2112一元二次方程的概念（1） (2)

1、 ? 问题问题(1) (1) 有一块矩形铁皮有一块矩形铁皮, ,长长100100, ,宽宽5050, ,在在 它的四角各切去一个正方形它的四角各切去一个正方形, ,然后将四周突出部然后将四周突出部 分折起分折起, ,就能制作一个无盖方盒就能制作一个无盖方盒, ,如果要制作的方如果要制作的方 盒的底面积为盒的底面积为36003600平方厘米平方厘米, ,那么铁皮各角应切那么铁皮各角应切 去多大的正方形去多大的正方形? ? 100100 5050 x x 36003600 分析分析: 设切去的正方形的边长为设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为则盒底的长为 ,宽宽 为为 . 3600)250

2、)(2100(xx (100-2x)cm (50-2x)cm 根据方盒的底面积为根据方盒的底面积为3600cm2, 得得 035075 2 x x 即即 ? 问题问题(2) (2) 要组织一次排球邀请赛要组织一次排球邀请赛, ,参赛的每两队参赛的每两队 之间都要比赛一场之间都要比赛一场, ,根据场地和时间等条件根据场地和时间等条件, ,赛程赛程 计划安排计划安排7 7天天, ,每天安排每天安排4 4场比赛场比赛, ,比赛组织者应邀比赛组织者应邀 请多少个队参加比赛请多少个队参加比赛? ? 分析分析:全部比赛共全部比赛共 47=28场场 设应邀请设应邀请x个队参赛个队参赛,每个队要与其他每个队要

3、与其他 个队个队 各赛各赛1场场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛 是同一场比赛是同一场比赛,所以全部比赛共所以全部比赛共 场场. 28) 1( 2 1 xx (x-1) 56 2 x x 即即 一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的 长为长为m，宽为，宽为m如果地毯中央长方形图案的面如果地毯中央长方形图案的面 积为积为m2 ，则花边多宽，则花边多宽? 你怎么解决这个问题？ 解：如果设花边的宽为解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案那么地毯中央长方形图案 的长为的长为 m,宽为宽为 m,

4、根据题意根据题意,可得方程：可得方程： （82x）（52x） (8 2x) (5 2x) = 18. 5 x x x x （82x） （52x） 8 18m2 数学化 x 8m 1 10m 7m 6m 解：由勾股定理可知，滑动前梯解：由勾股定理可知，滑动前梯 子底端距墙子底端距墙m 如果设梯子底端滑动如果设梯子底端滑动X m，那么滑，那么滑 动后梯子底端距墙动后梯子底端距墙m 根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： 72(X6)2102 6 X6 如图，一个长为如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂 直距离为直距离为8m如果梯子的顶端

5、下滑如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多，那么梯子的底端滑动多 少米？少米？ 10m 数学化 由上面四个问题，我们可以得到四个方程：由上面四个问题，我们可以得到四个方程： (8-2x)(5-2x)=18;即 2x2 13x 11 = 0 . (x)22102 即 x2 12 x 15 0. 上述四个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方上述四个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方 程和分式方程有什么区别？程和分式方程有什么区别？ 特点特点: 都是整式方程都是整式方程; 只含一个未知数只含一个未知数; 未知数的最高次数是未知数的最高次数是2. 035075 2 x x

6、即： 56 2 x x即： 3600)250)(2100(xx 28) 1( 2 1 xx 1、上面四个方程整理后含有 _未知数,它们的最高次数 是 _ ,等号两边是 _ 式。 2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？ 请定义。 一个一个 2整整 一元二次方程的概念一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程。 都是都是整式整式方程方程; ; 只含只含一一个未知数个未知数; ; 未知数的最高次数是未知数的最高次数是2.2. 即：一元二次方程即：一元二次方程的共同特点的共同特点: 一元二次方程的一般形式一元

