水力学 第3章 流体力学基本方程

1、第三章第三章 流体力学基本方程流体力学基本方程 u本章研究：本章研究：流体机械运动的基本力学流体机械运动的基本力学 规律及其在工程中的初步应用。规律及其在工程中的初步应用。 思考思考 1 1 为什么河道较窄的地方流速较大？为什么河道较窄的地方流速较大？ 思考思考 2 2 高楼顶层的水压为什么较低？高楼顶层的水压为什么较低？ 思考思考 3 3 自来水可以爬上几十米的高楼，洪水自来水可以爬上几十米的高楼，洪水 为什么不能爬上几米的岸边山坡？为什么不能爬上几米的岸边山坡？ t z w t y v t x u , 设某一设某一流体质点在流体质点在某某时刻的空间位置时刻的空间位置，为：，为： x=x(a

2、,b,c,t), y=y(a,b,c,t), z=z(a,b,c,t)。 (a,b,c)为流体质点的初始位置坐标。为流体质点的初始位置坐标。 速度：速度： 一一.流体运动的描述方法：流体运动的描述方法： 以流体质点作为研究对象，研究其各运动要素随时间与空以流体质点作为研究对象，研究其各运动要素随时间与空 间的变化的分布规律间的变化的分布规律。 流体的流体的运动要素运动要素（流动参数流动参数）表征流体运动的各种物理量。表征流体运动的各种物理量。 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。 1.1.拉格朗日法：拉格朗日法： 3-1

3、3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 2 2 2 2 2 2 , t z t w a t y t v a t x t u a zyx 加速度：加速度： 2.2.欧拉法：欧拉法： 以流场作为研究对象，研究各流场空间点上流体以流场作为研究对象，研究各流场空间点上流体 质点的各运动质点的各运动要素要素随时间与空间的变化的分布规律随时间与空间的变化的分布规律。 流场：运动流体所占据的空间。流场：运动流体所占据的空间。 在欧拉法中，是以速度场来描述流体运动的，流体质点的运在欧拉法中，是以速度场来描述流体运动的，流体质点的运 动速度（即速度函数）是定义在空间点上的，它们是空间点坐动速度（即速度函数

4、）是定义在空间点上的，它们是空间点坐 标（标（x, y, zx, y, z）的函数：的函数： kwjviuV kajaiaa zyx 这里：这里： t ot 01 )( lim vv a 上式中用粗体字母表示矢量。上式中用粗体字母表示矢量。 由速度分布求加速度：由速度分布求加速度： ) t z, y, x,( w ) t z, y, x,( v ) t z, y, x,(u w v u kwjviuV 在欧拉法中，是以速度场来描述流体运动的，流体质点的运在欧拉法中，是以速度场来描述流体运动的，流体质点的运 动速度（即速度函数）是定义在空间点上的，它们是空间点坐动速度（即速度函数）是定义在空间点

5、上的，它们是空间点坐 标（标（x, y, zx, y, z）的函数：的函数： 由速度分布求加速度：由速度分布求加速度： 设某个质点，设某个质点，t 时刻位于时刻位于 （x, y, z），），速度为：速度为： ),( 0 tzyxV t+t 时刻位于时刻位于(x+x, y+y, z+z)，速度为：速度为： ),( 1 ttzzyyxxV V0和和V1的关系为：的关系为： z z V y y V x x V t t V VV 01 kwjviuV 加速度：加速度： 而：而：z z y y x x t t VVVV VV 01 注意到：注意到：w t z v t y u t x ttt 000 li

6、m,lim,lim 因此：因此： z w y v x u t VVVV a t ot 01 )( lim vv a 若用粗体字母表示矢量，则：若用粗体字母表示矢量，则： dt d z w y v x u t VVVVV a 加速度的投影值：加速度的投影值： dt du z u w y u v x u u t u ax dt dv z v w y v v x v u t v a y dt dw z w w y w v x w u t w az 二二.恒定流与非恒定流恒定流与非恒定流： 1. 1.恒定流（定常流动）：恒定流（定常流动）： 2. 2.非非恒定流（非定常流动）：恒定流（非定常流动）：

