第五章 扭 转 - 太原工业学院精品课程

1、第五章第五章 扭扭 转转 5-1 扭转的概念扭转的概念 一、扭转的概念及实例一、扭转的概念及实例 汽车的转向操纵杆汽车的转向操纵杆丝锥、电动机轴丝锥、电动机轴 受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的 力偶，力偶作用面垂直于轴线。力偶，力偶作用面垂直于轴线。 变形特征：横截面绕轴线转动。变形特征：横截面绕轴线转动。 二、外力偶矩的计算二、外力偶矩的计算 设某轮所传递的功率是设某轮所传递的功率是N kW，轴的转速，轴的转速 是是 n rpm N kW的功率相当于每分钟作功： WN=100060 1)( 外力偶矩 所作的功：m Wmn =2 2)( (1) =

2、(2) 100060 =2 得 Nmn m N n N n m 9549 kW rpm N m m N n N n m 7024 PS rpm N m 5-2 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 Tm Tm 扭矩扭矩 例：例： 图示传动轴，主动轮图示传动轴，主动轮A输入功率输入功率 NA=50 马力，从动轮马力，从动轮B、C、D输出功率分输出功率分 别为别为 NB=NC=15马力马力 ，ND=20马力，轴的马力，轴的 转速为转速为n=300转转/分。作轴的扭矩图。分。作轴的扭矩图。 NNNN n ABCD 501520PSPSPS = 300rpm 解：解： m N n A A 70247024 50

3、300 1170 N m mm N n m N n BC B D C 70247024 15 300 351 70247024 20 300 468 N m N m TmB 1 351 N m T2702 N m TmD 3 468N m m mm m A BC D 1170 351 468 N m N m N m T(N m) T T T 1 2 3 351 702 468 N m N m N m 5-3 薄壁圆筒的扭转实验薄壁圆筒的扭转实验 一、薄壁圆筒的扭转应力分析一、薄壁圆筒的扭转应力分析 等厚度的薄壁圆筒等厚度的薄壁圆筒,平均半径为平均半径为 r,壁厚为壁厚为 t 受扭前在其表面上用

4、圆周线和纵向线画成受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成 方格方格,然后加载。然后加载。 m m (1) 纵向线倾斜了同一微小角度纵向线倾斜了同一微小角度 (2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距圆周线的形状、大小及圆周线之间的距 离没有改变离没有改变 根据以上实验现象根据以上实验现象,可得结论：可得结论： 圆筒横截面上没有正应力，只有剪应圆筒横截面上没有正应力，只有剪应 力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直 于半径于半径。 观察到如下现象：观察到如下现象： m m 剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径 T T 根据精

5、确的理论分析根据精确的理论分析,当当tr/10时时,上式的上式的 误差不超过误差不超过4.52%,是足够精确的。是足够精确的。 rAT A ddA dA rAT A d rrtT 2 T r t2 2 r 二、剪应力互等定理二、剪应力互等定理 dx t dy ()()t yxt xydddd 微元体微元体 单元体单元体 剪应力互等定理剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上在相互垂直的两个平面上, 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同 时指向或背离两平面的交线。时指向或背离两平面的交线。 三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 薄壁圆筒的实验薄壁圆筒的实验,

6、 证实了剪应力与剪应变之间证实了剪应力与剪应变之间 存在着象拉压胡克定律类似的关系存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力即当剪应力 不超过材料的剪切比例极限不超过材料的剪切比例极限p时时,剪应力与剪应剪应力与剪应 变成正比变成正比 G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切剪切 胡克定律胡克定律。 G 剪切弹性模量剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量材料常数：拉压弹性模量E 泊松比泊松比 G E 2 1 () 对于各向同性材料对于各向同性材料,可以证明可以证明:E、G、 三个弹三个弹 性常数之间存在着如下关系性常数之间存在着如下关系 5-4 圆轴扭转

7、时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形 一、圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力 变形几何关系变形几何关系 从三方面考虑：物理关系从三方面考虑：物理关系 静力学关系静力学关系 观察到下列现象观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距 离没有变化离没有变化 (2)纵向线仍近似为直线纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度但都倾斜了同一角度 1.变形几何关系变形几何关系 平面假设：平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它 像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。像刚性平面一样绕轴线旋

