第十三章扭转

1、1 上海工程技术大学机械学院工程力学部上海工程技术大学机械学院工程力学部 张婷张婷 2 131 扭转的概念扭转的概念 132 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图 133 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 134 圆轴扭转应力及强度计算圆轴扭转应力及强度计算 135 圆轴扭转变形及刚度计算圆轴扭转变形及刚度计算 136 矩形截面轴自由扭转简介矩形截面轴自由扭转简介 3 一、工程实例一、工程实例 1 1、螺丝刀杆工作时受扭、螺丝刀杆工作时受扭。 2 2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。 131 扭转的概念扭转的概念 F F m 3 3、机器中的传动轴工作时受扭。

2、、机器中的传动轴工作时受扭。 m m 4 5 一、扭矩的概念一、扭矩的概念 受力特点：受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且作杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且作 用面垂直杆的轴线。用面垂直杆的轴线。 变形特点：变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 A mB m 轴轴 轴：主要发生扭转变形的杆。轴：主要发生扭转变形的杆。 m m 二、外力：二、外力：m m （外力偶矩）（外力偶矩） 132 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图 6 2.2.已知已知: :功率功率 P P马力马力(Ps)(Ps)，转速，转速 n n转分转分(r(rm

3、inmin；rpm) )。 外力偶矩：外力偶矩： m)(N7024 n P M 1.1.已知：功率已知：功率 P P千瓦千瓦(KW(KW），转速），转速 n n转分转分(r(rminmin； rpm) )。 外力偶矩：外力偶矩：m)(N9549 n P M 三、内力三、内力( (扭矩扭矩) )： （截面法）（截面法） 7 四、内力四、内力( (扭矩扭矩) )： T M M . 0, 0 MTM x T 1.内力的大小内力的大小: :（截面法）（截面法） x M M MT T x 取右段为研究对象：取右段为研究对象： 0, 0 TMM x MT 扭矩扭矩T 取左段：取左段： 8 2 2、内力的符

4、号规定内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断以变形为依据，按右手螺旋法则判断。 右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。 T + T - 9 4 4、扭矩图：表示轴各横截面扭矩沿轴线变化的图形、扭矩图：表示轴各横截面扭矩沿轴线变化的图形。 作法：同轴力图：作法：同轴力图： 例例 已知：一传动轴，已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入，主动轮输入 P1=500kW，从，从 动轮输出动轮输出 P2=15

5、0kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。，试绘制扭矩图。 n A B C D M2 M3 M1 M4 截开面上设正值的扭矩方向。截开面上设正值的扭矩方向。 3 3、注意的问题、注意的问题 10 9549 1 1 n P M 4.78(kN.m) 300 150 95499549 2 32 n P MM 6.37(kN.m) 300 200 95499549 4 4 n P M 求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设） 解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩 n P M9549 例例 已知：一传动轴，已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入，主动轮输入 P1=50

6、0kW，从，从 动轮输出动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。，试绘制扭矩图。 300 500 9549 m)(N1015.9 3 11 n M2 M3 M1 M4 3 3 A B C D 1 1 2 2 T1 T2 T3 x 6.37 4.78 9.56 , 0 x M , 0, 0 34x TMM , 0 x M 绘制扭矩图绘制扭矩图 BC段为危险截面。段为危险截面。 M4 3 M 2 M 2 M 21 MT 1-1截面：截面： 2 - 2截面：截面： 322 MMT 3 - 3截面：截面： mkN37. 6T 43 M x x x mkN56. 9

7、 0 21 MT mkN78. 4 , 0 322 MMT T（kN.m） 12 n M2 M3 M1 M4 3 3 A B C D 1 1 2 2 T1 T2 T3 x 6.37 4.78 9.56 , 0 x M , 0, 0 34x TMM , 0 x M 绘制扭矩图绘制扭矩图 BC段为危险截面。段为危险截面。 M4 3 M 2 M 2 M 21 MT 1-1截面：截面： 2 - 2截面：截面： 322 MMT 3 - 3截面：截面： mkN37. 6T 43 M x x x mkN56. 9 0 21 MT mkN78. 4 , 0 322 MMT T（kN.m） 13 实验实验变形规

8、律变形规律应力的分布规律应力的分布规律应力的计算公式。应力的计算公式。 1 1、实验：、实验： 13133 3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 一、一、薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒横截面上的应力( (壁厚壁厚 0 10 1 rt ,r0：为平均半径） 14 实验实验变形规律变形规律应力的分布规律应力的分布规律应力的计算公式。应力的计算公式。 1 1、实验：、实验： 受力前：受力前： 受力后：受力后： 15 认为剪应力沿壁厚均匀认为剪应力沿壁厚均匀 分布分布, ,而且方向垂直于其半径方向。而且方向垂直于其半径方向。 2 2、变形规律：、变形规律： 圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕

9、轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。了一个不同的角度。 纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 3 3、剪应变（角应变）、剪应变（角应变）：直角角度的改变量。直角角度的改变量。 4 4、定性分析横截面上的应力、定性分析横截面上的应力 , 0（1 1） 00（2 2） 因为圆周上剪应变相同，所以剪应力沿圆周均匀分布因为圆周上剪应变相同，所以剪应力沿圆周均匀分布。 （3 3） 0 ,Dt D t 16 5 5、剪应力的计算公式：、剪应力的计算公式： dA 0 rdA tr T 2 0 2 d 二、剪切虎克

