf tt tp t pt t eqt q pxx qtx dhtftx dhtftx dthftx dthftx sincos )10. 2 . 4( )()()( )9 . 2 . 4( )()()( )8 . 2 . 4( )()()( )7 . 2 . 4(

6、)()()( )5 . 2 . 4( 00 0 0 引起的自由振动，即： 初始条件上述卷积积分叠加上由零，系统的总响应可由如果系统的初始条件非 ：还有四种等价形式如下可以证明式 4.3 Fourier变换与频域分析变换与频域分析 )2 . 3 . 4( )( 2 1 ) 2 1 )( 2 ()(lim)( )3 . 3 . 4( )( )()(limlim )( 12 )( )( )3 . 3 . 4( )()()( )2 . 3 . 4( )()( 2 1 )( )( ) 1 . 3 . 4( )( 2 2 2 2 1 deF T eTctf FdtetfdtetfTc nT dtetf T

7、 c T ectf FouriertfT tfdtetfF fdeFtf Fouriertf dttf tjtj n T tjtjn T T T n T tjn T T n tjn n tj tj 。于是有：记做变量，记做将不断变小，将不断增大，随着 ， 级数为：的复数形式的的周期函数说明如下：周期为 其中： 积分：一定可以表示为如下则 ：若再满足绝对可积条件条件的非周期函数，如任何一个满足狄利克雷 F F )10. 3 . 4( )( 2 1 )( )()( )8 . 3 . 4( )()( )7 . 3 . 4( )()( )()( )9 . 3 . 4( )()()( )8 . 2 .

8、4( )()()()()()( )()()()( )6 . 3 . 4( )()()()( )()()()( deHth dtethH Fourier dtetfF dtethHdtetxX FHX YXdexYddtetyx dtedtyxtytxF YXtytxFdtyxtytx Fourier Fourier tj tj tj tjtj jtj tj 变换对：脉冲响应函数互为系统的频率响应函数与 其中： 式可转化为频域结果：利用上述卷积定理 实际上： ，则 的乘积。的 变换等于各个时域函数：两个时域函数卷积的时域卷积定理时域卷积定理 4.4 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）变换法）变

9、换法 )6 . 4 . 4( )()( )( )5 . 4 . 4( )0()0()()()( )4 . 4 . 4( )0()( )()()()( )3 . 4 . 4( )()()( )()()(0 )2 . 4 . 4( )0( ),0( , 0 ) 1 . 4 . 4( )( 0 2 0 0 0 0 0 dttfesF tf xsxsXsdttxetxL xssX dttxestxedttxetxL es adttxetLxsX tLxsXtxt xxxxt tfkxxcxm st st ststst st st 的拉氏变换可表示为：激励 导：称为变换的核。不难推变量。函数一般为复数，

10、称为辅助 定义如下定积分： ，或，它的拉氏变换记为的时间函数对于定义于 为：相应的初始条件可表示 运动微分方程为：设单自由度线性系统的 表求解。，而是用部分分式法查解一般不需要根据定义求 ：解进行拉氏反变换可以求对式 。在控制理论中称为函数 ，则有：若系统的初始条件为零 ：系统响应的拉氏变换为 如果引入特征多项式： 或 的两端进行拉氏变换：现在对方程 )11. 4 . 4( )11. 4 . 4( )()( )()9 . 4 . 4( )( 1 )10. 4 . 4( )( )( )( 0 , 0 )9 . 4 . 4( )( )0()()0( )( )( )( )8 . 4 . 4( )2(

11、)( )7 . 4 . 4( )0()()0()()()( )()( )0()()0()0()( ) 1 . 4 . 4( 1 222 2 2 sXLtx tx sD sD sF sX xxt sD xcmsxm sD sF sX ppssmkcsmssD xcmsxmsFsXkcsms sFskXxssXcxsxsXsm 传递函数传递函数 0max0 0 00 22 1 0 22 1 0 22 12 0 1 22 00 22 2 0 22 00 22 2 0 00 0 0 2 0 0 2)cos1 ()( sincos)cos1 ()( 7 , 6 ,113 . 1 )( 1 )( )( )

12、(, 1 )(, 0, 1)( 1 . 4 . 4 )14. 4 . 4( )( )( )13. 4 . 4( , , 0 1)( )( XxptXtx pt p x ptxptXtx B ps Lx ps s Lx pss LpXsXL ps xsx pss pX sX s sFttf ps xsx ps sFpX sX xxxxt k F X m k p tfF tfFkxxm ，可见：对应于零初始条件： 可得：序号根据表 阶跃激励情形。例 ：系统响应的拉氏变换为 初始条件为： 及引入记号： 的时间函数。为最大幅值等于为激励的最大幅值； 分方程：无阻尼单自由度系统微 ： 应的例子应的例子系

