第23讲 拉普拉斯反变换的方法

1、第4章 连续系统的S域分析 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是傅里叶变换的是傅里叶变换的广义形式广义形式， 通过拉普拉斯变换将通过拉普拉斯变换将微分方程微分方程转换为转换为代数方程代数方程， 同时将起始状态和输入信号一起考虑，一举求得全响应。同时将起始状态和输入信号一起考虑，一举求得全响应。 通过拉普拉斯变换引入通过拉普拉斯变换引入S域系统函数域系统函数，其零极点联系了系统，其零极点联系了系统 的时域和频域特性，并可直观判断系统的稳定性。的时域和频域特性，并可直观判断系统的稳定性。 第4章 连续系统的S域分析 本章导读：本章导读： 首先，介绍拉普拉斯变换的首先，介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换定义

2、、性质和反变换方法。方法。 然后，介绍拉氏变换分析然后，介绍拉氏变换分析LTI系统的两种方法：系统的两种方法： 已知已知微分方程微分方程的的S域求解域求解 已知已知电路电路的的S域系统模型求解。域系统模型求解。 最后，给出最后，给出S域系统函数域系统函数的定义，通过系统函数的零极点分布来的定义，通过系统函数的零极点分布来 分析系统的稳定性分析系统的稳定性。 第4章 主要内容 n4.1 4.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 n4.2 4.2 单边拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的性质 n4.3 4.3 拉普拉斯反变换的方法拉普拉斯反变换的方法 n4.4 4.4 连续系统的连续系统的S

3、S域分析方法域分析方法 n4.5 4.5 S域系统函数及应用域系统函数及应用 n拉普拉斯反变换的方法拉普拉斯反变换的方法 第第 23 讲讲 j j 1 ( )( )d 0 2 j s t f tF s est 拉普拉斯反变换方法 直接利用定义直接利用定义求反变换求反变换-复变函数积分，比较困难。复变函数积分，比较困难。 通常的方法通常的方法: （1）查表法）查表法 （2）利用性质）利用性质 （3）部分分式展开）部分分式展开 01 1 1 01 1 1 . . )( )( )( asasas bsbsbsb sD sN sF n n n m m m m 若象函数若象函数 F(s) 是是 s 的有

4、理分式：的有理分式： 若若mn，可用多项式除法将象函数，可用多项式除法将象函数F(s)分解为分解为有理多项式有理多项式 P(s)与与有理真分式有理真分式之和。之和。 )( )( )()( sA sB sPsF 23 911 52 2 ss s s 例如：例如： 23 12 )( 2 23 ss ss sF )( )(1 ts nn L L 而而)(1 1 t L L 故多项式故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数构成。的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数构成。 式中 1. D( s ) = 0的根均为单实根 i )()( ii ss sFssk ( i = 1，2，n ) n

5、2 2 1 1 )( ss K ss K ss K sF n 则 tststs KKKtf n21 eee)( n21 例例 设 ，求f ( t )。 )2)(1( )( ss s sF 解解 11)2)(1( )( 21 s K s K ss s sF 其中 1)()1( 1 1 s sFsK 2)()2( 2 2 s sFsK 所以 1 2 1 1 )( ss sF 则 tt tf 2 e2e)( 2 2. D( s ) = 0有共轭复根 jj )( 21 s K s K sF 利用上法，得系数 )cos(e2)( 11 tKtf t 设 j,j 21 ss 则 11 j 12 j 11

6、e,e KKKK 例例 设 ，求f ( t )。 22 2 )( 2 ss s sF 解解 ) j1() j1( )( 21 s K s K sF 其中 45j 1 2 2 2 1 j 2 1 eK 所以 45j 2 2 2 2 1 j 2 1 eK 0, )45cos(e2 ee)( 21 21 tt KKtf t tsts 3. D( s ) = 0含有重根 m 1) ( )( )( ss sN sF 1 1m 1m 1 12 m 1 11 )()( )( ss K ss K ss K sF 其中 设 则 1 )()( d d )!1( 1 m 1 1n 1n 1n ss sFss sn

7、k ( n = 1，2，m ) 例例 设 ，求f ( t )。 2 )1( 3 )( s s sF 解解 1)1( )( 12 2 11 s K s K sF 其中 2)()1( 1 2 11 s sFsK 1)3( d d 1 12 s s s K 则 0,ee2)( tttf tt 则：则：时时阶重根阶重根的根含有的根含有,m0)()2( 1 psD n n i i ps k ps k . 1 )( d d )!( 1 : 1 )( )( 1 ps m im im i pssF sim k 其其中中 则：则：，个单根个单根的根为的根为,.0)()1( 1ni pppnsD n n i i

8、ps k ps k ps k sF .)( 1 1 i ps ii pssFk )(:其其中中 我们主要讨论象函数为我们主要讨论象函数为有理真分式有理真分式的情形的情形 （mn）。）。 部分分式展开法部分分式展开法 ）（）（）（ 1 11 1 1 )1(1 1 1 . ps k ps k ps k m m m m )(sF 时：时：共轭复根共轭复根的根含有的根含有 j0)()3( ssD )j)(j( )( )( ss sB sF jj 21 s k s k 1 j ( ) (j) ( ) s B s ks A s j ( ) 2 j s B s 2 j ( ) (j) ( ) s B s k

9、s A s j ( ) 2 j s B s * 121 jjkABkkAB， jj )( 211 s k s k tfL L (j)(j) 12 j*j 11 ( ) ()( ) tt ttt k ek et ek ek et 2(cossin) ( ) t eAtBtt ? 6116 332 )( 23 2 sss ss sF )3)(2)(1( 332 )( 2 sss ss sF 321 321 s k s k s k 3 6 2 5 1 1 )( sss sF 23 ( )(56)( ) ttt f teeet 例例1: s te t 1 )(根根据据 【解解】 1 k 1 2 )1(

10、 )3)(2)(1( 332 s s sss ss 1 2 k 2 2 )3)(1( 332 s ss ss 5 6 3 k 例例2： 52 3 )( 2 ss s sF 3 ( ) 12 j12 j s Fs ss 【解解】 12 12 j12 j kk ss 1 12 j 3 12 j s s k s 1j 2 2 12 j 3 12 j s s k s 1j 2 1 j1 j(1 2j)(1 2j) 22 ( ) ( ) tt f teet )(2sin2costtte t 例例3： 3 )1)(2( 3 )( ss s sF 2 1 1 1 )1( 1 )1( 2 23 ssss )()( 22 teeteettf tttt 1 )( 1 n s )( ! te n t t n 【解解】 21)1()1( )( 211 2 12 3 13 s k s k s k s k sF 1 1 n s )( ! t n t n 所以：所以： 例例4： sss s sF 44 2 )( 23 4 【解解】 2 2 )2( 21612 4)( ss s