8、转了一个角度。 d ddx d dx 在外表面上 r x d d 根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时的剪切比例极限时 G 剪应力方向垂直于半径剪应力方向垂直于半径 2. 物理关系物理关系 G x d d 3.静力学关系静力学关系 dA dA o A ATd A G x AT d d d G x AT A d d d 2 令 IA p A 2 d则 d d x T G I p IA p A 2 d极惯性矩 d d x T G I p G x d d max max T I p G T G I p T I p T Wt W I t p max

9、 抗扭截面模量 T I T W pt max max max d o IA p A 2 d 下面求极惯性矩和抗扭截面模量IW pt 2 0 2 2d d/ 2 3 0 2 d d/ 2 2 4 4 d d 4 32 W I t p max I d p 2 d 3 16 IA p A 2 d 对于空心圆，外径为 ，内径为Dd 2 2 2 2d d D / / ()Dd 44 32 W I t p max I D p 2 D 3 4 16 1 () D 44 1 32 () 极惯性矩： 实心圆：I d p 4 32 空心圆：I DdD p () () 444 4 3232 1 抗扭截面模量： 实心

10、圆：W d t 3 16 空心圆：W D t 3 4 16 1() 二、圆轴扭转时的变形二、圆轴扭转时的变形 d d d x T GI p dd T GI x p T GI x p l d 若，则T T l G I p const l N l E A 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 强度条件： max T W t 刚度条件： d d x T GI p T GI p 180 rad m/ /m 例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半 时，横截面的最大剪应力是原来的时，横截面的最大剪应力是原来的 倍？倍？ 圆轴的扭转角是原来的圆轴

11、的扭转角是原来的 倍？倍？ max T W T d t 3 16 Tl GI Tl G d p 4 32 8 16 例：图示铸铁圆轴受扭时，在例：图示铸铁圆轴受扭时，在 面上面上 发生断裂，其破坏是由发生断裂，其破坏是由 应力引起的。应力引起的。 在图上画出破坏的截面。在图上画出破坏的截面。 45 螺旋螺旋 最大拉最大拉 例：内外径分别为例：内外径分别为20mm和和40mm的空心圆截的空心圆截 面轴，受扭矩面轴，受扭矩T=1kNm作用，计算横截面上作用，计算横截面上A 点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。 解：解： A A p T I 1000001

12、5 004 32 105 4 4 . . (.) 6366.MPa max T Wt 1000 004 16 105 3 4 . (.) 8488.MPa minmax . 10 20 4244MPa 例：一直径为例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之的实心轴，另一内外径之 比比d2D20.8的空心轴，若两轴横截面上的空心轴，若两轴横截面上 的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直 径之比径之比D2/D1。 解：由解：由 T D T D 1 3 2 3 4 1616 108 (.) D D 2 1 4 3 1 108 1192 . . 得：得： 例：在强

13、度相同的条件下，用例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴的空心圆轴取代实心圆轴 ，可节省材料的百分比为多少，可节省材料的百分比为多少? 解：设实心轴的直径为解：设实心轴的直径为 d1 ，由，由 T d T D 1 33 4 1616 105 (.) D d1 1022 . 得：得： A A D d 空 实 2 2 1 2 4 105 4 0783 (.) . 0.8 0.8 1.192 0.8 0.512 例：一厚度为例：一厚度为30mm、内直径为、内直径为230mm 的空的空 心圆管，承受扭矩心圆管，承受扭矩T=180 kNm 。试求管中的。试求管中的 最大剪应力，使

14、用：最大剪应力，使用： (1)薄壁管的近似理论；薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。精确的扭转理论。 解：解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得利用薄壁管的近似理论可求得 max T r t2 2 max () T D 3 4 16 1 (2) 利用精确的扭转理论可求得利用精确的扭转理论可求得 18010 029 16 1 230 290 3 3 4 . 622 . MPa 18010 2013003 3 2 . 565 . MPa 例：一空心圆轴，内外径之比为例：一空心圆轴，内外径之比为=0.5， 两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为， 若将轴的横

