吉林省吉林大学附属中学高三第二次模拟考试理科数学试题及答案

1、一心为展凌云翼，三载可化大鹏飞吉大附中高中部2015-2016学年下学期高三年级第二次模拟考试数学（理科） 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：宋宇宾 审题人：朱铁军注意事项：1请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上；2客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。第卷（客观题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）已知则（d）（a）（b）（c）或（d）或（2）已知复数，则复数在复平面内对应

2、的点在（d）（a）第一象限（b）第二象限（c）第三象限（d）第四象限（3）在等差数列中，则（b）（a）（b）（c）（d）（4）下列说法中正确的是（d）（a）“”是“函数是奇函数”的充要条件（b）若，则（c）若为假命题，则，均为假命题（d）命题“若，则”的否命题是“若，则”（5）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（b）（a）（b）（c）（d）（6）下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（c）（a） （b）（c）（d）（7）（b）（a） （b） （c） （d）（8）设满足约束条件则的最大值（a）（a）（b）2（c）（d）（9）已知是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若

3、是锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是（c）（a）（b）（c）（d）（10）一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（b）（a）（b）（c）（d）（11）一个五位自然数，当且仅当时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（d）（a）（b）（c）（d）（12）已知为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围（a）（a） （b） （c） （d）第卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）展开式中的常数项为 .40（14）已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则_.2（15）已

4、知数列满足，则的最小值为 解析：，所以，设，则在上单调递增，在上单调递减，因为，所以当或时，有最小值又因为，所以的最小值为.（16）如图，在三棱锥中，已知，设，则的最小值为 .2三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知的内角的对边分别为，且满足.（）求的值；（）若，求的面积.解析：（），.（），.，即的面积的.（18）（本小题满分12分）为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目

5、参与建设.（）求这3人选择的项目所属类别互异的概率；（）将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为，求的分布列和数学期望.解析：记第名工人选择的项目属于基础设施类，民生类，产业建设类分别为事件.由题意知均相互独立.则（）3人选择的项目所属类别互异的概率：（）任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：由.的分布列为0123其数学期望为（19）（本小题满分12分）如图1，过动点作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2所示）图1 图2（）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（）当三棱锥的体积最大时，设点分别为棱的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面

6、所成角的大小解析：（）方法一：在图1所示的中，设，则.由，知，为等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后(如图2)，且.所以平面.又，所以.于是，当且仅当，即时，等号成立，故当，即时，三棱锥的体积最大方法二：同方法一，得.令，由，且，解得.当时，；当时，.所以当时，取得最大值故当时，三棱锥的体积最大（）方法一：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由（）知，当三棱锥的体积最大时，.于是可得，且设，则，因为等价于，解得，所以当 (即是的靠近点的一个四等分点)时，.设平面的一个法向量为，由，及，得可取设与平面所成角的大小为，则由，可得，即.故与平面所成角的大小为.图a 图b图c 图d方法二：由（

7、）知，当三棱锥的体积最大时，如图b，取的中点，连结，则由（）知平面，所以平面.如图c，延长至点使得，连，则四边形为正方形，所以.取的中点，连结，又为的中点，则，所以.因为平面，又平面，所以.又，所以平面.又平面，所以.因为当且仅当，而点是唯一的，所以点是唯一的即当 (即是的靠近点的一个四等分点)时，.连结，由计算得，所以与是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取的中点，连接，则平面.在平面中，过点作于，则平面，故是与平面所成的角在中，易得，所以是正三角形，故，故与平面所成角的大小为.（20）（本小题满分12分）已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且（）求动点的轨迹的方

8、程；（）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于两点，设，求的最大值解析：（）设代入已知可得，轨迹c的轨迹方程为 -4分（）设，则圆的方程为 -6分令，则不妨设， -10分时，；时，当且仅当时等号成立 综上，的最大值为 -12分（21）（本小题满分12分）函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.（）若在上存在极值，求实数的取值范围；（）求证：当时，.解析：（）因为，由已知，所以，得.所以，当时，为增函数，当时，为减函数.所以是函数的极大值点，又在上存在极值，所以，即，故实数的取值范围是.（）等价于.令，则，再令，则，因为，所以，所以在上是增函数，所以，所以，所以在上是增

9、函数，所以时，故.令，则，因为，所以，所以，所以在上是减函数.所以时，所以，即.请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清楚题号。（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，过圆外一点作一条直线与圆交于两点，且，作直线与圆相切于点，连结交于点，已知圆的半径为，.（）求的长；（）求的值.解析：（）延长交圆于点，连结，则，又，所以，又，可知，所以.根据切割线定理得，即.（）过作于，则，从而有，又由题意知，所以，因此.（23）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）把的参数方程化为极坐标方程；（）求与交点的极坐标（其中）解析：（）将消去参数，