10、定律二、剪切虎克定律 , p G )1 (2 E G 在弹性范围内剪应力在弹性范围内剪应力 与剪应变成正比关系。与剪应变成正比关系。 dA （dA）r0 。 A T 2 0 2 0 dtr 2 0 2rt drtdA 0 17 在相互垂直的两个面上，剪在相互垂直的两个面上，剪 应力总是成对出现的，并且大小应力总是成对出现的，并且大小 相等，相等，方向同时指向或同时背离方向同时指向或同时背离 两个面的交线。两个面的交线。 三、剪应力互等定理三、剪应力互等定理 a cd dx b dy t z 0 Z M dytdxdxtdy)()( 18 一、圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力

11、 几何关系：几何关系：由实验找出变形规律由实验找出变形规律应变的变化规律；应变的变化规律； 物理关系：物理关系：由应变的变化规律由应变的变化规律应力的分布规律；应力的分布规律； 静力关系静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式。应力的计算公式。 一）、几何关系一）、几何关系： 1 1、实验：、实验： 13134 4 圆轴扭转应力及强度计算圆轴扭转应力及强度计算 2 2、变形规律：、变形规律： 19 几何关系：几何关系：由实验找出变形规律由实验找出变形规律应变的变化规律；应变的变化规律； 物理关系：物理关系：由应变的变化规律由应变的变化规律应力的分布规律；

12、应力的分布规律； 静力关系静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式。应力的计算公式。 一）、几何关系一）、几何关系： 1 1、实验：、实验： 2 2、变形规律：、变形规律： 圆周线圆周线形状、大小、间距形状、大小、间距 不变，不变， 各圆周线只是绕轴线各圆周线只是绕轴线 转动了一个不同的角度。转动了一个不同的角度。 20 2 2、变形规律：、变形规律： 圆轴线圆轴线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。了一个不同的角度。 纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一

13、个角度，小方格变成了平行四边形。 3 3、平面假设、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大 小、间距不变，半径仍为直线。小、间距不变，半径仍为直线。 4 4、定性分析横截面上的应力、定性分析横截面上的应力 00 （1） 00 （2） 因为同一圆周上剪应变相同，所以同因为同一圆周上剪应变相同，所以同 一圆周上剪应力大小相等，并且方向一圆周上剪应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。垂直于其半径方向。 21 5 5、剪应变的变化规律、剪应变的变化规律： dx d dx Rd dx aa tan a a b b c tan dx bb 二）物

14、理关系：二）物理关系： 弹性范围内弹性范围内 P max G G dx d G 方向垂直于半径。方向垂直于半径。 xd d 22 应力分布应力分布 （实心截面）（实心截面）（空心截面）（空心截面） 23 三）静力关系：三）静力关系： A dA AT A d AI Ap d 2 令 x GI T p d d 代入物理关系式代入物理关系式 得：得： x G d d p I T 圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。 p GI T x d d dAdA dA A x G A d d d 2 A x G A d d d 2 O A 24 横截面上横截面上 ma

15、xmax P I T 抗扭截面模量，抗扭截面模量， 整个圆轴上整个圆轴上等直杆：等直杆： P W Tmax max 三、公式的使用条件：三、公式的使用条件： 1 1、等直的圆轴，、等直的圆轴， 2 2、弹性范围内工作。、弹性范围内工作。 I Ip p截面的极惯性矩，单位：截面的极惯性矩，单位： 二、圆轴中二、圆轴中max max的确定 的确定 44 , mmm ., 33 mmm单位单位： max p p I W p W R I T P P W T 25 四、四、 的确定的确定 ： 1 1、实心圆截面、实心圆截面 A P dAI 2 R I W P P 2 2、空心圆截面、空心圆截面 2 2

16、3 2 D dP dI )1 ( 16 1 5 . 0 43 D D I W P P D d D d O d D O d ,d 2 AI Ap pp WI , A d2 2 2 0 3 2 D d 4 32 1 DI p 2 D I W P P 3 16 1 D )1 ( 32 1 44 DI p )( 32 1 44 dD 4 32 1 DI p 3 16 1 D 26 例：例：ABAB段为实心轴，段为实心轴， ，BCBC为空心轴，内径为空心轴，内径 ， 外径外径 ，试计算轴内最大扭转切应力。，试计算轴内最大扭转切应力。 解：解：(1)(1)求内力求内力 0, 0 1 A x MTM 1 1

17、 max, 1 p W T mmd20 A mmdi15 mmdo25 B C A M B M C M A M A 1 T C C M 2 T ABAB： 0, 0 2 TMM C x BCBC： (2)(2)求应力求应力 mNT100 1 mNT 200 2 )1 ( 16 43 2 max, 2 D T 3 3 10 20 10016 7 .63 )6 . 01 (25 1020016 43 3 MPa9 .74 mNMM BA 100 MPa 3 1 16 d T 16 3 1 d T 27 1 1、强度条件：、强度条件： 2 2、强度计算：、强度计算： 1 1）校核强度）校核强度: :

