天文学基础04-行星系统和行星运动规律

1、天文学基础 （公共选修课教程） 1、意义 2、数学表达 2 21 r mm GF 表示任何两个相距为r并具有质量m1及m2的质点之间必 然存在的相互吸引的力F。 G为万有引力常数，G=6.6725910-11 m3/kgs2 天文学中取天文单位、太阳质量和日（天文学中取天文单位、太阳质量和日（86400秒）为长度、秒）为长度、 质量、时间的单位，则质量、时间的单位，则G=k2，k=0.01720209895，名为，名为 “高斯常数高斯常数”，是天文常数系统中视作不变的，是天文常数系统中视作不变的“定义常定义常 数数”。 库仑定律： 2 21 r qq kf 注意 具有密度分层均匀的同心球层结构

2、的正 球体各向同性的正球体与质量集中于 球心的一个具有严格意义的质点等价。 1、什么是二体问题？ 2、二体问题的空间示意图 O P Q x y z r P r Q r 建立任一空间坐标系O- xyz，P和Q分别是两个 天体 是天体P的位置矢量 是天体Q的位置矢量 是天体Q相对于天体P 的位置矢量。 P r Q r PQ r-rr r 为便于理解可以把天体为便于理解可以把天体P看看 作太阳，把天体作太阳，把天体Q看作行星。看作行星。 天体P受天体Q的引力： r r r mm k 2 Qp P F 天体Q受天体P的引力： r r- r mm k 2 Qp Q F 根据牛顿第二定律： 2 2 dt

3、rd m dt )vmd ( F r r mm k r 2 32 2 dt d m Qp P pP F r r r r mm kr-r r 2 332 2 2 2 dt d dt d Qp pQ -)( PQ r-rr 又 r r mm k r 2 32 2 dt d m Qp Q pQ F x x 32 2 rdt d y y 32 2 rdt d z z 32 2 rdt d 222 zyxr 这是一组联立的二阶非线性常微分方程，通解是包含6个相互 独立的积分常数的6个积分。 解的结果表明，行星运动是沿着圆锥曲线的平面运动，太阳 位于一个焦点上。 6个积分常数决定了轨道的空间位置和某一时刻

4、行星在轨道上 的位置，在天文学中成为6个轨道根数。 二体问题的微分方程及其积分，完满地解释了开普勒行星运 动定律的动力学原因，彻底地解决了只有两个天体时全部的 运动学问题。 两个天体在万有引力作用下如何运动的二体问题已经获得十分精确两个天体在万有引力作用下如何运动的二体问题已经获得十分精确 而完满的解答，但是实际天体不止两个，只要再多出一个天体，即而完满的解答，但是实际天体不止两个，只要再多出一个天体，即 “三体三体”问题，求解就相当困难。问题，求解就相当困难。 对于空间直角坐标系，n个天体在相互之间存在的万有引力的作用 下，可以列出3n个二阶微分方程组，其通解由6n个积分组成，共 包含6n个

5、积分常数，其中有10个积分总是可以得出的： n个天体的质量中心运动定律3个积分 n个天体的总动量守恒定律3个积分 n个天体的总动量矩守恒定律3个积分 n个天体的总能量守恒定律1个积分 如果再找出余下的6n-10个积分，n体问题就能彻底解决。 1843年，雅克比证明：如果包括10个初积分在内的6n-2个积分都已找 到，则最后两个积分就一定能找到。 3 13 13 3 2 3 12 12 2 2 2 1 2 d d r qq mk r qq mk t q iiiii 3 23 23 3 2 3 12 21 1 2 2 2 2 d d r qq mk r qq mk t q iiiii 3 23 3

6、2 2 2 3 13 31 1 2 2 3 2 d d r qq mk r qq mk t q iiiii 321,i 设有1，2，3三个天体，质量分别为没m1, m2, m3；r12 , r23 , r 13分别表 示它们相互之间的距离。在空间直角坐标系中，用q1i , q2i , q3i , i=1,2,3表 示三个天体对应于x轴（i=1），y轴（i=2），z轴（i=3）的三组坐标。 三组共9个联立的二阶 非线性常微分方程， 通解是包含18个相互 独立的积分常数的18 个积分。 除10个初积分外，还剩8个积分，按雅克比定理，只要找出其中6个积 分，三体问题就彻底解决，但不幸的是，直到现在一

7、个也没有找到。 1900年国际数学家大会上，希尔伯提出了23个数学难题，另外还举 了两个大难题，即费马大定理和三体问题 （1994年费马大定理被美国的怀尔斯彻底解决） 19世纪末，庞加莱等证明，找到三体问题的全部代数函数形式的解 是不可能的，于是数学家和力学家转而寻找级数形式的解。 1912年，芬兰数学家松德曼找到了附加限制条件的幂级数解，但是 这些级数收敛得非常慢，以至于没有使用价值。 如要获得三体问题的一个位置数据，级数至少要取108000项！ 为了计算行星轨道和预知天体的位置，人们探求有效的近似求解的 方法，提出了摄动理论。 摄动是指在二体问题中天体沿轨道运动时，因受到其他天体的影响 而