7、等。或这时：),(),(tzyxpptzyxuu 等。，特征：00 t p t w t v t u 流场中各点处的所有流动参数均不随时间而变化的流动。流场中各点处的所有流动参数均不随时间而变化的流动。 流场中各点的流体质点的所有流动参数中只要有一个随时流场中各点的流体质点的所有流动参数中只要有一个随时 间而变化，这样的流动就称为间而变化，这样的流动就称为非非恒定流。恒定流。 流线：在固定时刻流线：在固定时刻t, t, 如果流场中的某一条曲线上每如果流场中的某一条曲线上每 一点的切线都与该点的流体质点的速度方向相同一点的切线都与该点的流体质点的速度方向相同, , 则称此曲线为该瞬时的一条则称此曲

8、线为该瞬时的一条 流线流线。 迹线：给定质点在一段连续时间内的运动轨迹。迹线：给定质点在一段连续时间内的运动轨迹。 流线和迹线流线和迹线 的区别：的区别： 三三.迹线和流线迹线和流线： kwjviuV 流线和迹线的区别：流线和迹线的区别： t1 a c a V b V c V a a t1+ tt1+ 2t 质点质点a的轨迹的轨迹 t=tt=t1 1的流线的流线 b 迹线 - 流体质点的运动轨 迹线。 流线 - 处处与质点速度 矢量相切的空间曲线。 u恒定恒定流流时时, ,流线与迹线重合流线与迹线重合。 流线微分方程：流线微分方程： 设流线微段为：设流线微段为： 该点的流体的速度为：该点的流体

9、的速度为： 因为：因为： w dz v dy u dx kdzjdyidxds kwjviuV 因此因此, ,两矢量的分量对应成比例：两矢量的分量对应成比例： dsV / 1.1.流管：流管： 2.2.流束：流束： 四四. .流管、流束、元流、总流：流管、流束、元流、总流： 流管内的一束运动流体称为流束。流管内的一束运动流体称为流束。 在流场中任意绘一条非流线的封在流场中任意绘一条非流线的封 闭曲线，在该曲线上的每一点作流闭曲线，在该曲线上的每一点作流 线，这些流线所围成的管状面称为线，这些流线所围成的管状面称为 流管。流管。 由于流管的由于流管的“管壁管壁”是由流线构成的，因而流体质点的是由

10、流线构成的，因而流体质点的 速度总是与速度总是与“管壁管壁”相切，不会有流体质点穿过相切，不会有流体质点穿过“管壁管壁” 流入或者流出流管。流管内的流体就像是在一个真实的管流入或者流出流管。流管内的流体就像是在一个真实的管 子里流动一样：从一端流入，从另一端流出。子里流动一样：从一端流入，从另一端流出。 3.3.元流：元流： 如果流管的横截面积为如果流管的横截面积为dA,dA,这种流管称为微流管这种流管称为微流管, , 微流管内的流束称为元流。微流管内的流束称为元流。 4.4.总流：总流： 无数元流的总和称为总流。无数元流的总和称为总流。 五五. .流量：流量： 过流断面：与流线正交的横断面。

11、过流断面：与流线正交的横断面。 （体积）流量（体积）流量Q Q：单位时间内通过过流断面的流体体积。单位时间内通过过流断面的流体体积。 断面平均流速：断面平均流速： 对曲面对曲面A A，其（体积）流量其（体积）流量： 断面平均流速断面平均流速：v = Q/Av = Q/A 过流断面上各点流速的平均值，称为断面平均流速。过流断面上各点流速的平均值，称为断面平均流速。 如图，对于如图，对于dAdA，其（体积）流量其（体积）流量为为： dAVdQ n A n Q dAVdQQ 六六. .均匀均匀流、非流、非均匀均匀流、渐变流、急变流：流、渐变流、急变流： 1. 1. 均匀均匀流与非流与非均匀均匀流：流

12、： 2. 2.渐变流与急变流：渐变流与急变流： 七七. .一元一元流动、流动、二元二元流动、流动、三元三元流动：流动： 若流体的流动参数是空间三个坐标和时间的函数，这种若流体的流动参数是空间三个坐标和时间的函数，这种 流动称为流动称为三元三元流动；若流动参数是两个坐标和时间的函数，流动；若流动参数是两个坐标和时间的函数， 这种流动称为这种流动称为二元二元流动；若流动参数是一个坐标和时间的流动；若流动参数是一个坐标和时间的 函数，这种流动称为函数，这种流动称为一元一元流动。流动。 在给定时刻，流场中各流线都是平行直线的流动称为在给定时刻，流场中各流线都是平行直线的流动称为均匀均匀 流；否之，则为