7、二次方程的一般形式 2 0axbx c 2 0axbx c 为什么要限制为什么要限制 想一想想一想 a x 2 + b x + c = 0 (a 0) 二次项系数二次项系数 一次项系数一次项系数 常数项常数项 例例1 1： 2 12 (4)0 xx (1)x2+x =36(2) x3+ x2=36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0 6 3 )6( 2 x 22 )32(14)7(xx 062)(8( 2 xx 下列方程哪些是一元二次方程下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？为什么？ (2)2x25xy6y0 (5)x22x31x2 (1)7x26x0 解解: (1)、 (4) (3)2

8、x2 1 0 1 3x (4) 0 y2 2 练习巩固练习巩固 1.关于关于x的方程的方程(k3)x2 2x10, 当当k时，是一元二次方程时，是一元二次方程 2.关于关于x的方程的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20, 当当k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程 当当k 时，是一元一次方程时，是一元一次方程 3 1 1 3.m为何值时，方程（m-1）xm2+1+3x+2=0 是关于x的一元二次方程？ 4.若关于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化 成一般形式后为4x2-2x-1=0，求m、n的值。 练习巩固练习巩固 例例2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它

9、的二次把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次 项系数、一次项系数和常数项：项系数、一次项系数和常数项： 方程 一般形式二次项 系数 一次项 系数 常数项 3x2=5x-1 (x+2)(x -1)=6 4-7x2=0 3x25x10 x2 x80 或或7x2 0 x40 35 1 11 8 70 4 35 1 118 70 4 或7x2 40 70 4 7x2 40 一元二次方程二次项 系数 一次项 系数 常数项 4 2x2+x+4=02 1 -4y2+2y=0 -420 3x2-x-1=0 3-1-1 抢答：抢答： 4x2-5=0 4 0 -5 m-31-m-m(m-3)x2-(m-

10、1)x-m=0(m3) 3 -8-10 解：设竹竿的长解：设竹竿的长 为为x尺尺,则门的宽则门的宽 度为度为 尺尺,长长 为为 尺尺,依题依题 意得方程：意得方程： 例例3.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不 去，横着比门框宽去，横着比门框宽尺尺，竖着比门框高，竖着比门框高尺尺，另一个醉汉教他，另一个醉汉教他 沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进 去了你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程去了你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程 (x4)2 (x 2)

11、2 x2 即x212 x 20 0 4尺尺 2尺尺 x x4 x2 数学化(x4) (x2) 1.根据题意，列出方程：根据题意，列出方程： （）有一面积为（）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短的长方形，将它的一边剪短5m，另一边，另一边 剪短剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ 解：设正方形的边长为解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为，则原长方形的长为(x5) m,宽宽 为为(x2) m，依题意得方程：，依题意得方程： (x5) (x2) 54 即即 x2 7x44 0 2 5 x x X5 X2 54m2 练习巩固

12、练习巩固 2.三个连续整数两两相乘，再求和，结果为三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别，这三个数分别 是多少？是多少？ x (x1) x(x2) (x1) (x2) 242. x2 2x8 00. 即即 解：设第一个数为解：设第一个数为x，则另两个数分别为，则另两个数分别为x, x2，依题意得，依题意得 方程方程： 一元一次方程与一元二次一元一次方程与一元二次 方程有什么联系与区别？方程有什么联系与区别？ 一元一次方程一元二次方程 一般式 相同点 不同点 ax+b=0 (a0） ax2+bx+c=0 (a0） 整式方程，只含有一个未知数整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是未知数最高次数是1 未知数最高次数是未知数最高次数是2 ? 1.本节学习的数学知识是：本节学习的数学知识是： 2、学习的数学思想方法是、学习的数学思想方法是 3、如何理解一元二次方程的一般形式、如何理解一元二次方程的一般形式 2 0ax bx c （1） （2） （1） （2） 一元二次方程的概念一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 转化、建模思想。转化、建模思想。 (a0)(a0)是成为一元二次方程的必要条件是成为一元二次方程的必要条件 找一元二次方程的二次项、一次项找一元二次方程的二次项、一次项 系数及常数项要先化为一般式系数