8、偏离原来的轨道。 如图，M是中心天体，m是作轨道运动的天体，m是摄动天体，M、 m、m分别是他们的质量。r、r、p表示两两之间的距离。 1、摄动力 M m m r r p -g1 g2 -g2 g1 g3 g0 g g2 g -g2 根据万有引力，M对m的力产生m的运动加速度 m的存在使M产生加速度 2 2 r k M g 0 m也使M产生运动加速度 2 2 r k m g 1这两个加速度相反。 2 2 r k m g2使m产生加速度 2 2 p k m g 3 g2的作用相当于使m产生了相对于M的加速度-g2 ， 于是m的存在形成和了g3和-g2的合成加速度g g相应的作用力就是摄动力 g3

9、 a) 在日、地、月三体问题中，地球是中心天体，月球是绕地球作轨道 运动的天体，而太阳是摄动天体。 b) 设r和R分别为月球和太阳到地球的距离。在朔时，太阳使月球产生 的引力加速度g3=k2M/(R-r)2（M为太阳质量），太阳使地球产生的引 力加速度g2=k2M/R2，则g= g3 -g3 =k2M(2Rr-r2)/R2(R-r)2，若忽略r， 可得到近似结果： g=2 k2rM/R3 。同理，在望时， g3=k2M/(R+r)2 ， g2=k2M/R2， g=-2 k2rM/R3 。这两个结果都表明太阳的摄动影响 使月球偏向地球的反方向，即远离地球。 c) 单纯从万有引力公式计算，太阳对月

10、球的引力比地球对月球的引力 大一倍多，但由于月球绕地公转，太阳的引力只起摄动作用，而摄 动力的大小与距离的立方成反比，所以决定月球运动的主力不是来 自太阳而是地球。 d) 太阳对月球的摄动力比地球对月球的引力小90倍，但这一摄动力在 太阳系内仍是相对较大的。因此月球绕地公转比单纯的椭圆运动要 复杂得多，精确确定月球的位置通常要考虑好几百项因素。 2、潮汐现象 由于地球自转、公转和月球的运动，海洋各处轮流处于A或B的位置， 造成海水有涨有落的潮汐现象。 A相对于O而言的加速度为： 3 2 22 2 D 2rm k D 1 r)(D 1 mk B相对于O而言的加速度为： 3 2 22 2 D 2r

11、m k D 1 r)(D 1 mk 起源于月亮、太阳或其它天体的引力而造成潮汐现象的力称为引潮力 或起潮力。其数值与引力来源天体的质量成正比，与两天体间的距离 的立方成反比。 2、洛希极限 式中，R为行星半径，为卫星密度， 为行星密度。系数2.45539是假 定卫星质量同行星质量之比可以忽略时洛希给出的值。 如果这一比值不能忽略，系数应有变化，达尔文给出的对应关系如下： 19世纪法国天文学家洛希在研究卫星形状理论中提出一个使卫星解体 的极限数据，称为洛希极限洛希极限。 R455392A 31/ )/(. 当卫星（流体团）与行星的距离小于洛希极限，说明引潮力超过极 限，那么卫星将会解体分散。 二

12、体问题的行星运动轨道是圆锥曲线，包括椭圆、抛物线、 双曲线三种类型。决定轨道在空间的位置和行星在轨道上 的位置依赖于6个常数，称为轨道根数。（以下以椭圆轨 道为例） 1、开普勒 2、开普勒行星运动三大定律 2、开普勒行星运动三大定律 3 2 3 1 2 2 2 1 T T a a 常数 22 3 2 1 3 2 2 2 3 1 4 GM TTT i i aaa 2、开普勒行星运动三大定律 1 2 3 2 3 1 2 2 2 1 mM mM T T a a 常数 22 3 4 G m)MT( a 3、开普勒行星运动定律的推论 第二定律行星在轨道上运动的速度是不均匀的，且在近 日点附近要比远日点附

13、近运动得快。 第三定律行星离太阳越远，公转周期越长，且轨道半长 径与周期之间有确切的数量关系。 第三定律离太阳越远的行星，公转角速度越小，公转线 速度也越小。 第三定律可以计算太阳质量和有卫星绕转的大行星的质 量 1、行星轨道三大基本特征 近圆性轨道的偏心率都比较小，使得轨道接近于 圆形，偏心率最大的是冥王星（0.2482） 和水星（0.2056） 同向性公转方向都是自西向东，无一例外。 共面性行星的轨道基本都在一个平面上，即黄道 面。轨道倾角最大：冥王星（17）、水 星（7 ） 2、提丢斯波得定则 1766年，德国的一位中学教师提丢斯在自然的探索德文 版中首次提出了后来被称为“提丢斯波得”定则的见解，不过 并未做出任何解释。 1772年，德国天文学家波得在星空研究指南一书中研究 并引用了提丢斯的见解，也未做说明。 1、（地）内行星 2、（地）外行星 两次发生同一