13、非流；否之，则为非均匀均匀流。流。 在非在非均匀均匀流中，各流线是接近于平行直线的流动称为渐流中，各流线是接近于平行直线的流动称为渐 变流变流（或称缓变（或称缓变流）；否之，则为急变流。流）；否之，则为急变流。 求求t=0t=0时，经过点时，经过点A A（-1-1，-1-1）的流线方程。的流线方程。 y dy x dx 1lnlnCyx 例例1 1：已知：已知：u = x+tu = x+t，v = -y+t, w = 0v = -y+t, w = 0。 解：解：t=0t=0时，时，u=x, v=-y, w=0u=x, v=-y, w=0；代入流线微分方程，代入流线微分方程， 有：有： 流线过点

14、（流线过点（-1，-1） C =1 cyx 1 yx流线方程为： 例例2 2：已知某流场中流速分布为：已知某流场中流速分布为：u u = -x， v v = 2y, w w = 5-z。求通求通 过点过点(x,y,z) = (2,4,1)的流线方程。的流线方程。 解：解： 流线微分方程为：流线微分方程为： w dz v dy u dx z dz y dy x dx 52 z zd x dx y yd x dx z zd y yd x dx 5 )5( 2 )2( 2 1 5 )5( 2 )2( 2 1 由上述两式分别积分，并整理得：由上述两式分别积分，并整理得： 05 22 1 czcx cy

15、x 即流线为曲面即流线为曲面 和平面和平面 的交线。的交线。 1 cyxxc zc 22 50 将将 ( (x,y,z)=(2,4,1) ,x,y,z)=(2,4,1) ,代入可确定：代入可确定： c c1 1 和和c c2 2 2 1 4 21 cc， 故通点故通点(2,4,1)的流线方程为：的流线方程为： 052 4 zx yx 3-2 3-2 连续性方程连续性方程 一一. 积分形式的积分形式的连续性方程连续性方程： 1.1.系统与控制体：系统与控制体： . .系统：系统： . .控制体：控制体： 包含确定流体质点的集合包含确定流体质点的集合。 流场中的一个空间固定体称为流场中的一个空间固

16、定体称为控制体控制体。 控制体的边界面称为控制面控制体的边界面称为控制面。 系统的流体质量为：系统的流体质量为： )( )()( t dttM 质量守恒质量守恒: :系统的质量在任何时刻都相等。系统的质量在任何时刻都相等。 0 )()( lim 0 t tMttM dt dM t 2.2.连续性方程的推导：连续性方程的推导： 在这里在这里,我们选取我们选取t时刻系统的体积时刻系统的体积和表面积和表面积A为为 控制体的体积和表面积。控制体的体积和表面积。 t tMttM dt dM t )()( lim 0 )()( )()()()( ttt dtdtttMttM )()( )()()( tt

17、dtdttdtt tdAvttdttt dttdttt n tA t )()()( )()()( )( )( 故：故： ) 1 ( dAvd tdt dM d dt d A n 由于质量守恒，因此：由于质量守恒，因此：0 A ndA vd t 此方程称为积分形式的连续性方程。此方程称为积分形式的连续性方程。 即：系统的任一物理量的总变化率等于控制体即：系统的任一物理量的总变化率等于控制体内该内该物物 理量的理量的时间变化率和该时间变化率和该物理量通过物理量通过控制体表面的净流出控制体表面的净流出 率之和。率之和。 A ndA vd t d dt d 方程（方程（1 1）对于任一物理量对于任一物

18、理量（比如：动量等）亦成立。比如：动量等）亦成立。 ) 1 ( dAvd tdt dM d dt d A n 流体单位体积的动量。令V: 式中：式中： 流体单位体积的某物理量。流体单位体积的某物理量。 )2( )( A ndA vVd t V dV dt d 则，方程（则，方程（1 1）可写为：）可写为： 。流体单位体积的动量矩令Vr: 则，方程（则，方程（1 1）又可写为：）又可写为： )3()( )( A ndA vVrd t Vr dVr dt d 对于定常流动对于定常流动：0 A ndA v 一元流动，有：一元流动，有： 不可压缩流体的一元流动，有：不可压缩流体的一元流动，有：V1A1

