线面的相互位置

1、第四讲第四讲 线面的相互位置线面的相互位置 本讲内容本讲内容： 1、平行问题 2、相交问题 3、垂直问题 下讲内容：投影变换下讲内容：投影变换 作业：作业： （1）P5/ 1, 2, 3, 4, 6 （2）P6/ 1, 2，3 A B C a b c a b c c a b 1 1、垂直问题、垂直问题 （首先复习相关知识）（首先复习相关知识） B A C D a b c d x O a b c d a b c d 直角投影定理：直角投影定理： 若空间两垂直线中有一条平行于投影面时，则两直线在该投影面上的若空间两垂直线中有一条平行于投影面时，则两直线在该投影面上的 投影成直角投影成直角（同样适用

2、空间交叉垂直两直线）。（同样适用空间交叉垂直两直线）。 可逆性：空间垂直、一边可逆性：空间垂直、一边“平行平行”、投影垂直，三个要素中任何两个、投影垂直，三个要素中任何两个 成立，则第三个也成立。成立，则第三个也成立。 2 2、平面上的特殊直线、平面上的特殊直线 P 平面上不同位置的直线，它对投影面的倾角各不相同。其中：一种平面上不同位置的直线，它对投影面的倾角各不相同。其中：一种 对投影面倾角为零的为投影面的对投影面倾角为零的为投影面的平行线平行线；另一种对投影面倾角为最大；另一种对投影面倾角为最大 的为投影面的的为投影面的最大斜度线最大斜度线。 1. 1.平面上的投影面平行线平面上的投影面

3、平行线 e f f ea b c a c b x O P P 2 1 F E A M1 M2 m1 m2 e PH a 平面上的特殊直线平面上的特殊直线 2.2.平面上的最大斜度线平面上的最大斜度线 平面上的最大斜度线的平面上的最大斜度线的基本性质：基本性质： 1 1）平面上的最大斜度线，一定垂直于该投影面的平行线。）平面上的最大斜度线，一定垂直于该投影面的平行线。 2 2）最大斜度线对投影面的倾角，等于平面对该投影面的倾角。）最大斜度线对投影面的倾角，等于平面对该投影面的倾角。 3 3、平面的表示法、平面的表示法 1） 空间平面可以由不同的几何元素来确定，平面的投影常用其构成空间平面可以由不

4、同的几何元素来确定，平面的投影常用其构成 元素的投影来表示。元素的投影来表示。 b a a c b c b a a c b c a a b c b c b b a a c c a b c a b c d d 2 2）迹线平面）迹线平面 QH QV Q x O QH Qx QV 投影面垂直面，在所垂直的投影面上的迹线与平面积聚性投影重合，投影面垂直面，在所垂直的投影面上的迹线与平面积聚性投影重合， 另一迹线与对应投影轴垂直（一般不画出来）。另一迹线与对应投影轴垂直（一般不画出来）。 PV RV 需要注意的是：需要注意的是：由于迹线是平面与投影面的公有线，迹线在该由于迹线是平面与投影面的公有线，迹

5、线在该 投影面上的投影与其本身重合，另两个投影与相应的投影轴重合。投影面上的投影与其本身重合，另两个投影与相应的投影轴重合。 2-3 2-3 线面的相对位置线面的相对位置 A B C D a b c(f) d(e) E F A B C D a b c(f) d(e) E F K k A B C D a b c(f) d(e) E F K k 线面的相对位置是指直线与平面、平面与平面间的相对位置，即：线面的相对位置是指直线与平面、平面与平面间的相对位置，即： 平行、相交、垂直等问题，以及它们之间产生的交点、交线、距离、平行、相交、垂直等问题，以及它们之间产生的交点、交线、距离、 角度等关系。角度

6、等关系。 F G D f(e) A B a b g(d) E m(n) M N x O c c a b b a e m n n m e 一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行具有下列直线与平面平行具有下列几何关系：几何关系： 若直线与平面平行，该直线必平行于平面上的一条直线；若直线与平面平行，该直线必平行于平面上的一条直线； 当平面垂直于投影面时，则该直线的投影必然与平面具有积聚性的当平面垂直于投影面时，则该直线的投影必然与平面具有积聚性的 投影平行，或同面投影都具有积聚性。投影平行，或同面投影都具有积聚性。 1.1.直线与平面平行直线与平面平行 x O f g d f(e) a b b a

7、 g(d) e m(n) m n P Q E F D A B C x O c c a b b a e g f f e g l l F G D f(e) A B a b g(d) E C c 若空间两平面互相平行，则一平面内相交两直线必然与另一平面若空间两平面互相平行，则一平面内相交两直线必然与另一平面 内的相交两直线对应平行；内的相交两直线对应平行； 当两平面相互平行且又同时垂直于投影面时，则两平面的积聚性当两平面相互平行且又同时垂直于投影面时，则两平面的积聚性 投影一定平行。投影一定平行。 一、平行问题一、平行问题 2. 2.平面与平面平行平面与平面平行 x O f g d f(e) a b