13、统对典型冲击激励响系统对典型冲击激励响 )(tf 1 0 t 图图4.4.1 阶跃激励阶跃激励 第五章第五章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 5.2 系统振动微分方程的一般形式系统振动微分方程的一般形式 Lagrange 方程简介方程简介 特点：从能量的观点出发，建立系统的动能、位能和功之间的标量关系，避免了未 知的约束反力，但引入了较复杂的微分运算。 自由度数。 的广义力；对应于广义坐标 速度；系统的广义坐标和广义 系统的位能； 系统的动能； n Q ni U T niQ UTT dt d ii ii i iii ), 2 , 1( , ), 2 , 1( 应用应用Lagran

14、ge 方程的解题步骤如下：方程的解题步骤如下： 选择系统的广义坐标：先确定自由度数，在选择广义坐标； 建立用广义坐标和广义速度的系统动能和位能表达式； 确定广义力； 建立系统的运动微分方程。 算广义力。亦可用求虚功的方法计 投影。个质点上的非有势力的作用在第 个质点的直角坐标；系统中第 jFFF jZYX Z F Y F X FQ jzjyjx jjj i j jz i j jy i j k j jxi , , )( 1 1, 1 , 1 1, 1 , 1 2 . 2 . 5 , 11, 1 , 11, 1 11 nikkk nikkk ktrid niccc niccc ctrid mdia

15、gFFxx iiiii iiii ij iiiii iiii ij i T n T n ， ， ， ， ； 其中： 程为：性范围内，运动微分方广义坐标的原点，在线取系统静平衡位置为各 自由度线性阻尼系统。和阻尼器串联而成的多所示由多个质量、弹簧如图 K C MQx QKxxCxM 1 x 1i xi x 1i x n x 1 F 1i F i F 1i F n F 1 m 1i m i m 1i m n m 0 k 1i k i kn k 0 c 1i ci c n c 图图5.2.2 串联质量弹簧阻尼系统串联质量弹簧阻尼系统 5.3 实模态分析实模态分析 5.3.1 无阻尼情形无阻尼情形 。

16、称为系统的按从小到大排列： ，各正实根的可解出它是系统的特征方程。 条件是：这一方程具有非零解的 程可得：将上式代入自由振动方 初相位。圆频率；振幅列阵； 解：假设它具有如下形式的 分方程可表示为：这一系统的自由振动微 为激励列阵。 为正定或半正定。为正定，阶实对称矩阵，且均为 刚度矩阵，分别为系统的质量和，为位移列阵； 为：性系统，运动微分方程对于无阻尼多自由度线 固有频率固有频率 n i T n T n ppp pnp p p p pt tftf nn xx 21 22 2 2 1 1 )5 . 3 . 5( 0 )4 . 3 . 5( )3 . 3 . 5( )sin( )2 . 3 .

17、 5( )()( ) 1 . 3 . 5( MK 0XMK X Xx 0KxxM f(t) KM KMx f(t)KxxM 式得证。的情况，则考虑 二式相减可得： ，可得：；对第二式左乘将第一式转置，再右乘 应分别满足：和证明：根据定义， ， ： ）。（或称表示的运动称为系统的 ， 。由下式：或 ，称为系统的个实矢量意义下，可确定在不计任意倍数差别的 ， ：，可得下列主振型方程代入将各个 )7 . 3 . 5( )8 . 3 . 5( 0)( )7 . 3 . 5( 0 0 , 1 )sin( )6 . 3 . 5( , 1 )4 . 3 . 5( 22 22 22 2 ji j T iji

18、j T ijj T ij T iij T i T ij jjjiii ji j T ij T i iii i ii i pp pp pp pp ji nitp n nip p MXX MXXKXXMXXKXX XX MXKXMXKX XX KXXMXX Xx X 0XMK 刚度矩阵的加权正交性刚度矩阵的加权正交性主振型关于质量矩阵和主振型关于质量矩阵和 固有振动固有振动主振动主振动 特征矢量特征矢量主振型主振型 )12. 3 . 5( , 1 )( (5.3.11) )()()( )( )11. 3 . 5( )( )( ) 1 . 3 . 5( )10. 3 . 5( ) 1 . 3 . 5

19、( 1 0 0 2 2 2 2 1 2 nitqypy ttqt t tpdiag t pdiag pKM KdiagMdiag M K pKM KMKM iiii T i T T i TTT T i TT iii i T i T n i i iii iii T iii T ii ， ：可进一步写成标量形式式 态激励）列阵，记做：称为广义激励（或称模其中 ：根据上述正交性，即得 入，可得：并用上述实模态变换代 ，左乘化，对方程中各个主振型均已归一不妨假设 引入如下实模态变换： 解耦问题。定义得坐标变换使系统下面研究利用模态矩阵 ，此时有： 和下，使得：可以选择归一化振型如 ， 形式：上述结果可以写成矩阵引入实模态矩阵： 。且有：； 我们记： fAq fA fAyy fAKAyAyMAA AA Ayx KAAIMAA KAAMAA XXA KXXMXX 模态刚度模态刚度模态质量模态质量 yyKAyAy yyyMAAy KxxxMx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 )( i TTT p i TTT k T p T k i KdiagE MdiagE EE ty 动能和势能分别变为：在模态坐标中，系统的 能和势能分别为：系统在原坐标系中的动 模态响应； 分析法的本质。分析法的本质。 响应。此即模态响应。此即模态换，就可得到原系