19、=V2A2 0 A ndA vd t 分析积分形式的连续性方程：分析积分形式的连续性方程： 1V1A1=2V2A2 作业：P106，第4题、第6题。 分析二元流动，取控制分析二元流动，取控制 体如图，长为体如图，长为dx, dx, 宽为宽为dydy。 设控制体中心点设控制体中心点O(x,y)O(x,y)的的 速度速度分量分量分别为分别为u、v，密度密度 为为。 单位时间内，左侧面流单位时间内，左侧面流 入的质量：入的质量： dy dx x u u dx x 22 dy dx x u u dx x 22 单位时间内，单位时间内，右侧面流出的质量：右侧面流出的质量： 二二. 微分形式的微分形式的连

20、续性方程连续性方程： dxdy x u )( dy dx x u u dx x 22 单位时间内单位时间内，x x方向净方向净 流出的质量为：流出的质量为： dy dx x u u dx x 22 同理同理, ,单位时间内单位时间内, y y方向净流出的质量为：方向净流出的质量为： dxdy y v )( 因此，根据质量守恒定律，有：因此，根据质量守恒定律，有： dxdy t dxdy y v dxdy x u )()( 即：即： 0 )()( y v x u t 三元流动：三元流动： 0 )()()( z w y v x u t 若采用圆柱坐标（若采用圆柱坐标（r r，z z），则有：），则

21、有： 0 )()()(1 z rvv r rv rt zr 速度分量。是圆柱坐标系中的三个和这里 zr vvv ,: 0 z w y v x u 当当=常数时（均质不可压缩流体），有：常数时（均质不可压缩流体），有： 0 )()()( z w y v x u t 对于定常流动（恒定流），有：对于定常流动（恒定流），有： 0 )()()( z w y v x u 分析三元流动微分形式的连续性方程分析三元流动微分形式的连续性方程： 一一. 理想理想流体的运动微分方程：流体的运动微分方程： 3-3 3-3 流体运动的微分方程流体运动的微分方程 x x方向：方向： mamax x = F = Fx x

22、 x dxdydza 从从理想理想流体流体中取出边中取出边 长分别为长分别为dx,、dy和和dz的的 微元平行六面体。设微微元平行六面体。设微 元体中心点的速度分量元体中心点的速度分量 为为u、v和和w，其压强为其压强为p、 密度为密度为。 理想理想流体的动压强与液体的静压强的特性一致。流体的动压强与液体的静压强的特性一致。 dydz dx x p pdydz dx x p pdxdydzf x 22 1 xx p af x 同理：同理： 即：即： 理想理想流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程。流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程。 二二. 粘性粘性流体的运动微分方程（流体的运动微分方

23、程（N-SN-S方程）简介：方程）简介： 不可压缩粘性不可压缩粘性流体的运动微分方程又称为纳维流体的运动微分方程又称为纳维- -斯托克斯斯托克斯 方程，简称为方程，简称为N-SN-S方程。方程。 y p fa yy 1 z p fa zz 1 N-SN-S方程：方程： 2 2 2 2 2 2 1 z u y u x u x p fa xx 2 2 2 2 2 2 1 z v y v x v y p fa yy 2 2 2 2 2 2 1 z w y w x w z p fa zz 在在N-SN-S方程中，若方程中，若 =0=0（理想理想流体），则流体），则N-SN-S方程变为欧拉运方程变为欧拉

24、运 动微分方程动微分方程。 3-5 3-5 伯努利方程伯努利方程 一一. .理想流体沿流线理想流体沿流线s s的伯努利方程：的伯努利方程： s p fa ss 1 s u u t u as . .加速度：加速度： 如果流动恒定，则如果流动恒定，则： 考 查 理 想 流考 查 理 想 流 体沿流线体沿流线s s的运的运 动方程：动方程： 1.1.方程的推导方程的推导： 2 2 u ds d ds du uas . .如果质量力仅为重力：如果质量力仅为重力： . 2 2 const u p gz . .如果如果为常数为常数： 积分得：积分得： s p fa ss 1 p ds d ds dp 1

