计量经济学课件04-异方差

1、 D(ui) f(xi) = i 2 2（常数）（常数） -2 0 2 4 6 8 10 12 050100150200 X Y 0 1 2 3 4 5 6 7 20406080100 120 140 160 180 200 Y 异方差情形异方差情形 同方差情形同方差情形 0 1 2 3 4 5 6 7 050100150200 X Y -3 -2 -1 0 1 2 3 050100150200 T Y 0 400 800 1200 1600 2000 4000 5000 6000 7000 8000 900010000 MEANIP DCP 单调递增型单调递增型 单调递减型单调递减型 复杂型

2、复杂型 1、模型中遗漏了某些解释变量、模型中遗漏了某些解释变量 2、模型函数形式的设定误差、模型函数形式的设定误差 例如：用线性模型替代了非线性模型等例如：用线性模型替代了非线性模型等 3、样本数据的测量误差、样本数据的测量误差 例如：随着时间推移，抽样技术等其他例如：随着时间推移，抽样技术等其他 搜集方法的改进，会使测量误差逐步减小。搜集方法的改进，会使测量误差逐步减小。 4、随机因素的影响、随机因素的影响 经验：截面数据中常存在异方差。时间序列经验：截面数据中常存在异方差。时间序列 中一般不会发生，除非时间跨度过大。中一般不会发生，除非时间跨度过大。 2. 2. 变量的显著性检验失去意义变

3、量的显著性检验失去意义 1. 1. 参数估计量非有效参数估计量非有效 3. 3. 模型的区间预测失效模型的区间预测失效 当当Var(ut) = t2，为异方差时（，为异方差时（ t2是一个随时间是一个随时间 或序数变化的量），回归参数估计量仍具有无或序数变化的量），回归参数估计量仍具有无 偏性和线性。偏性和线性。 但是但是不再具有不再具有有效性（最小方差性）有效性（最小方差性） 四、四、 图示方法初步判定异方差图示方法初步判定异方差 1、 利用利用y-x的散点图的散点图做初步判断做初步判断(有时看不出有时看不出) 2、 利用利用e2-x的散点图做初步判断的散点图做初步判断(相对准确相对准确)

4、3、 利用残差图做初步判断利用残差图做初步判断(如果为时间序列如果为时间序列 数据，判断相对可信，截面数据判断不准确数据，判断相对可信，截面数据判断不准确) (a)同方差，同方差，(b)-(e)为异方差为异方差 但凡不是但凡不是(a)情况，都表示有异方差情况，都表示有异方差 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3 4 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 ResidualActualFitted -150 -100 -50 0 50 100 -300 -200 -100 0 100 505560657075808590 Res

5、idualActualFitted 有异方差有异方差 同方差（无异方差）同方差（无异方差） -.012 -.008 -.004 .000 .004 .008 .08 .10 .12 .14 .16 12345678910 11 12 13 14 ResidualActualFitted -.6 -.4 -.2 .0 .2 .4 4 5 6 7 8 9 19551960196519701975198019851990 ResidualActualFitted 例例1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为: Yi=0+1Xi+i Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入。 高收入家庭：储

6、蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄更有规律性，差异较小 i的方差呈现单调递增型变化 一般情况下，居民收入服从正态分布一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入 组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均 数的误差小，人数少的组平均数的误差大。 所以所以样本观测值的观测误差观测误差随着解释变量观测值 的不同而不同，往往引起异方差性。 （2）将序列中间的）将序列中间的 c=n / 4个观测值去除，余下个观测值去除，余下 的的n-c个观测值自然分成容量相等的两个子样本个观测值自然分成容量相等的两个子样本,每每 个组的样本容量为个组的样本容量为(n-c)/2个。个。 0 1 2 3 4 5 6 7 05

7、0100150200 X Y Y n1 = n2 （3）用两个子样本分别估计回归直线，并计算残差平）用两个子样本分别估计回归直线，并计算残差平 方和。方和。 相对于相对于n2 和和n1 分别用分别用RSS2 和和RSS1表式。表式。 （4）构造）构造F统计量。在统计量。在H0成立条件下成立条件下 2 1 11 2 2 1 21 2 /(1) 11(,) /(1) Fn RSSn kF RSS n k nk k nn n n 其中和分别表示较大和较小的残差平方和 = 判别规则如下，判别规则如下， 若若 F F (n2- k-1, n1-k-1), 不拒绝不拒绝H0（ut 具有同方差）具有同方差）

8、 若若 F F (n2- k-1, n1-k-1), 拒绝拒绝H0（递增或递减型异方差）（递增或递减型异方差） 注意注意： 当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变 量为基准检验异方差（这种判断存在局限性）。量为基准检验异方差（这种判断存在局限性）。 此法只适用于递增型或递减型异方差。此法只适用于递增型或递减型异方差。 对于截面样本，计算对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数统计量之前，必须先把数 据按解释变量的值排序。据按解释变量的值排序。 检验结果与删除的数据个数有关检验结果与删除的数据个数有关 要求大样本要求大样本 由由H. White 1

9、980年提出。年提出。White检验不需要对观测值排序，也检验不需要对观测值排序，也 不要求必须是单调递增或递减异方差。不要求必须是单调递增或递减异方差。 以二元回归模型为例，以二元回归模型为例，White检验的具体步骤如下。检验的具体步骤如下。 H0：ut为同方差，为同方差， H1：ut存在异方差。存在异方差。 yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut （1 1）首先对上式进行首先对上式进行OLS回归，求残差回归，求残差ut 。 （2 2）做如下辅助回归式，做如下辅助回归式， = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + 3 xt12 + 4 xt22 + 5 xt1 xt2 +