18、 .)1 ( 16 , 16 4 3 3 空 实 D D WP 13.4.2 13.4.2 圆轴扭转强度圆轴扭转强度 P W Tmax max P W Tmax max P W max T 2 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸: : 3 3）确定外荷载）确定外荷载: : max T P W m 28 例例 功率为功率为150 150 kW，转速为，转速为15.4 15.4 转转/ /秒的电动机转子轴如图所秒的电动机转子轴如图所 示，许用剪应力示，许用剪应力 =30 =30 M Pa, Pa, 试校核其强度。试校核其强度。 n P MTBC9549 T 1.55 kN.m 解解：求扭矩及扭矩图求扭

19、矩及扭矩图 计算并校核剪应力强度计算并校核剪应力强度 D3 =135 D2=75 D1=70 AB C M M x p W T max 604 .15 150 9549 )(55. 1mkN 3 2 . 0 D T 3 6 702 . 0 1055. 1 MPa)(23 29 已知已知 求求： 解解： n P T9549 100 5 . 7 9549)(2 .716mN 1 max P W T 3 1 16 d T 1 d)(45 mm 3 3 40 102 .71616 求实心轴求实心轴 )(40MPa 30 求空心轴求空心轴 2 1 A A 空心轴与实心轴所用材料之比空心轴与实心轴所用材料

20、之比 )1 ( 22 2 2 1 D d 28. 1 2 max p W T 3 4 3 2 40)5 . 01 ( 102 .71616 D 31 一、变形：（相对扭转角）一、变形：（相对扭转角） P P GI T dx d dx d GIT 13135 5 圆轴扭转时的变形及刚度计算圆轴扭转时的变形及刚度计算 L P GI Tdx 单位：弧度（单位：弧度（radrad）。 GIGIP P抗扭刚度。抗扭刚度。 dx GI T d P p GI Tl p GI Tl P GI T L 单位长度的扭转角单位长度的扭转角， m rad 32 二、刚度条件：二、刚度条件： P GI Tmax max

21、 0 max max 180 P GI T m 0 三、刚度计算：三、刚度计算： 1 1、校核刚度、校核刚度； max max G T p I 3 3、确定外荷载、确定外荷载: : 2 2、设计截面尺寸、设计截面尺寸: : max T p GIm 33 例例 长长 L=2 m的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 mq= =20 Nm/m的作用，杆的内的作用，杆的内 外径之比为外径之比为 =0.8=0.8，G=80 =80 GPa，许用剪应力，许用剪应力 =30 =30 MPa，试设，试设 计杆的外径；若计杆的外径；若 =2=2/ /m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。，试校核此杆的刚度，并求右端

22、面转角。 解解：1.画扭矩图画扭矩图 xxmxT q 20)( )(40220 max mNT T x 40 1 16 D , 4 3 ）（ p W 2.2.设计杆的外径设计杆的外径 3 1 4 max 1 16 ）（ T D p W max T D 22.57 mm。 34 由强度条件，得：由强度条件，得：D 23. mm。 3. 3. 由扭转刚度条件校核刚度由扭转刚度条件校核刚度 180 max max P GI T )1 (1080 1804032 4429 D 4.4.右端面转角右端面转角为：为： L P dx GI xT 0 )( m/89. 1 L P q dx GI xm 0 P

23、 q GI Lm 2 2 弧度）( 033. 0 m/. 2 35 例例 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率，输入功率P1 = 500 马力，输出功率分别马力，输出功率分别P2 = 200马力及马力及P3 = 300马力，已知：马力，已知：G=80 GPa ， =70 M Pa， =1/m ，试确定：，试确定： AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2？ 若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？ 解解： 扭矩图扭矩图 500400 P1 P3P2 A C B T

24、 x 7024 4210 ).(7024 500 500 7024 11 mNmT ).(4210 500 300 7024 32 mNmT 1 1 2 2 36 16 3 1 Td Wp 由刚度条件得：由刚度条件得： 由强度条件：由强度条件： max max p W T 180 max max P GI T mm)(4 .74 1108014. 3 1018010421032 180 32 4 32 33 4 2 2 G T d 3 3 7014. 3 10702416 mm)(8095.79 1 d 3 16 T 3 3 7014. 3 10421016 2 d 3 16 T mm)(4

25、.67 32 4 d Ip 180 G T 4 332 3 101108014. 31 d 4 2 180 32 G T mm)(84 37 mm4 .74 ,mm84 21 dd综上：综上： 全轴选同一直径时全轴选同一直径时, mm84 1 dd 轴上的轴上的绝对值绝对值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1轮和轮和2轮应轮应 该该换换位。位。换位后换位后, ,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示, ,此时此时, ,轴的最大直径才轴的最大直径才 为为 7575mm。 T x 4210 (Nm) 2814 T x 7024 4210 原 38 13136 矩形截面自由扭转简介矩形截面自由扭转简介 一、非圆截面杆与圆截面杆的区别 圆杆扭转时圆杆扭转时