25、gz ds d ds dz ggf s cos 0 2 2 p ds d gz ds du ds d 或： . 2 2 constH g u p z 参见第二章。的物理意义和几何意义及式中： p Z 位置水头位置水头( (Z)Z)、压强水头（压强水头（p/p/ ) )与流速水头与流速水头( (u/2g)u/2g)之和之和 称为总水头（称为总水头（H H）。 几何意义：流速水头。） 体所具有的动能；物理意义：单位重量流）： .2 .1 2 2 g u 这就是重力作用下，理想不可压缩流体恒定流沿流线的伯这就是重力作用下，理想不可压缩流体恒定流沿流线的伯 努利方程努利方程。 2.2.方程的物理意义和

26、几何意义方程的物理意义和几何意义： u恒定恒定元流元流伯努利方程的物理意义：伯努利方程的物理意义： 理想、不可压缩流体理想、不可压缩流体在重力场中作在重力场中作 恒定流动时，沿元流各断面上机械恒定流动时，沿元流各断面上机械 能守恒能守恒。 u恒定恒定元流元流伯努利方程的几何意义：伯努利方程的几何意义： 理想、不可压缩流体理想、不可压缩流体在重力场中作在重力场中作 恒定流动时，沿元流各断面上总水恒定流动时，沿元流各断面上总水 头保持不变头保持不变。 由于元流的极限状态就是流线，故沿流线由于元流的极限状态就是流线，故沿流线 的的伯努利方程就是伯努利方程就是沿元流的沿元流的伯努利方程伯努利方程。 r

27、 p fa rr 1 r u ar 2 p gz rr p r z g r u1 2 r z g dr dz ggfr cos 考查理想流体沿流线考查理想流体沿流线 法向的运动微分方程：法向的运动微分方程： 如图：如图：a ar r应为向心加速度应为向心加速度： 二二. .压强沿流线法向的变化：压强沿流线法向的变化： p gz rr u 2 0 p gz r r时，有：当 u（复习）渐变流和急变流的概念（复习）渐变流和急变流的概念：如果某处的流线的曲率半：如果某处的流线的曲率半 径非常大径非常大, ,则此处的流动称为渐变流；否则称为急变流。则此处的流动称为渐变流；否则称为急变流。 常数。有：即

28、，这时沿流线法向， p z g p z 。有： 即在渐变流断面上， C p z 三三. .理想理想流体总流的伯努流体总流的伯努 利方程：利方程： 研究总流在断面研究总流在断面1111和和2222之间的部份。取其中某一元流，之间的部份。取其中某一元流， 速度和断面积分别为速度和断面积分别为u u1 1、dAdA1 1和和u u2 2、dAdA2 2。 u1dA1=u2dA2 ， 或 dQ1=dQ2。 g u p z g u p z 22 2 22 2 2 11 1 22 2 22 211 2 11 1 21 22 dAu g u p zdAu g u p z AA 设两断面设两断面1111和和2

29、222处在渐变流中：处在渐变流中： 断面平均速度。为令： 2333 VQVAVdAVdAu AA 。工程计算中常取：匀（紊流）时：过流断面上的流速较均 布有关，与过流断面上的流速分称为动能修正系数。它式中： 0 . 105. 1 1 3 dA V u A A 故：故： Q p zudA p z A 。有：由于在渐变流断面上，C p z 2 3 2 22 2 21 3 1 11 1 1 2211 22 dA g u dAu p zdA g u dAu p z AAAA Q g V dA g u A 22 23 所以，有： 2 2 222 21 2 111 1 22 Q g Vp zQ g Vp

30、z 故，有： 21 QQ g Vp z g Vp z 22 2 222 2 2 111 1 这就是理想这就是理想流体恒定总流的伯努利方程（又流体恒定总流的伯努利方程（又 称为能量方程）。方程中的各项的物理意义和几称为能量方程）。方程中的各项的物理意义和几 何意义分别与何意义分别与理想理想流体元流的伯努利方程中的相流体元流的伯努利方程中的相 应项的物理意义和几何意义相同。应项的物理意义和几何意义相同。 四四. .粘性总流的伯努利方程：粘性总流的伯努利方程： 如图：如图：1111断面断面在上游，在上游， 2222断面断面 在下游。由于有粘性，流体的机械能沿在下游。由于有粘性，流体的机械能沿 流程减

