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文档简介
1、一心为展凌云翼,三载可化大鹏飞吉大附中高中部2015-2016学年下学期高三年级第二次模拟考试数学(理科) 试卷满分:150分 考试时间:120分钟 命题人:宋宇宾 审题人:朱铁军注意事项:1请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上;2客观题的作答:将正确答案填涂在答题纸指定的位置上;3主观题的作答:必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答,在此区域外书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。第卷(客观题60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(1)已知则(d)(a)(b)(c)或(d)或(2)已知复数,则复数在复平面内对应
2、的点在(d)(a)第一象限(b)第二象限(c)第三象限(d)第四象限(3)在等差数列中,则(b)(a)(b)(c)(d)(4)下列说法中正确的是(d)(a)“”是“函数是奇函数”的充要条件(b)若,则(c)若为假命题,则,均为假命题(d)命题“若,则”的否命题是“若,则”(5)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是(b)(a)(b)(c)(d)(6)下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是(c)(a) (b)(c)(d)(7)(b)(a) (b) (c) (d)(8)设满足约束条件则的最大值(a)(a)(b)2(c)(d)(9)已知是椭圆的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点,若
3、是锐角三角形,则该椭圆离心率的取值范围是(c)(a)(b)(c)(d)(10)一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成,其三视图如图所示,则该几何体的体积是(b)(a)(b)(c)(d)(11)一个五位自然数,当且仅当时称为“凹数”(如32014,53134等),则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为(d)(a)(b)(c)(d)(12)已知为正实数,直线与曲线相切,则的取值范围(a)(a) (b) (c) (d)第卷 (非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分(13)展开式中的常数项为 .40(14)已知正方形abcd的边长为2,e为cd的中点,则_.2(15)已
4、知数列满足,则的最小值为 解析:,所以,设,则在上单调递增,在上单调递减,因为,所以当或时,有最小值又因为,所以的最小值为.(16)如图,在三棱锥中,已知,设,则的最小值为 .2三、解答题:本大题共6个小题,共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知的内角的对边分别为,且满足.()求的值;()若,求的面积.解析:(),.(),.,即的面积的.(18)(本小题满分12分)为向国际化大都市目标迈进,沈阳市今年新建三大类重点工程,它们分别是30项基础设施类工程,20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目
5、参与建设.()求这3人选择的项目所属类别互异的概率;()将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为,求的分布列和数学期望.解析:记第名工人选择的项目属于基础设施类,民生类,产业建设类分别为事件.由题意知均相互独立.则()3人选择的项目所属类别互异的概率:()任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率:由.的分布列为0123其数学期望为(19)(本小题满分12分)如图1,过动点作,垂足在线段上且异于点,连接,沿将折起,使(如图2所示)图1 图2()当的长为多少时,三棱锥的体积最大;()当三棱锥的体积最大时,设点分别为棱的中点,试在棱上确定一点,使得,并求与平面
6、所成角的大小解析:()方法一:在图1所示的中,设,则.由,知,为等腰直角三角形,所以.由折起前知,折起后(如图2),且.所以平面.又,所以.于是,当且仅当,即时,等号成立,故当,即时,三棱锥的体积最大方法二:同方法一,得.令,由,且,解得.当时,;当时,.所以当时,取得最大值故当时,三棱锥的体积最大()方法一:以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由()知,当三棱锥的体积最大时,.于是可得,且设,则,因为等价于,解得,所以当 (即是的靠近点的一个四等分点)时,.设平面的一个法向量为,由,及,得可取设与平面所成角的大小为,则由,可得,即.故与平面所成角的大小为.图a 图b图c 图d方法二:由(
7、)知,当三棱锥的体积最大时,如图b,取的中点,连结,则由()知平面,所以平面.如图c,延长至点使得,连,则四边形为正方形,所以.取的中点,连结,又为的中点,则,所以.因为平面,又平面,所以.又,所以平面.又平面,所以.因为当且仅当,而点是唯一的,所以点是唯一的即当 (即是的靠近点的一个四等分点)时,.连结,由计算得,所以与是两个共底边的全等的等腰三角形,如图d所示,取的中点,连接,则平面.在平面中,过点作于,则平面,故是与平面所成的角在中,易得,所以是正三角形,故,故与平面所成角的大小为.(20)(本小题满分12分)已知点,直线,为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且()求动点的轨迹的方
8、程;()已知圆过定点,圆心在轨迹上运动,且圆与轴交于两点,设,求的最大值解析:()设代入已知可得,轨迹c的轨迹方程为 -4分()设,则圆的方程为 -6分令,则不妨设, -10分时,;时,当且仅当时等号成立 综上,的最大值为 -12分(21)(本小题满分12分)函数,若曲线在点处的切线与直线垂直(其中为自然对数的底数).()若在上存在极值,求实数的取值范围;()求证:当时,.解析:()因为,由已知,所以,得.所以,当时,为增函数,当时,为减函数.所以是函数的极大值点,又在上存在极值,所以,即,故实数的取值范围是.()等价于.令,则,再令,则,因为,所以,所以在上是增函数,所以,所以,所以在上是增
9、函数,所以时,故.令,则,因为,所以,所以,所以在上是减函数.所以时,所以,即.请考生在第22、23、24题任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时请写清楚题号。(22)(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,过圆外一点作一条直线与圆交于两点,且,作直线与圆相切于点,连结交于点,已知圆的半径为,.()求的长;()求的值.解析:()延长交圆于点,连结,则,又,所以,又,可知,所以.根据切割线定理得,即.()过作于,则,从而有,又由题意知,所以,因此.(23)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为()把的参数方程化为极坐标方程;()求与交点的极坐标(其中)解析:()将消去参数,
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