15、截面面积增加一倍，内外径之比仍若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍 保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？ （按强度计算）。（按强度计算）。 解：设空心圆轴的内、外径原分别为解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面，面 积增大一倍积增大一倍 后内外径分别变为后内外径分别变为d1 、 D1 ， ，最大许可扭矩为 最大许可扭矩为1 由 T D T D 1 1 3 4 3 4 16 1 16 1 ()() 由得 DDD D 1 2 2 2 21 4 1052 4 1052(.)(.) 得 T T D D 11 3 3/2 22828 . 例：一空心轴例：一

16、空心轴=d/D=0.8，转速，转速n=250r/m, 功率功率 N=60kW，=40MPa，求轴的外直径，求轴的外直径D和和 内直径内直径d。 解：解：m N n 95499549 60 250 229176.N m 由 m DD 3 4 3 4 6 16 1 229176 16 108 4010 () . (.) 得D 791 . mm ,.d 633 mm 例：水平面上的直角拐，例：水平面上的直角拐，AB段为圆轴，段为圆轴， 直径为直径为 d，在端点，在端点C受铅垂力受铅垂力P作用，材料的剪作用，材料的剪 切弹性模量为切弹性模量为G，不计，不计BC段变形。求段变形。求C点的铅点的铅 垂位移

17、。垂位移。 解：解： CVAB a P a l G I a p 32 2 4 Pa l Gd 例：已知一直径例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭的钢制圆轴在扭 转角为转角为 6时，轴内最大剪应力等于时，轴内最大剪应力等于90MPa， G=80GPa。求该轴长度。求该轴长度。 解：解： T l G I p ( ) 1 max ( ) T Wt 2 ( ) ( ) 1 2 得：l G I W p t max 6 180 8010005 90102 9 6 . 233.m 例：圆截面橡胶棒的直径例：圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后受扭后,原来原来 表面上的圆周线和纵向线间夹角由表面上的圆周

18、线和纵向线间夹角由 90变为变为 88。如杆长。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的扭，试求两端截面间的扭 转角；如果材料的剪变模量转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆，试求杆 横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩。横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩。 解：由解：由 l d 2 得l d 2 2300 2 40 30 max G272 180 . 009425.MPa mWt max 00942510 004 16 6 3 . . 118.N m 例：传动轴传递外力偶矩例：传动轴传递外力偶矩5kNm,材材 料的料的=30MPa, G=80GPa, =0.5/m,试选试选 择轴的直

19、径。择轴的直径。 解：解：由 5000 16 3010 3 6 d 得d 947 . mm 由 5000 8010 32 180 05 9 4 d . 得 d 924 . mm 例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为，钢管与钢例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为，钢管与钢 轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩，使轴受扭后，轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩，使轴受扭后， 在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最 大剪应力。大剪应力。 解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T m m l

20、 G I p内 T l G I T l G I pp内外 例：两端固定的圆截面等直杆例：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面，在截面 C受外力偶矩受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力作用，试求杆两端的支座反力 偶矩。偶矩。 解：解： mmm AB 静力平衡方程为：静力平衡方程为： ABACCB 0 变形协调条件为：变形协调条件为： ma G I mb G I A p B p 0 即：即： 5-6 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念 圆截面杆扭转时的应力和变形公式圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立均建立 在在平面假设平面假设 的基础上。的基础上。 对于非圆截面杆对于非圆截面杆,受扭时横

21、截面不再保持受扭时横截面不再保持 为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。面。这一现象称为截面翘曲。 因此因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆 截面杆均不适用。截面杆均不适用。 非圆截面杆在扭转时有两种情形非圆截面杆在扭转时有两种情形: 1.自由扭转或纯扭转自由扭转或纯扭转 在扭转过程中在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约杆的各横截面的翘曲不受任何约 束束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此 时横截面只有剪应力时横截面只有剪应力,而没有正应力。而没有正应力。 2.约束扭转约束扭转 扭转时扭转时,由于杆的端部支座的约束由于杆的端部支座的约束,使杆件截面使杆件截面 翘曲受到一定限制翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面而引起任意两相邻横截面 的翘曲程度不同的翘曲程度不同,将在横截面上