31、少。流程减少。 实际流体具有粘性，在流动过程中，摩擦阻力做功会实际流体具有粘性，在流动过程中，摩擦阻力做功会 消耗掉一部分机械能。消耗掉一部分机械能。设单位重量流体从总流的设单位重量流体从总流的1111断面断面 运移至运移至2222断面的机械能损失为断面的机械能损失为h hW1-2 W1-2。则： 。则： 21 2 222 2 2 111 1 22 w h g V p z g V p z 水力坡度水力坡度J J：单位重量流体沿总流单位长度上的机单位重量流体沿总流单位长度上的机 械能损失械能损失。 ds dH ds dh J w 21 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 22 w h g V

32、 g p z g V g p z或： 3-6 3-6 伯努利方程的应用伯努利方程的应用 u1.1.连续流体（液、气）。连续流体（液、气）。 u2.2.流体均匀不可压缩，流体均匀不可压缩， = =const.const.。 u3.3.恒定流。恒定流。 u4.4.质量力仅为重力。质量力仅为重力。 u5.5.所取的两个计算断面为均匀流断面或渐变流所取的两个计算断面为均匀流断面或渐变流 断面（两断面间可以是急变流）。断面（两断面间可以是急变流）。 一一. .伯努利方程的应用条件：伯努利方程的应用条件： 二二. .有汇流（或分流）的伯努利方程：有汇流（或分流）的伯努利方程： 单位重量流体从单位重量流体从

33、1-11-1断断 面流至面流至0-00-0断面：断面： 单位重量流体从单位重量流体从2-22-2断面流至断面流至0-00-0断面：断面： 01 2 000 0 2 111 1 22 w h g V p z g V p z 02 2 000 0 2 222 2 22 w h g V p z g V p z 三三. .有能量输入或输出的伯努利方程：有能量输入或输出的伯努利方程： u水泵由进水管水泵由进水管1 1，出水管出水管2 2，以及叶轮，以及叶轮， 蜗壳等组成。蜗壳等组成。 u水由进水管进入叶轮中心，流经叶片之水由进水管进入叶轮中心，流经叶片之 间的通道进入蜗壳，由于叶轮的高速旋间的通道进入蜗

34、壳，由于叶轮的高速旋 转，水流获得能量，出口转，水流获得能量，出口2-22-2断面的压断面的压 强增高。强增高。p p2 2pp1 1 。 1.1.有能量输入有能量输入： 21 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 22 wm h g V p zH g V p z 为水泵的扬程。泵所获得的机械能，称为单位重量液体流经水式中： m H 2.2.有能量输出有能量输出： 这时的伯努利方程为：这时的伯努利方程为： 21 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 22 w h g V p zH g V p z 。则：，且忽略，若 pp Hh g V g V zz mw 12 21 2 2 2 1 21

35、22 21 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 22 wm h g V p zH g V p z 水轮机的工作水头。水轮机的机械能，称为为单位重量液体传递给式中：H 作业：P107，第9题、第12题。 四四. .总流总流伯努利方程的应用举例：伯努利方程的应用举例： u1.1.定断面：应将计算断面取在已知条件较多的均匀流或定断面：应将计算断面取在已知条件较多的均匀流或渐变渐变 流流断面上，并使断面上，并使伯努利方程包含所要求解的未知数。伯努利方程包含所要求解的未知数。 u2.2.过流断面上计算点的取定：原则上计算点可在过流断面上计算点的取定：原则上计算点可在均匀流或均匀流或渐渐 变流断面上任

36、取。但为了方便，管流的计算点应取在管轴中变流断面上任取。但为了方便，管流的计算点应取在管轴中 心处；明渠流的计算点则应取在自由表面上。心处；明渠流的计算点则应取在自由表面上。 u3.3.定基准面：两定基准面：两过流断面必须选取同一过流断面必须选取同一基准面基准面，常使，常使ZZ0 0。 u4.4.方程中的动压强方程中的动压强p p1 1和和p p2 2既可为绝对压强，也可为相对压强。既可为绝对压强，也可为相对压强。 但但p p1 1和和p p2 2必须同为绝对压强或同为相对压强。必须同为绝对压强或同为相对压强。 u5.5.分析和考虑两过流断面间的能量损失分析和考虑两过流断面间的能量损失h hw