10、 vt 求辅助回归式的可决系数求辅助回归式的可决系数R2。 注：上式中要保留常数项。注：上式中要保留常数项。 2 t u 交叉项交叉项 在同方差假设条件下，构造统计量在同方差假设条件下，构造统计量 nR 2 2(5) n表示样本容量，表示样本容量，R2是辅助回归式的是辅助回归式的OLS估计的可决系数。自估计的可决系数。自 由度由度5表示辅助回归式中解释变量项数（注意：不包括常数项，表示辅助回归式中解释变量项数（注意：不包括常数项， 如果是一元线性回归，则要查如果是一元线性回归，则要查 2(2) ）。）。 （4 4）判别规则是判别规则是 若若 nR 2 2 (5), 接受接受H0（ut 具有同方

11、差）具有同方差） 若若 n R 2 2 (5), 拒绝拒绝H0（ut 具有异方差）具有异方差） 注注:一元回归不包括交叉项（只有一元回归不包括交叉项（只有x和和x2两项），多元两项），多元 回归包括交叉项回归包括交叉项 软件输出怀特检验结果软件输出怀特检验结果 nR2检验的检验的P值大于值大于0.05，表明，表明没有没有异方差异方差 注：注：obs*R-squared表示表示nR2 nR2检验的检验的P值小于值小于0.05，表明，表明有有异方差异方差 察看怀特检验的察看怀特检验的P值值 可以直接判断是否存可以直接判断是否存 在异方差在异方差 检验异方差检验异方差 的怀特检验的怀特检验 1. 1

12、. 基本思想基本思想 用OLS得到残差，取得绝对值，然后将它与某解释变量回归， 根据回归模型的显著性和拟合优度来判断是否存在异方差 2. 2. 特点特点 p不仅能对异方差的存在进行判断，而且能对异方差随某个 解释变量变化的函数形式进行诊断。 p要求变量的观测值为大样本。 3. 3. 步骤步骤 p根据样本数据建立模型，并求残差序列ei p建立|ei|或ei2与Xji的函数，并用样本数据回归。 p判断：用回归得到的R2、t、F等信息判断，所建立的函数 形式是否显著。若残差项与某解释变量间的函数关系显著成 立，则说明原模型存在异方差。 2 01 01 01 01 01 01 1 2 1 2 1 1

13、11 2 t t t t t t t t t t h t t t t tt t t aav aav a xh xh xav e e h xaav aav aa e e e eh x v h x 戈里瑟提出的函数形式 01 2 2 222 12tptttpt 对多元线性回归模型，如果其随机扰动项的方差满足 称t服从q阶的ARCH过程，记作( ) t ARCH p p对多元线性回归模型，作回归，得到残差et。 p作辅助回归，得到R2。 p构造统计量， pH0： p若 拒绝H0，存在异方差。 步骤步骤 01 2222 122tttptt p eeee 22 )(pnp R 12 0 p 22 ( )

14、pnp R p变量的取值为大样本，并且是时间序列 p只能判断模型中是否存在异方差，而不能诊断出 哪个解释变量引起了异方差 ARCHARCH检验检验 的的 特点特点 六、异方差的修正六、异方差的修正 1、对解释变量和被解释变量作全对数模型估计、对解释变量和被解释变量作全对数模型估计 (只能部分的减弱异方差的程度只能部分的减弱异方差的程度) 2、加权最小二乘法、加权最小二乘法 （weighted least squares,WLS） 01 01 22 222 var() 1 ( ) ( ) ( )( )( ) 1 var()() v ( ) ( ) ( )( )( ) ar() i iii i i

15、i i i iiii i i i i i i i f x f x f xf x yx y f xf x f x f xf xf x x 如果一元中有异方差， 则有 将模型两边同除以 得 在这个模型中有 可见模型同乘以权数就将异方差修正为了同方差， 此时再用最小二乘法估计模型，就是加权最小二乘估计 2 2 2 2 1 , ( 1 , 1 ) ii i f ee e e x x x 以上对模型的加权中，就是权数， 总的思路是对较小的 给予充分的重视， 即给予较大的权数，对较大的 给予较小 的权数，但在实际操作中，可以直接选择 某个与异方差反向变动的的变量序列作为 权数，如， 11 等 模型变换法模

16、型变换法 加权最小二加权最小二 乘法乘法 Goldfeld-Quandt 检验检验 去掉中间去掉中间9个观测值。个观测值。 用第用第1个子样本回归：个子样本回归： ，RSS1=150867.9 用第用第2个子样本回归：个子样本回归： ，RSS2=958109.4 H0: ut 具有同方差，具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。具有递增型异方差。 构造构造F统计量。统计量。 因为因为F =6.35 F0.05 (9, 9) = 3.18，存在异方差。，存在异方差。 222 111 R/(1)R958109.4 6.35 R/(1)R150867.9 SSnkSS F SSnkSS XY0

17、9. 064.744 XY05. 098.414 White检验检验 由怀特检验值可看出模型存在异方差，由怀特检验值可看出模型存在异方差， 需要修正需要修正 例例 1 个人储蓄个人储蓄（Y）与可支配与可支配（X）收入模型收入模型 加权修正后，怀特检验加权修正后，怀特检验 显示模型不再有异方差显示模型不再有异方差 -.02 -.01 .00 .01 .02 .03 -.02 .00 .02 .04 .06 .08 51015202530354045 ResidualActualFitted 残差有明显残差有明显 放大趋势放大趋势 通过怀特检验，证明确实存在异方差通过怀特检验，证明确实存在异方差 做全对数模型进行异方差的修正做全对数模型进行异方差的修正 不存在异方差了不存在异方差了 对模型进行加权最小二乘估计对异方差进行修正对模型进行加权最小二乘估计对异