213实际问题与一元二次方程（第三课时）

1、复习：复习：列方程解应用题有哪些步骤列方程解应用题有哪些步骤 对于这些步骤，应通过解各种类型的对于这些步骤，应通过解各种类型的 问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解 应用题。应用题。 上一节，我们学习了解决上一节，我们学习了解决“平均平均 增长增长(下降下降)率问题率问题”，现在，我们要学，现在，我们要学 习解决习解决“面积、体积问题面积、体积问题。 21.3实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程 面积问题面积问题 一、复习引入一、复习引入 1直角三角形的面积公式是什么？直角三角形的面积公式是什么？ 一般三角形的面积公式是什么呢？一般三角形的面积公式是

2、什么呢？ 2正方形的面积公式是什么呢？正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？长方形的面积公式又是什么？ 3梯形的面积公式是什么？梯形的面积公式是什么？ 4菱形的面积公式是什么？菱形的面积公式是什么？ 5平行四边形的面积公式是什么？平行四边形的面积公式是什么？ 6圆的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？ 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果如果 要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之 一一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左

3、、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设应如何设 计四周边衬的宽度计四周边衬的宽度? 27 21 分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,依题知正中依题知正中 央的矩形两边之比也为央的矩形两边之比也为9:7 解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm 依题意得依题意得 2127 4 3 79 xx 解得解得 2 33 1 x),( 2 33 2 舍去不合题意x 故上下边衬的宽度为故上下边衬的宽度为: 左右边衬的宽度为左右边衬的宽度为: 8 . 1 4 32754 2 2 33 927 2 927 x 4 . 1 4 32142 2 2 33 72

4、1 2 721 x 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果如果 要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之 一一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设应如何设 计四周边衬的宽度计四周边衬的宽度? 27 21 分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,正中央的正中央的 矩形两边之比也为矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边由此判断上下边 衬与左右边衬的宽度之比也为衬与左右边衬的宽度之比也为9:7 解法

5、二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为，左右边衬宽为7xcm 依题意得依题意得 2127 4 3 )1421)(1827(xx 解方程得解方程得 4 336 x (以下同学们自己完成以下同学们自己完成) 方程的哪个根合方程的哪个根合 乎实际意义乎实际意义? 为什么为什么? 1 1、用、用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2 的矩形的矩形, ,若能够若能够, ,求它的长与宽求它的长与宽; ;若不能若不能, ,请说明请说明 理由理由. . 解解:设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcm,则宽为则宽为 cm, ) 2 20 (x

6、30) 2 20 ( xx即即 x2-10 x+30=0 这里这里a=1,b=10,c=30, 0203014)10(4 2 2 ac b 此方程无解此方程无解. 用用20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形的矩形. 例例2 2：某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米, 宽宽20米的长方形场地上修筑若干条道路米的长方形场地上修筑若干条道路,余余 下部分作草坪下部分作草坪,并请全校同学参与设计并请全校同学参与设计,现在现在 有两位学生各设计了一种方案有两位学生各设计了一种方案(如图如图),根据两根据两 种设计方案各列出方程种设计方案各列出方

7、程,求图中道路的宽分求图中道路的宽分 别是多少别是多少?使图使图(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540540米米2 2. . (1)(2) (1) 解解:(1):(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为 x米，则米，则 540)220)(232(xx 化简得，化简得， 02526 2 x x 0) 1)(25(xx 1,25 21 xx 其中的其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去. 图图(1)中道路的宽为中道路的宽为1米米. 则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ， 分析：此题的相等关系分析：此题的相等关系 是矩形面积减去道路面是矩形面积减去道路面 积等于积

8、等于540540米米2 2。 解法一、解法一、 如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米， 32x 32x 米米2 2 纵向的路面面积为纵向的路面面积为 。 20 x 20 x 米米2 2 注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x x2 2 米米2 2 所列的方程是不是所列的方程是不是32 20(3220 )540 xx ？ 图中的道路面积不是图中的道路面积不是 3220 xx米米2 2。 (2) 而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是 2 3220 xxx米米2 所以正确的方程是：所以正确的方程是： 2 32 203220540 xxx 化简