37、1-2 w1-2。 。 在应用总流在应用总流伯努利方程解题时应注意以下几点伯努利方程解题时应注意以下几点： 例例3.3.求小孔出流的流量：求小孔出流的流量： 如图，对断面如图，对断面0-00-0和断和断 面面1-11-1列伯努利方程，不计列伯努利方程，不计 能量损失，有：能量损失，有： 上式中：上式中：A A为小孔的面积，为小孔的面积， A A为为1-11-1断面的面积。断面的面积。 g V p z g V p z a 22 2 11 1 2 000 0 ghzzgV22 101 ghAAVQ2 1 解：解： 例例4.4.用用文丘里流量计测定管道中的流量：文丘里流量计测定管道中的流量： g V

38、 p z g V p z 22 2 222 2 2 111 1 p z p z A A g V 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 故： 2211 AVAV由于： 34422311 zzzzpzzp又 解：如图，在解：如图，在1-11-1及及2-22-2断面断面 列伯努利方程，不计能量列伯努利方程，不计能量 损失有：损失有： ：考虑能量损失及其它因素所加的系数。：考虑能量损失及其它因素所加的系数。 1 1。 2 12 2 1 21 AA hg V h A A g V 11 2 2 1 2 2 2 2 22 AVQ 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 p z p z A

39、A g V 又 34 2 234 2 2 1 1 11zz p zzz p z p z g u p z g u p z 22 2 22 2 2 11 1 h p p g u 12 2 1 2 hgu2 1 例例5.5.用皮托管测流速：用皮托管测流速： 例例6 6：水泵抽水：水泵抽水, ,已知已知: :Q=8.5Q=8.51010-3 -3m m3 3/s, h=6.3m, /s, h=6.3m, h hW W=0.9m(=0.9m(水柱水柱) )。求：水泵的有效功率。求：水泵的有效功率P=P=？ （书上（书上P80P808181例例3-13-10 0） 解：对解：对1111和和2222断面列断

40、面列 伯努利方程，有：伯努利方程，有： 水泵的有效功率：水泵的有效功率： wm h g V p zH g V p z 22 2 222 2 2 111 1 wwm hhhzzH 12 WhhQQHP wm 600)( 0 . 1 21 取： 例例7 7：输气管入口，已知：输气管入口，已知：=1000kg/m=1000kg/m3 3， =1.25kg/m=1.25kg/m3 3，d=0.4md=0.4m，h=30mmh=30mm。求：求：Q=?Q=? （书上（书上P81P818282例例3-113-11） 解：对解：对0000和和1111断面列伯努利方程，断面列伯努利方程， 不计损失，有：不计损

41、失，有： g V p z p z a 2 2 111 10 a phpzz 1101 , 0 . 1又因为： smgh gh V/784.2122 1 sm d VQ/737. 2 4 3 2 1 例例8 8：有一虹吸管，已知：有一虹吸管，已知：d=0.1m, hd=0.1m, hWAC WAC=2.12m =2.12m，h hWCB WCB=3.51m, =3.51m, h=6.2mh=6.2m，H=4.85mH=4.85m。求：求：Q = ? pQ = ? pa a p pc c= ?= ? （书上（书上P83P83 8484例例3-143-14） 解：解：1).1).对水池液面和管道出口

42、对水池液面和管道出口 断面列伯努利方程，有断面列伯努利方程，有： wACB aa h g V p p h 2 2 smhhgV wACB /344. 3)(2 。smVAQ/02626. 0 3 2).2).对水池液面和管道对水池液面和管道C C断面断面 列伯努利方程，有列伯努利方程，有： Papp ca 73946 wAC ca h g V p H p 2 2 mh g V H pp wAC ca 54. 7 2 2 3-7 3-7 动量方程及其应用动量方程及其应用 一一. .总流动量方程的推导：总流动量方程的推导： 质点的动量方程：质点的动量方程： 质点系（质点系（系统）系统）的动量方程：