8、 g(d) e a b c c 例题例题1 试判断两平面是否平行 m n m n r r s s 结论：两平面平行 例题例题2 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K 作一平面平行于已知平面 。 e m n m n fe f s r s r k k B K A A B G D a b d(e) g(f) E F K k 1.1.直线与平面相交直线与平面相交 空间直线与平面相交产生交点，交点即是线面的共有点。若空间直线或空间直线与平面相交产生交点，交点即是线面的共有点。若空间直线或 平面其中之一与投影面垂直时，那么可利用积聚性的投影直接作图。平面其中之一与投影面垂直时，那么可利用积聚性的

9、投影直接作图。 二、相交问题二、相交问题 x O gd e g(f) d(e) f a b a b k k 2.2.两平面相交两平面相交 二、相交问题二、相交问题 空间平面和平面相交产生交线，交线即相交两平面的共有线。若空间平面和平面相交产生交线，交线即相交两平面的共有线。若 空间两平面之一与投影面垂直时，那么可利用积聚性作出交线的投空间两平面之一与投影面垂直时，那么可利用积聚性作出交线的投 影；可见性由积聚性投影来判断。影；可见性由积聚性投影来判断。 x O c a a b c b p p 1 2 1 2 f A P B C 1 2 A B C P E F K 求一般位置线、面求一般位置线、

10、面 交点的交点的方法步骤：方法步骤： 1 1）过直线作一辅助平面）过直线作一辅助平面 垂直于投影面。垂直于投影面。 2 2）作出辅助平面与已知）作出辅助平面与已知 平面间的交线。平面间的交线。 3 3）求直线与两平面交线）求直线与两平面交线 的投影共有点。的投影共有点。 4 4）利用重影点来判断）利用重影点来判断 可见性。可见性。 1.1.直线与平面相交直线与平面相交 二、相交问题二、相交问题 若空间直线和平面都处于一般位置时，可利用辅助平面法求出交点。若空间直线和平面都处于一般位置时，可利用辅助平面法求出交点。 x O c e f a a b c f e b 2 PH 1 2 1 3(4)

11、5 5( ) k 3 4 k 练习 P6/ 1 两一般 位置平面相 交，求交线 步骤： 1用求直线 与平面交点 的方法，作 出两平面的 两个共有点K、 E。 求两平面的交线 l l n m m n PV QV 1 2 2 1 k k e e 2连接两个 共有点，画 出交线KE。 示意图 两一般位置平面相交求交线的方法 示意图 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其 连线即为两平面的交线。 M B C A F K N L 利 用 重 影 点 判 别 可 见 性 两平面相交，判别可见性 3 4 ( )3 4 2 1 ( )1 2 三、垂直问题三、垂直问题 几何条件几何条件：如果空间直

12、线与平面垂直，则该直线垂直于平面上的如果空间直线与平面垂直，则该直线垂直于平面上的 所有直线。反之，直线垂直平面上的任意两相交直线，则直线垂直于所有直线。反之，直线垂直平面上的任意两相交直线，则直线垂直于 该平面。该平面。 1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直 L K P 三、垂直问题三、垂直问题 1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直 1 1）如果空间直线与投影面垂直面垂直，则该直线与平面在该投影）如果空间直线与投影面垂直面垂直，则该直线与平面在该投影 面上的投影必然垂直（且该直线必是投影面的平行线）面上的投影必然垂直（且该直线必是投影面的平行线） 。 F G D f(e) A B a bg(

13、d) E x gf e d a b a b f(e) g(d) L K P A B a b M m K k PH P x O p p m m a b b a d c c d k k 三、垂直问题三、垂直问题 1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直 2)2)如果空间直线与一般位置平面垂直，则由直角投影定理可知该如果空间直线与一般位置平面垂直，则由直角投影定理可知该 直线的水平投影一定垂直于该平面水平线的水平投影；直线的水平投影一定垂直于该平面水平线的水平投影；直线的正面直线的正面 投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。 两种基本作图： 1、过平面外一点

14、作平面的垂线。 2、过线外一点作线的垂面。 例题例题7 平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。 a c a c n n k k h 例题例题8 试过定点K作特殊位置平面的法线。 h h h h h （a）（c）（b） 三、垂直问题三、垂直问题 2.2.两平面垂直两平面垂直 如果空间两平面相互垂直，过其中一平面上的任意点向第二个平如果空间两平面相互垂直，过其中一平面上的任意点向第二个平 面作的垂线，必定在第一个平面内；若空间直线与平面垂直，则包面作的垂线，必定在第一个平面内；若空间直线与平面垂直，则包 含直线作的所有平面都垂直于该平面。含直线作的所有平面都垂直于该平面。 D A 三、垂直问题三、垂直问题 2.2.两平面垂直两平面垂直 若两个投影面垂直面相互垂直，则两平面在所垂直的投影面上的若两个投影面垂直面相互垂直，则两平面在所垂直的投影面上的 积聚性投影成直角。两个一般位置平面相互垂直，其中一个平面必积聚性投影成直角。两个一般位置平面相互垂直，其中一个平面必 然经过另一平面的垂线。然经过另一平面的垂线。 b a c e d a(b) d(c) e x O xO a b c d e e a d c b 四、综合问题- 辅助平面 根据题中条件，作适当的辅助平面（垂 直面、平行面、或其它一般面）解决问 题。 例题例题9 试过定点A作直线与已知直线EF正交。