9、得，化简得， 2 521000,xx 其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去. . 取取x=2x=2时，道路总面积为：时，道路总面积为： 2 32 2 20 2 2 =100 (米米2) 草坪面积草坪面积= =32 20 100= 540（米（米2） 答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米。米。 12 2,50 xx 解法二：解法二： 我们利用我们利用“图形经过移动，图形经过移动， 它的面积大小不会改变它的面积大小不会改变”的道理，的道理， 把纵、横两条路移动一下，使列把纵、横两条路移动一下，使列 方程容易些（目的是求出路面的方程容易些（

10、目的是求出路面的 宽，至于实际施工，仍可按原图宽，至于实际施工，仍可按原图 的位置修路）的位置修路） (2)(2) 横向路面横向路面 ， 如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米， 32x32x米米2 2 纵向路面面积为纵向路面面积为 。20 x20 x米米2 2 草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为 ， 草坪矩形的宽（纵向）草坪矩形的宽（纵向） 。 相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2 (20-x)(20-x)米米 （32-x)32-x)米米 即即 3220540.xx 化简得：化简得： 2 12 521000,50,2xxxx 再往下的计算、格

11、式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1 1相同。相同。 1.如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑要修筑 同样宽的三条道路同样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂且互相垂 直直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验要使试验 地的面积为地的面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米? 解解: :设道路宽为设道路宽为x x米，米，则则 570)220)(232(xx 化简得，化简得，03536 2 x x 0) 1)(35(xx 1,35 21 xx 其中的其中的 x=35超出了原矩

12、形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去. 答答:道路的宽为道路的宽为1米米. 2.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外四周外 围环绕着宽度相等的小路围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为 246m2,求小路的宽度求小路的宽度. A BC D 解解: :设小路宽为设小路宽为x x米，米，则则 2015246)215)(220(xx 化简得，化简得，012335 2 2 x x 0)412)(3(xx 2 41 ,(3 21 xx 舍去） 答答:小路的宽为小路的宽为3米米. 1.如图，用长为如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠的篱笆（虚线部分

13、），两面靠 墙围成矩形的苗圃墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为要围成苗圃的面积为81m2,应该应该 怎么设计怎么设计? 解解:设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xm, 则则 81)18( xx 化简得，化简得， 08118 2 x x 0)9( 2 x 答答:应围成一个边长为应围成一个边长为9米的正方形米的正方形. 9 21 xx 例例4某林场计划修一条长某林场计划修一条长750m，断面为，断面为 等腰梯形的渠道，断面面积为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2， 上上 口宽比渠深多口宽比渠深多2m，渠底比渠深多，渠底比渠深多0.4m （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？）渠道的上口宽与渠底宽各

14、是多少？ （2）如果计划每天挖土）如果计划每天挖土48m3，需要多，需要多 少天才能把这条渠道挖完？少天才能把这条渠道挖完？ 分析：分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨因为渠深最小，为了便于计算，不妨 设渠深为设渠深为xm，则上口宽为，则上口宽为x+2， 渠底为渠底为 x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建，那么，根据梯形的面积公式便可建 模模 解：（解：（1）设渠深为）设渠深为xm 则渠底为（则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（，上口宽为（x+2）m 依题意，得：依题意，得： 6 . 1)4 . 02( 2 1 xxx 整理，得：整理，得：5x2+6x-8=0 解得：解得：x1=0.8

15、m，x2=-2（不合题意（不合题意,舍去）舍去） 上口宽为上口宽为2.8m，渠底为，渠底为1.2m （天）25 48 7501.6 (2) 答：渠道的上口宽与渠底深各是答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和和1.2m； 需要需要25天才能挖完渠道天才能挖完渠道 1如图，是长方形鸡场平面示意图，一边如图，是长方形鸡场平面示意图，一边 靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总 长为长为35m，所围的面积为，所围的面积为150m2，则此长方，则此长方 形鸡场的长、宽分别为形鸡场的长、宽分别为_ 2 2、围绕长方形公园的栅栏、围绕长方形公园的栅栏 长长280m.280m.已知该公园的面积已知该公园的面积 为为4800m4800m2 2. .求