43、的动量方程： 在在3-23-2中知：中知：对于任一物理量对于任一物理量，有：，有： A ndA vd t d dt d F dt Vmd FVm dt d FdV dt d 即： A ndA vd t d dt d V这里，令： A dAnpdfF力影响，有：对于控制体，不计粘性 AA n dAnpdfdAvVdt t V )( 故： 对于恒定总流，有：对于恒定总流，有： FdAnpdfdAvV AA n FdV dt d 对于如图所示的不可压缩液体的恒定总流，有：对于如图所示的不可压缩液体的恒定总流，有： )(度为过流断面上的平均速VVQVudAudQ AA FdQudQu QQ 12 或：

44、 FdAuudAuu AA 111222 12 2211 dAudAudQ这里： 两两断面断面1111和和2222为均匀流断面或为均匀流断面或渐变流渐变流断面断面。 FdAnpdfdAvV AA n FQVQV 流入流出 ：动量方程不可压液体恒定总流的 )()( 在求解实际问题时，在求解实际问题时， 一般采用直角坐标系一般采用直角坐标系 中的投影形式：中的投影形式： zzz yyy xxx VQVQF VQVQF VQVQF 流入流出 流入流出 流入流出 )()( )()( )()( 注意：动量方程中的外力：注意：动量方程中的外力： 包括质量力包括质量力( (重力重力) )和表面力。和表面力。

45、 。常取。工程计算中时： 均匀（紊流）。过流断面上的流速较断面上的流速分布有关 ，它与过流称为动量修正系数 0 . 1,501. 1 11 2 dA V u A dQ V u Q AA 二二. .总流动量方程的应用总流动量方程的应用举例：举例： u1.1.解题关键解题关键正确地选取控制体。通常将控制面的一部分取正确地选取控制体。通常将控制面的一部分取 在运动液体与固体的交界面（或液体与气体的分界面）上，另在运动液体与固体的交界面（或液体与气体的分界面）上，另 一部分取在渐变流断面上，并使控制面封闭。一部分取在渐变流断面上，并使控制面封闭。 u2.2.解题步骤：解题步骤： u1 1）. .先利用

46、连续性方程、伯努利方程等求出一些相关参数。先利用连续性方程、伯努利方程等求出一些相关参数。 u2 2）. .选取渐变流断面，确定控制体；并建立直角坐标系。选取渐变流断面，确定控制体；并建立直角坐标系。 u3 3）. .分析作用在控制体内液体上的所有外力及渐变流断面上的分析作用在控制体内液体上的所有外力及渐变流断面上的 流速流速V V；确定力和速度的方向，并将其在坐标轴上投影。确定力和速度的方向，并将其在坐标轴上投影。 u4 4）. .列动量方程，并求解之。列动量方程，并求解之。 一般，动量方程用于求解液体作用在固体壁面上的力。一般，动量方程用于求解液体作用在固体壁面上的力。 确定射流对平板的冲

47、击力（确定射流对平板的冲击力（1 1）： u平板受力分析：平板受力分析： u左边受动水压强左边受动水压强p，右边受大气压强右边受大气压强pa。 。 u平板受到的射流的作用力平板受到的射流的作用力T由相对压强由相对压强 所引起所引起。 平板对射流的反作用力为平板对射流的反作用力为F，有：有： F与与T大小相等，方向相反。大小相等，方向相反。 0 0QVF 0 QVF 确定射流对平板的冲击力（确定射流对平板的冲击力（2 2）：）： 平板为光滑平板，不计水头损失：平板为光滑平板，不计水头损失： 如图，有：如图，有： g V p Z g V p Z aa 22 2 1 1 2 0 0 2010 VVV

48、V；同理故： cos)(0 002211 VQVQVQ 210 QQQ 0201 2 cos1 2 cos1 QQQQ ； VQFsin)(0 00 又：VQFsin 00 即： 例例9 9：矩形断面水渠中有一平板闸门。水渠和闸门的宽度：矩形断面水渠中有一平板闸门。水渠和闸门的宽度 B=3.4mB=3.4m。闸门上、下游水深分别为闸门上、下游水深分别为h h1 1=2.5m, h=2.5m, h2 2=0.8m=0.8m。 求求: :固定闸门应该施加的水平力固定闸门应该施加的水平力F F。 （书上（书上P91P91例例3-163-16） 解：解：对对1-11-1及及2-22-2断面列伯努利方程，不计水头损失，有：断面列伯努利方程，不计水